間隙結構的非線性氣動彈性方法和行為研究

劉超峰，張 贏，楊智春

（1.上海機電工程研究所，上海 201109；2.西北工業大學 航空學院，陜西 西安 710072）

0 引言

間隙非線性是飛行器中一種最常見的集中式結構非線性，它對飛行器的氣動彈性特性，包括顫振特性和動力學響應，都會產生重要的影響。對間隙非線性顫振系統，其顫振邊界遠小于線性顫振系統，且系統常在低于或高于線性顫振臨界速度下均表現為極限環運動，甚至出現混沌運動，這是非線性氣動彈性系統的動力學響應區別與線性氣動彈性系統的最主要特征。因此，研究間隙的集中非線性環節的機翼顫振對分析非線性顫振特性和揭示非線性顫振機理有重要的理論和實際意義。近幾十年來，非線性顫振分析逐漸被重視而發展。一方面是因為傳統線性顫振理論越來越不能適應有非線性環節的顫振問題，另一方面得益于非線性動力學理論的不斷發展，為非線性顫振研究提供了強有力的分析工具［1］。當氣流速度增至高亞聲速范圍或結構存在非線性尤其是強非線性時，線性理論不能得到足夠精確的分析結果，有時甚至給出完全錯誤的結論。非線性顫振系統可表現出豐富的動力學行為，常出現極限環、分岔、混沌等復雜非線性動力學現象［2］。文獻［1］綜述了非線性氣動彈性問題，介紹了亞聲速條件下二元機翼非線性顫振問題研究的分析方法，這些方法也是非線性振動分析中常用的，對非線性顫振分析有很大的借鑒意義。

對機翼顫振系統，尤其是大展弦比機翼的非線性顫振研究主要有兩種［3］。第一種是基于二元機翼模型的研究，在翼展方向上將機翼近似視作等截面，假設該截面弦向不變形，其運動被看成剛體運動。按系統的自由度分成二自由度二元機翼和三自由度二元機翼兩類，二自由度系統只考慮俯仰和沉浮兩個方向的運動，三自由度系統包括機翼＋操縱面和機翼＋外掛兩種。第二種則是將機翼視作一個整體，通過計算結構動力學（CSD）和計算流體力學（CFD）耦合計算得到機翼的氣動彈性特性。前者發展較早，可看成經典的顫振分析方法，后者在近二十年內迅速發展。二元機翼模型雖然與原型相差較大，但研究相對簡單，也有利于探討各種顫振機理，因而在非線性顫振分析中仍占有重要地位，且研究二元機翼模型的非線性顫振特性也能獲得關于三元機翼非線性顫振系統的很多信息。基于CSD／CFD耦合計算的機翼顫振特性分析顯然更符合實際，但研究難度非常大。近年來得益于計算機技術的更新和先進計算方法研究的發展，基于CSD／CFD耦合的顫振分析方法得到了長足發展。

本文綜述了間隙結構非線性氣動彈性相關研究進展。

1 集中式結構非線性特性

典型的非線性剛度特性有立方非線性、中心間隙型、雙線型，以及帶預載偏移間隙型的非線性環節［4－7］。由于機翼的加工工藝和機翼運動部件的磨損，間隙集中非線性普遍存在，常存在于接觸機構中，如控制面的鉸鏈和折疊式導彈翼面連接處等。本文對中心間隙型、預載間隙非線性和遲滯非線性環節進行論述。

