高等數學高等在哪里

【摘要】 高等數學的核心“機密”在于在初等數學基礎上引入了極限概念，使對數的認識從有限發(fā)展到無限，從而數學模式也從初等數學的靜態(tài)躍升到了高等數學的動態(tài).

【關鍵詞】 初等函數；極限；微積分

高等學校的理工科專業(yè)都普遍開設一門基礎課——高等數學，這是相對于中小學所學的初等數學而言的.如果對學過高等數學的學生提一個問題：高等數學究竟高等在哪里？恐怕很多人都難于給出言簡意賅的回答.

其實，高等數學與初等數學研究的對象都是初等函數.初等函數是這樣定義的：對冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及反三角函數這五類基本初等函數進行有限次四則運算與復合運算所構成的函數（且有具體表達式）稱為初等函數.既然研究對象相同，那么差異究竟在哪里呢？根本的差異在于高等數學中引入了極限的研究工具，從而初等數學是一種靜態(tài)的數學，而高等數學則成了一種動態(tài)的數學.

回顧從小學到中學是如何研究數學的呢？無非是循序漸進地引入了加、減、乘、除四則運算，因為四則運算的需要，數的范圍也從正整數逐步擴充到負數、有理數；后來又引入了乘方、開方運算，數的范圍也進一步擴充到無理數；再后來又引入了指數、對數運算及三角、反三角運算，應運而生出現了復數；將數的這些運算一環(huán)套一環(huán)，便是復合運算的概念.但這一切的運算都是靜態(tài)進行的，我們稱之為初等數學.

高等數學的核心“機密”是在初等數學基礎上引入了極限概念，從而對數的認識從有限發(fā)展到了無限，但就是這種認識，使數學運算從量變飛躍到了質變，從靜態(tài)飛躍到了動態(tài).

舉個例子.一根筆直的木頭旗桿，每天從頂部鋸掉留下高度的十分之一，10天后剩下多少？這個數學題小學生都會做，答案為：

（0.9）10=0.3486784401；

若將10換成100，算法照舊，即（0.99）100；若將10換成自然數N，只要，N是確定的具體數，仍然能算出 N-1 N N的具體數值，這種計算還是靜態(tài)的.但當讓N越來越大且趨于無窮大（比任何確定的自然數都大）時，這根旗桿能剩下多少？即使是對每秒億次的超級計算機都變得英雄末路了，因為這種計算模式已經從靜態(tài)躍升為動態(tài)，必須引入極限的概念才能解決.

極限中最簡單直觀的極限是數列極限，即考察一列數從有限發(fā)展到無限時是否在越來越無限靠攏某個目標，是否出現了質變.當然數學的術語是需要嚴格定量的，而不能只是模糊的定性.但抓住了極限的牛鼻子，對極限命題的量化就容易理解.對數列極限理解透了，理解函數的極限就游刃有余了.

函數的連續(xù)性本質上是一個極限概念：當函數f（x）在某點a的極限存在且正好等于函數值，即lim x→a f（x）=f（a），即定義為f（x）在x=a點連續(xù).

導數運算是什么？導數只是一種特殊類型的極限，即應變量增量與自變量增量比的極限.定積分運算是什么？又是一種特殊的極限，即由在某個區(qū)間上定義的函數構造的一個特殊的和式極限.如果說，微分、積分與極限的關系還有點霧里看花，那么無窮級數的求和與斂散性判斷則是與極限直接掛鉤了.可以說整個微積分學都是建立在極限這個平臺上.

至于導數（或微分）計算公式都由兩個重要的極限：

lim x→0 sinx x =1及l(fā)im x→∞ 1+ 1 x x=e.

推導演化而來.而不定積分則是微分運算的反運算而已.如果你初等數學的基礎扎實，那么可以說學習微積分就贏在起跑線上了，只要掌握好極限概念及計算技巧，微積分的公式是很容易自己推導從而熟記它.

總之，只要把極限這個平臺夯實夯牢，那么高等數學的教學便是在這個平臺上長袖善舞的事了.