風沙躍移運動的數值模擬?

劉 博，黃新成，王旭峰，蔣建云，何歡歡

（塔里木大學 機械電氣化工程學院，新疆 阿拉爾 843300）

0 引言

20世紀30年代，美國和加拿大西部大草原的沙塵暴災害受到全世界的高度重視。基于這次沙塵暴災害，Bagnold［1］將風沙運動作為一個空氣動力學來研究，于1941年發表了關于風沙物理學的著名論著。他通過利比亞沙漠中的野外觀測和實驗室風洞試驗確定了沙粒運動的力學機制，指出了沙粒的運動主要發生在0m～1m的高度范圍內，在10cm～20cm的高度范圍內較為集中［2］。在他的著作中，深刻地描述了未起沙地表和起沙地表上方的風速剖面、躍移沙粒的運動軌跡、沙粒運動的臨界風力、風沙的單寬輸沙率等物理學問題，對理性認識風沙運動具有重要意義。

本文采用硬球模型建立了單顆沙粒的運動模型，并充分考慮顆粒間的碰撞作用，模擬了沙粒速度隨高度的變化以及輸沙量隨高度的分布狀況。

1 沙粒躍移運動模型

1.1 流體相控制方程

近地層風沙運動滿足納維－斯托克斯方程，矢量式為：

其中：t為運動時間；ρf為流體密度；g為重力加速度；μ為黏性系數；p為流體壓力；v為x方向風速。記τf＝μ▽v，為雷諾切應力，則式（1）變形為：

由于沙粒粒徑較大，且較為干燥，沙粒間的液膜黏結力和靜電力可忽略不記，沙粒近似為無黏性流體，又因為躍移層中的沙粒拖拽力可以改變風速分布，其對風速的作用可以近似認為是納維－斯托克斯方程式添加一個修正項Fdray，即：

其中：ΔV為控制體的體積；Fdray為單顆粒所受拖拽力；fdray，i為控制體內第i個顆粒對沙粒的拖拽力；n為控制體內的顆粒數。

1.2 顆粒碰撞模型

顆粒間碰撞的瞬時性是硬球模型的基本思想，顆粒本身在碰撞過程中是不會發生變形的。根據動量守恒原理得到顆粒碰撞后的運動狀態模型的突出特點是：通過給定摩擦因數和恢復系數就能夠求出碰撞后的顆粒運動速度，此模型適合低濃度顆粒流的計算。

沙粒在運動過程中不斷地與其他沙粒發生碰撞，因此通常采用離散顆粒動力學模型。在兩次碰撞之間，每個沙粒在拖拽力和重力的作用下運動。由于碰撞時動量的交換是瞬時完成的，其沖力遠大于氣流拽力、重力和沙粒間的摩擦力，因此僅考慮瞬間碰撞引起的速度變化即可。根據沙粒在不同運動過程中的受力特點，可以把運動分解為受沖力支配的瞬時碰撞過程、受拖拽力和重力控制的非瞬時漂移過程，從而建立了對沙粒－沙粒的離散顆粒動力學模型［3］。

沙粒是球形剛體，不考慮沙粒的變形，碰撞為兩剛性體相碰撞，且發生在質心面上，碰撞點僅為兩顆粒的接觸點，如圖1所示，其中，x軸和y軸分別沿法向和切向，Px，Py分別是x和y方向的沖量。碰撞過程中產生瞬時法向和切向沖量，兩沙粒動量和角動量均守恒。

圖1 沙粒碰撞示意圖

1.3 躍移沙粒的受力分析

在非均勻不規則床面上，風帶動沙粒起動，以一定的角度起跳后又會以一定的角度落地，在落地時由于存在一定的速度和沖擊動能，會發生沖擊顆粒的反彈，同時床面靜止顆粒被濺起。與此同時，顆粒間動量向深層顆粒逐漸傳遞，直到最后被耗散掉。

圖2為非均勻不規則床面上顆粒沖擊起動過程。由圖2可以清晰地看出，在不均勻床面上，顆粒以一定的速度沖擊然后起跳，并且帶動其他顆粒起跳，還有一部分顆粒能量最終被消耗掉。床面與顆粒碰撞作用力的傳遞過程如圖3所示。表層顆粒獲得能量后離開床表面，通過反作用力而起跳，而深層顆粒將逐漸被碰撞將作用力耗散掉［4］。

圖2 非均勻不規則床面上顆粒沖擊起動過程

圖3 顆粒與床面碰撞作用力傳遞過程

沙粒在躍移的過程中所受上升力和Magnus力遠小于重力和拖拽力，可以忽略不計。任一顆沙粒的運動方程可用牛頓第二定律表示為：

其中：m為單顆沙粒質量；a為沙粒加速度；W為單顆沙粒所受重力。進而可分析得出沙粒躍移運動方程為［5］：

其中：ρ為空氣密度；D為沙粒直徑。

2 輸沙率的研究

氣流單位時間通過單位寬度或面積所搬運沙量叫做風沙流的輸沙率。影響輸沙率的因素很多，其值主要取決于風力的大小、沙粒粒徑和形狀、沙粒比重，而且還受沙粒的濕潤度、空氣穩定度及地表狀況的影響。

2.1 沙粒速度隨高度的變化

圖4為沙粒速度隨高度的變化規律。由圖4可以看出，沙粒速度隨高度的增加而增加，近似對數函數曲線。這是因為風速隨高度的分布近似對數函數，沙粒的水平速度方向與風速相同，在風力的拖拽作用下移動，沙粒的水平速度與風速變化的趨勢相近，故隨高度的增加速度呈對數函數增加，這個規律與風洞試驗測出的沙粒速度分布規律相近。

2.2 輸沙量隨高度的變化

圖5為輸沙量隨高度的分布規律。由圖5可以看出，輸沙量隨著高度的降低呈指數函數下降。Dong等人［6］用集沙儀測量的輸沙量分布也是呈指數規律衰減，與上述理論分析一致，理論和實踐皆可以證明輸沙量和高度之間存在指數關系。

圖4 沙粒速度隨高度變化規律

圖5 輸沙量隨高度分布規律

3 結論

利用納維－斯托克斯方程推導了風沙流體相控制方程，采用離散單元法和硬球模型分析了顆粒碰撞原理和受力狀況，模擬出沙粒的運動速度隨沙粒的水平高度增加而增加，并且呈對數函數規律增加，得出輸沙量隨高度呈指數衰減的規律。該結論有助于進一步了解沙粒運動軌跡、沙床形態以及風沙運動機理，對治理風沙具有重要意義。

［1］王濤，陳廣庭，錢正安，等.中國北方沙塵暴現狀及對策［J］.中國沙漠，2001，21（4）：322－327.

［2］董飛，劉大有，賀大良.風沙運動的研究進展和發展趨勢［J］.力學進展，1995（3）：368－391.

［3］孫其誠，王光謙.模擬風沙運動的離散顆粒動力學模型［J］.泥沙研究，2001（4）：12－18.

［4］亢力強，郭烈錦.軟球模型風沙躍移中顆粒與多粒徑床面碰撞的數值模擬［J］.工程熱物理學報，2006，27（1）：83－84.

［5］姚建林.沙粒空中碰撞對風沙躍移運動的影響［D］.蘭州：蘭州大學，2006：21－30.

［6］亢力強，郭烈錦.風沙運動的DPM數值模擬［J］.工程熱物理學報，2006，27（3）：441－444.