中心間隙型非線性剛度特性如圖1所示。多數非線性氣動彈性系統采用了中心間隙型非線性環節，其俯仰剛度的力學模型為

式中：α為翼面或舵面的角位移；Kα為俯仰剛度；Mα為俯仰扭矩；Es為中心間隙角。

圖1 中心間隙型非線性Fig.1 Nonlinear of center clearances

預載型間隙非線性剛度特性如圖2所示。其俯仰剛度的力學模型為

式中：Ep，Et分別為前后間隙角。

圖2 帶預載間隙非線性Fig.2 Nonlinear of preloaded clearances

遲滯非線性剛度特性如圖3所示。遲滯非線性的出現，是由于工藝和使用磨損等原因，使機翼俯仰或操縱面偏轉運動自由度上，不可避免地會同時存在間隙和摩擦機制。因此，對這種間隙非線性和摩擦環節同時存在而形成遲滯非線性環節的情形，研究其對氣動彈性系統的響應特性和穩定性特性的影響十分必要，也更具實際意義。以二元機翼為研究對象，考慮在其俯仰自由度（或操縱面偏轉自由度）上同時帶有中心間隙和摩擦非線性環節，其遲滯環節的俯仰剛度力學模型為

a）隨著x1增加，Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ，

b）隨著x1減小，Ⅲ→Ⅳ→Ⅱ，

式中：x1為所考察的翼面或舵面的某個自由度；M為隨該自由度而變的扭矩；αf，δ分別為遲滯前后自由度度量。

圖3 遲滯非線性Fig.3 Nonlinear of lag clearances

2 間隙非線性氣動彈性行為規律

當達到一定飛行速度時，間隙非線性顫會給飛行器帶來災難性后果，為此國內外對其進行了大量研究。如研究顫振系統的極限環振蕩（LCO）特性、分岔特性、混沌運動特性，并對混沌非線性顫振行為進行控制等［8］。

2.1 極限環振蕩（LCO）特性

在帶集中環節非線性的氣動彈性系統中，通常非線性因素會誘發系統的極限環振蕩，從而導致結構的疲勞損傷、飛行品質惡化等出現。間隙是集中非線性中最常見的因素，美軍用飛機設計標準及民用適航條例均規定，全動操縱面的偏轉間隙應控制小于0.034°。這個嚴格要求對全動操縱面的制造、安裝與維護帶來技術挑戰，所需成本相應增加。同時，有研究發現間隙誘發極限環的程度也受操縱面受載和初始迎角等因素的影響［9－10］。

由于存在非線性因素，非線性氣動彈性系統在顫振臨界點處發生Hopf分岔，當飛行速度大于線性系統顫振速度時，非線性顫振系統將會出現LCO，而不是線性系統的發散振動。顫振失穩和大幅值的LCO都將導致飛行器結構失效，因此預測和分析非線性氣動彈性系統的顫振臨界點與LCO幅值對飛行器的結構安全十分重要。

分析系統極限環運動時，間隙非線性環節是導致系統出現極限環運動的根本原因，而初始條件對非線性顫振系統LCO特性的影響又非常重要，初始條件改變可能導致LCO類型和穩定性發生質變。在初始條件對LCO特性影響的研究中，頻率比、初始攻角、預加載荷、突風載荷等初始條件，以及間隙非線性參數對非線性系統極限環特性的影響，都會對系統的非線性顫振特性產生重要作用。在非線性顫振系統的極限環特性研究中，通過觀察系統運動響應的時間歷程和相圖，對LCO運動進行時域和相軌跡分析，能更直觀得到系統運動的類型等信息。

2.2 分岔特性與穩定性分析

非線性顫振系統出現平衡點分岔、Hopf分岔和極限環分岔等復雜動力學現象。即使對不可壓縮流下的二元機翼顫振系統，由于存在非線性因素，系統也會出現多種非線性動力學現象。文獻［11-12］對多種非線性氣動彈性系統進行了實驗和理論研究，認為非線性顫振系統大致可出現兩種分岔特性：一種當飛行速度超過顫振速度時，機翼振幅不會馬上出現發散，而是趨于一種等幅振動，即極限環運動；另一種是飛行速度在某個區間內，存在兩個或兩個以上平衡解，但其中的極限環不全是穩定的，如此系統的平衡位置將嚴重依賴于初始條件，給系統帶來巨大隱患，這對飛行器而言是不允許的。非線性氣動彈性研究的目的是利用有益的系統非線性特性，避免產生有害的非線性現象。因此，有必要對非線性顫振系統的平衡點和極限環的穩定性，以及分岔特性進行研究。

