從高等代數的概念教學談起

【摘要】 高等代數是數學專業的基礎課程，與初等代數相比，其內容復雜，理論抽象，結構嚴謹，解題方法獨特，基于這樣的學科特點，學生學起來很吃力.本文采用類比教學法，對一些概念進行類比理解，使學生對這些概念有更深入的理解.

【關鍵詞】 高等代數；類比法；空間； 矩陣；行列式

高等代數是理工科院校數學專業核心課程之一，本課程理論知識復雜，定理概念抽象，解題方法技巧性強.很長時間學生不適應其教學方法與思維模式，概念理解不透徹，抓不住定理的實質，論證問題邏輯不嚴密，出現各種各樣的證明錯誤.要想掌握本課程的理論體系，培養學生的抽象思維能力與邏輯推理能力是關鍵.本人結合幾年的教學方法與教學經驗，對本課程的理論體系進行了嚴密的對比與高度的總結，讓學生理解知識間的聯系與區別，學會融會貫通，從而提高學生分析問題與解決問題的能力.

一、整數理論與多項式理論

多項式理論的許多概念都來自于整數理論，無論是概念還是定理他們都有許多相似之處，在這兩部分，都介紹了帶余除法、整除、最大公因式、因式（子）分解及唯一性定理，重因式（子）、標準分解式等概念，定理的內容與形式也很類似，可以總結對照記憶.但它們之間也有明顯的差別：

（1）基點不同，整數理論是在整數環中研究的，多項式理論是系數在某一數域上研究的.

（2）在整數理論中，不是任意兩個非零整數都能互相整除，但在多項式環中，任意兩個非零常數（可以看成零次多項式）都互相整除.

（3）多項式理論中因式分解及唯一性定理與所給定的數域有關，在不同的數域上分解式不同，整數理論中數的標準分解式是唯一的.

（4）多項式理論中，利用導數可以判斷一個多項式有無重因式.

（5）有理系數多項式可以化為整系數多項式，從而判斷整系數多項式是否有有理根、在有理數域上是否可約.

通過比較理論知識體系的異同，使我們對多項式這部分內容有更深入的理解，更好的掌握新知識.

二、行列式、n維向量組與矩陣

行列式、n維向量組與矩陣形式上很相似，都是有一堆數（或變量）有規律的排列而成，性質與運算上也有許多類似之處，都介紹了加法、減法、乘法，數乘，交換律、結合律、分配律等概念與性質，他們之間有千絲萬縷的聯系，但也有本質的區別：

（1）矩陣是一個矩形“數表”，行列式是在方形數表中根據定義規則進行運算的代數式，行列式是在方形數表中定義的，不是方形數表不能討論行列式，矩陣則不然.

（2）矩陣相等要求他們必須同型而且對應元素相等，行列式相等不需要同型只需計算結果一樣.

（3）矩陣的和是兩個同型矩陣對應元素相加，而任何兩個行列式都可以求和.特別地，當兩行列式同型且除一行元素（一列）之外全相同，他們的和等于此兩行（兩列）相加其余不變這樣一個行列式.

（4）數乘矩陣等于數乘矩陣中的每一個元素，數乘行列式等于數乘行列式的一行或一列.

（5）任何兩個行列式都可以相乘，特別當A，B 同階方陣時，有|AB|=|A||B|，而兩個矩陣相乘要求第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數.矩陣的乘法不滿足交換律，滿足結合律與左右分配律.

（6）矩陣可以看成是由向量組構成的，矩陣的秩等于其行向量組的秩也等于其列向量組的秩.

利用行列式與矩陣還可以解方程組，當系數矩陣是方陣時，可以利用克拉默法則判斷其解的情況，當系數矩陣不是方陣時，通過比較系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩來判斷方程解的情況.

三、線性賦范空間、內積空間與距離空間

在空間這部分，我們介紹了線性空間、內積空間，以及泛函分析中的賦范空間、距離空間，拓撲學中的拓撲空間等等.對于這些都帶有空間字眼的概念，同學們感到很模糊，這些空間到底有什么樣的區別與聯系.

（1）非空集合X與數域F，在X中定義了加法“+”與數量乘法“·”，如果加法與數量乘法滿足一定的性質，則稱X是數域F上的一個線性空間（向量空間）.距離空間是在非空集合X上定義了一個雙變量的實值函數，要求此函數滿足正定性、對稱性、三角不等式，這樣就稱X是距離空間（度量空間）.事實上，任何非空集合總可以定義一種距離使其成為距離空間，所以距離空間比線性空間要求條件弱.在線性空間上總可以定義一種距離，使其成為距離空間.

（2）線性賦范空間與內積空間都建立在線性空間和距離空間基礎之上，線性賦范空間和內積空間是距離結構與代數結構相結合的產物，線性賦范空間就是在線性空間中，給向量賦予范數（規定了向量的長度），而沒有給出向量的夾角.在內積空間中，向量不僅有長度，向量之間還有夾角.特別是定義了正交的概念，有無正交性是賦范線性空間與內積空間的本質區別.任何內積空間都是線性賦范空間，但線性賦范空間未必是內積空間，當線性賦范空間中的范數 ‖·‖ 滿足平行四邊形等式‖x+y‖2+‖x-y‖2=2（‖x‖2+‖y‖2）時， 在線性賦范空間上可引入一個內積（·，·）使其成為內積空間.

（3）距離空間又稱度量空間，度量空間上的度量可以誘導拓撲，使其成為拓撲空間，所以度量空間都是拓撲空間，反之則不然.

隨著學習的不斷深入，學習的空間范圍越來越廣，從某種意義上講，拓撲空間可以說是上述空間中范圍最廣的一類空間.近些年，代數與拓撲的交叉學科不斷興起，如代數拓撲、拓撲線性空間、拓撲向量空間等等，我們在學習代數知識的同時，也要弄清各個學科間的聯系與區別，學會融會貫通，理清知識結構，搞清楚來龍去脈，這樣才能更清晰的掌握我們所學的知識.當然，大一新生好多課程還沒有學，我們可簡單給他灌輸這種思想，讓他把學過的知識加以類比，這樣才能找到學科與學科間的結合點，為掌握整個知識體系打下基礎.