2.3 混沌運動分析

非線性氣動彈性系統中，另外一種復雜的非線性動力學現象是混沌運動。混沌是指發生在確定性系統中貌似隨機的不規則運動，一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性，即不可重復、不可預測。其外在表現與純粹的隨機運動相似，均為不可預測，但與隨機運動不同，混沌系統在動力學上是確定的，其不可預測性源于運動的不穩定性，或者說混沌系統對無限小的初值變動和微擾也具有敏感性，小擾動在長時間后，也會使系統徹底偏離原演化方向。

混沌運動的往復非周期特性可用相平面圖的幾何方法表示，而當周期運動的周期很長時，僅由相平面圖難以區分周期運動和混沌運動。龐加萊映射能更好地刻畫混沌的往復非周期特性。除靜態觀察混沌的幾何特征，還須動態討論系統隨參數變化而呈現混沌運動的過程，即產生混沌運動的途徑。一般，倍周期分岔、陣發性、準周期環面破裂都是典型的混沌產生途徑。

目前，在機翼非線性顫振問題研究中，針對混沌現象，多從現象觀察，采用數值仿真，常根據系統的動力學行為判斷其是否為混沌運動。實踐中，發現系統運動的若干數值特征可用于識別混沌運動，主要有李雅普諾夫指數、分形維數、功率譜和熵等方法［8］。

2.4 非線性顫振控制

非線性顫振是重要也是最難預測的氣動彈性現象，因此，從認識顫振現象開始，就一直研究減緩和控制顫振的各種方法。迄今為止，主要通過被動控制和主動控制兩種途徑實現機翼顫振抑制。在20世紀20年代，采用質量平衡法消除機翼操縱面顫振問題，該方法為最早的被動控制技術，目前仍用于某些飛行器的設計。另外，改變結構剛度也可實現顫振抑制。被動顫振抑制技術雖安全可靠，但缺點也非常明顯，由于改變了整個系統的結構特性，需對飛行器進行重新設計，從而增加設計和制造成本。

對機翼顫振控制，更有前途的技術是半主動控制和主動控制。半主動控制是一種振動系統的參數控制技術，它根據系統輸入的變化和對系統輸出的要求實時調節系統中某些環節的剛度、慣性和阻尼特性，從而使系統獲得優良的顫振特性。半主動控制所需的作動器具有價格低、能耗小等特點，一般其體積和重量也易于接受。半主動控制涉及的關鍵技術是設計并實現參數可控環節和控制策略。主動控制是在振動控制過程中，根據檢測到的結構振動，經實時計算產生一定的控制策略，從而驅動作動器對結構施加一定的作用（如控制力、力矩）實現抑制或消除結構顫振。主動顫振控制因其良好的控制效果，以及對不同結構的適應能力獲得了氣動彈性研究者的關注。50年代中期，提出了主動顫振抑制技術，其基本思想是通過閉環控制，利用系統的狀態和輸出反饋，產生一定的控制力作用于機翼，主動改變機翼顫振系統的零、極點配置，使原來的不穩定狀態轉化為穩定狀態。常用的實施方法是在飛行器升力面的適當部位，安置若干個傳感器測試飛行器升力面的振動信號，將測試信號經放大和轉換或按預先確定的控制律反饋到主動控制系統的舵機上，由舵機驅動操縱面，產生所需控制力，從而使結構振動趨于穩定。

顫振主動控制系統設計主要包括機翼氣動彈性系統建模、控制器設計和系統實施，其中控制器設計是主動控制系統的核心，目前主要有獨立狀態空間控制法、直接速度反饋法、前饋控制法、自適應控制、最優控制和魯棒控制等［13－18］。

3 間隙非線性氣動彈性研究基本方法

二元機翼模型的非線性氣動彈性研究可分為定性和定量分析兩類。定性研究的主要對象是系統的穩定性、局部分岔和分岔類型等，定量研究則關注計算顫振的振幅、頻率和相位等要素。定性研究是進行定量研究前常用的步驟，其結果對定量研究有指導作用。定量研究一方面可驗證某些定性結果，另一方面豐富了定性研究的對象。在很多情形下，兩者間并不存在明顯的界限，在同一問題中可能既有定性分析又有定量計算［1］。

對三元機翼非線性氣動彈性問題的研究，因系統自由度較多，通常會用有限元法建立結構和氣動力模型，獲取多自由度系統的質量陣、阻尼陣、剛度陣和氣動力矩陣，這樣就可用氣動彈性系統運動方程表示三維非線性顫振系統，將二元機翼非線性顫振的研究方法用于三元機翼系統。

3.1 定性研究

機翼非線性顫振定性分析是近年非線性顫振研究的熱點，其中常用的分析方法有幾何法、Hopf分岔定理、中心流形理論和規范型方法。

幾何法由POINCARé于1885年首先提出，通過相平面方法描述系統變量及其導數隨時間的變化，用相平面法可分析系統的穩定性、平衡位置、時間響應、穩定精度，以及初始條件和參數對系統運動的影響，如根據相平面的奇點和極限環可判斷系統的平衡狀態和穩定性。

Hopf分岔是非線性顫振系統中，當分岔參數經過分岔值時由平衡狀態產生孤立的周期運動，伴隨Hopf分岔產生的周期運動的孤立閉軌即為極限環。1782年，在瓦特發明的蒸汽機離心調速器上就觀察到了Hopf分岔現象。此后，POINCARé研究了平面系統中的Hopf分岔現象；ANDRONOV等建立起了平面Hopf分岔理論；HOPF通過嚴格證明，建立了高維系統中的Hopf分岔數學理論。因此，Hopf分岔也稱為Andronov-Hopf分岔或Poincaré－Andronov-Hopf分岔。

中心流形方法是非線性顫振系統理論研究的重要內容，是線性系統的中心子空間概念在非線性顫振系統中的推廣。在高維非線性顫振系統非雙曲平衡點的鄰域內，存在一類維數較低的局部不變流形，當系統的相軌跡在此流形上時可能存在分岔，而在該流形之外，動力學行為非常簡單，如以指數方式被吸引到該流形。這類流形成為中心流形。1964年，PLISS證明了中心流形定理的一個特例，1967年KELLEY證明了一般有限維系統的情形。該定理還可推廣到若干無窮維系統。

傳統上，規范型方法先采用中心流形理論對高維方程進行降維，再用一系列近恒等變換進行簡化，之后對簡化方程進行非線性分析。該過程中有大量的矩陣計算顯得較復雜。

上述定性研究的基本思路都是采用中心流形降維＋規范型方法，此類方法的缺點是不能用于研究間隙非線性和遲滯非線性顫振系統。目前，大量研究成果已證明初值對間隙非線性顫振系統和遲滯非線性顫振系統的動力學行為影響很大，而規范形理論和中心流形理論中未考慮初值的任何信息。因此，規范形理論和中心流形理論不能很好地研究間隙非線性或遲滯非線性顫振系統。

3.2 定量方法

非線性顫振定量方法大致可分為解析法、半解析半數值法和數值法。文獻［19］從分析的角度提出了一種求解非線性顫振方程的解析方法。得益于現代計算方法的發展，數值積分方法（如Runge-Kutta法和有限差分法）成為非線性顫振分析中常用的數值方法。一方面，解析方法僅在某些特定的情況下有效，方法推導也較復雜，要求有很高的數學技巧，其應用受到了較大的限制；另一方面，只從數值計算分析非線性顫振系統，也不利于探討各參數對顫振特性的影響規律。因此，合適的解析方法也是分析非線性顫振系統的技術途徑，目前非線性顫振的定量方法多屬于半數值半解析的范疇。以下介紹等效線性化法、描述函數法、諧波平衡法、高維諧波平衡法、增量諧波平衡法、點映射和胞映射方法、中心流形理論、攝動增量法、數值積分法及其他方法。

等效線性化法是非線性顫振分析常用的方法，主要通過平均法或其他方法獲得非線性顫振系統的等效線性剛度，從而獲得原非線性顫振系統的等效線性顫振系統，并用線性顫振分析方法求解。在非線性振動力學中，等效線性化法是建立在平均法基礎上的，由平均法的近似解出發，用狀態變量消去第一階諧波項，推導出原系統近似的線性微分方程（即等效線性振動方程）。陳立群等闡明了該方法的物理意義是等效線性力與非線性力的功率及無功功率均相等，證明了在系統簡諧振動的一個周期中，非線性力和等效線性力差值的累積平方取最小值。

描述函數法是目前非線性顫振求解使用最多的求解方法。該法的目的是獲得等效線性系統，以便應用傳統氣動彈性系統的求解方法。1940年，由DARNEL首先提出，當非線性方程的假設解只取基波分量時，諧波平衡法即為描述函數法。通常描述函數法主要用于分析無外力作用時非線性顫振系統的穩定性、自振蕩及周期解的存在性等。因描述函數法不受系統階次限制，且能給出滿意的結果，故獲得了廣泛應用。傳統描述函數法的基本思想是，當系統滿足一定的假設條件時，用一次諧波分量近似系統中的非線性環節在正弦信號作用下的輸出，從而得到非線性環節的近似線性特性，因此描述函數法亦稱為等效線性化法。當非線性顫振系統的輸入信號為常數（直流分量）或其他高斯分布信號時，經擬線性化計算也可實現非線性環節的線性化描述。

諧波平衡法的本質是時域Galerkin法，其基本概念是將解假設為關于時間的截斷Fourier級數，通過諧波平衡過程獲得關于Fourier系數的代數方程組（諧波平衡方程）。根據所用諧波數的多少，該法又分為一階和高階諧波平衡法。對某些低維非線性振動方程，能解析求出一階或低階諧波平衡解，因此在某些場合中低階諧波平衡法可視為解析方法。但對大多數振動方程，諧波平衡方程含非常復雜的非線性項，其解析解很難求得，甚至無法確定，因而只能求數值解。另外，諧波平衡解顯含時間，且諧波平衡法可獲得數值方法不能求得的不穩定極限環（或周期）解。因此，諧波平衡法本質上屬于半解析半數值方法，且對一般的周期振動問題，通常使用前數次諧波便可獲得精度很高的解，因此在各種非線性動力學工程問題的求解中獲得了廣泛應用。但隨著諧波個數增多，各次諧波分量對非線性項的Fourier級數展開所需的推導過程會越來越復雜，故諧波平衡法一般只能使用較少的諧波數。

高維諧波平衡法由杜克大學的HALL等提出［20］。由于高階諧波平衡方程常含非常復雜的非線性項，諧波平衡法解的獲得隨所考慮諧波數的增加而急劇變難，這極大地限制了該方法的進一步應用和推廣。高維諧波平衡法能避免諧波平衡法中的復雜公式推導，其核心是將諧波平衡法的頻域變量（Fourier系數）通過離散傅里葉變換與時域變量建立等式關系，這樣就避免了非線性項的Fourier展開。但研究表明高維諧波平衡法會產生多余的非物理解，而對非物理解的鑒別和剔除的處理過程很復雜。2014年，DAI等提出時域配點法研究俯仰立方非線性二元機翼的復雜響應行為，并證明了高維諧波平衡法是配點法而不是諧波平衡法的變種，用該法消除了高維諧波平衡法中出現的非物理解［21］。

增量諧波平衡法同樣也是為避免直接求解復雜的諧波平衡方程而提出的一種半解析半數值方法，它綜合了數值計算中的增量方法和諧波平衡法。該法的實質是在諧波平衡法前，先用增量方法獲得關于增量的線性方程組。增量諧波平衡法的第一步就是Newton-Raphson的增量過程；第二步就是諧波平衡過程；第三步中，給定初始擾動幅值、初始頻率和振幅，通過不斷迭代誤差修正求得方程組的其他未知數。需說明的是，增量諧波平衡法本質是時域的增量Galerkin法，在數學上兩者等價，不同的是前者用于時域內的諧波平衡，后者用于離散空間坐標。用該法，不僅可容易獲得高階諧波平衡解，而且能通過主動增量過程獲得一系列連續變化的解，便于分析參數對系統響應的影響。

點映射法和胞映射法主要用于研究具有間隙非線性或遲滯非線性顫振系統，間隙非線性和遲滯非線性最主要的特點是存在“映射點”，“映射點”對非線性顫振系統有十分重要的影響。如將間隙非線性或遲滯非線性對應的無“映射點”分段光滑函數用近似的光滑函數代替，就會造成分岔點的位置不準確。該方法是利用切換點將整個狀態空間劃分為多個子空間，在每個子空間內用數值積分法得到微分方程的解析解，系統解的軌跡是由各子空間內解的軌跡組成。此方法可準確預測極限環振動的幅值和頻率，也能分析初始條件對系統的影響，以及用于研究間隙非線性或遲滯非線性顫振系統的分岔和混沌現象。該方法暫時只在分段線性顫振系統中用成功應用，其缺點主要有兩個：每個子空間內氣動彈性方程不能表示為線性微分方程；不能得到不穩定的周期解，也不適于研究參數變化的情況。

中心流形定理是研究非線性動力學系統強有力的數學工具，適于分析光滑的常微分方程系統。該定理是為分析定性性質而提出的，本質上屬于局部理論，但也有研究者嘗試用該法獲得機翼強非線性顫振系統的某些定量性質。由于非定常氣動力作用下機翼氣動彈性系統中存在積分項，中心流形理論難以直接應用。

攝動增量法由CHUNG等提出，分別用于分析含雙線性和遲滯非線性的顫振系統，可成功預測系統的周期解、倍周期解、鞍結分岔和Neimark-Sacker分岔等［22－23］。文獻［22］用攝動－增量法得到某一速度下的對稱LCO和某一速度下的非對稱LCO、倍周期LCO。用攝動－增量法可獲得線性子域轉化點的精確預測（相對諧波平衡法），可捕捉到不穩定的LCO（相對點映射法）；攝動增量法的結果與點映射法和數值積分法一致，且可用于多自由度非線性和遲滯非線性顫振系統的分析。

數值積分法的本質是對非線性顫振系統進行數值積分，在時域內將時間響應歷程離散化，每個時間步長用線性方法計算，并對每個步長結果進行修正。應用數值積分法時，需注意初始條件選擇。數值積分法的優點有：使用方便，無需像解析法的大量公式推導；能對復雜響應進行仿真；初值選取時物理意義明確；計算精度高。數值積分解可作為驗證版解析法的標準解。數值積分法的缺點有：計算時間長，算法穩定性和收斂性要求積分時間步長取足夠小，且須對初始階段的瞬態過程進行仿真，在足夠長時間歷程后才能得到系統的穩態運動；數值計算結果不能直接反映系統的某些物理特性。

3.3 研究方法比較

首先，定性研究方面，非線性顫振系統分岔點定性研究的規范型方法是根據微分方程定性理論推導而得的。該方法的特點之一是能得到分岔方程的局部解析式，故可同時判別分岔點的類型和極限環振動的穩定性。與分岔點類型判別的其他方法（如后繼函數法和形式級數法）相同，規范型方法先用中心流形理論將高維系統降維，不同的是，規范型判別法可分析分岔參數附近的局部穩定性，即系統在分岔點附近極限環的穩定性。另外，該法未考慮顫振系統的特殊性，因此可用于分析更一般的非線性振動。向量場定性理論經過了嚴格的數學證明，其非線性顫振的定性分析結果可信，可用于驗證某些新方法。但這類方法的最大缺陷是局部性假設，只在小參數范圍內有效［1］。

其次，定量研究方面，等效線性化法是一種簡便高效的解析方法，其特點是能獲得解析的分岔方程。由于其解析的特點，等效線性化法可揭示系統的分岔點，并能直觀地判別極限環的穩定性。改進的等效線性化法繼承了這些優點，而且可給出更精確的解，其計算精度不隨風速增大而顯著降低。但對含二次非線性環節的單自由度振動系統和高階非線性顫振系統，等效線性化法都會失效。為消除該缺陷，推廣的等效線性化法可同時處理含偶次和奇次非線性的振動系統。總體而言，改進或推廣的等效線性化法既能得到較精確的定量結果，還繼承了可判斷極限環穩定性的優點。雖然用優化的方法可將等效線性化法推廣至多自由度含非線性環節的顫振系統，但也增加了誤差來源，結果的精度也需進一步驗證。因此，該類方法的缺點是原則上只能處理一個自由度含非線性環節的顫振系統，且精度也不及高階諧波平衡解和同倫分析解。

諧波平衡法、橢圓函數諧波平衡法非常適于求解強非線性顫振系統。諧波平衡法在求解非線性顫振系統時具有原理清晰、步驟簡單的優點，受到了青睞，但隨所考慮諧波數的增加諧波平衡方程會使該方法非常難以求解。考慮此點，可推廣橢圓函數諧波平衡法，使其能用于求解二自由度的強非線性顫振系統。該法雖然原理簡單，但推導和計算過程較復雜，且只適于求解含單個非線性環節的顫振系統。隨后提出的高維諧波平衡法，能避免諧波平衡法中存在的復雜公式推導，將諧波平衡法的頻域變量通過離散傅里葉變換與時域變量建立等式關系，這樣就避免了非線性項的Fourier展開。

增量諧波平衡法為非線性顫振分析提供了強力工具，其潛力還需進一步挖掘，優點將會更明顯。另外，基于諧波平衡法和極小值求解技術提出的該法有效避免了直接求解復雜的諧波平衡方程，若引入增量過程，可望提供一種可控制迭代收斂的新的增量方法。

同倫分析法在非線性顫振分析中的應用和推廣表現出了精度高的優點。事實上，只需增加循環次數，極限環顫振的同倫分析解可計算至任意精度。這與諧波平衡法截然不同，同時也使該方法特別適于計算機求解。但與增量諧波平衡法相比，同倫分析解暫時只能求單一情況下的解，不具有后者能求一系列解的優點，因而不利于探討參數對顫振特性的影響規律。將增量過程和同倫分析法結合，以提出更高效的顫振數值求解工具也是值得研究的方法。

與增量諧波平衡法類似，攝動增量法也有增量過程，因此可提出另外一種適于分析參數影響規律的方法。但與多數攝動法一樣，它受到了小參數的限制，不利于在強非線性顫振系統中求解。另外，點映射和胞映射法、定量分析的中心流形理論等其他方法也是對非線性顫振問題定量分析方法的嘗試和補充。

求解非線性顫振問題并無統一的處理方法，需要具體問題具體處理。更確切地說，對不同的非線性現象，需有不同的研究思路和處理技巧。因此，發展更多更強大的定性和定量分析方法十分必要。本文中各種方法各有其優缺點，以及不同的適應范圍和限制條件，不能相互替代和包含，只有聯合應用、取長補短才能在非線性，尤其是強非線性顫振問題的分析中發揮更重要的作用，才能較好地處理更多的非線性顫振問題，提供更精確更科學的結果。

4 結束語

本文對非線性顫振、集中非線性特性、非線性結構氣動彈性行為和基本分析方法進行了綜述。實際機翼系統中存在大量的非線性因素，剛度和阻尼耦合性很強，因此需進一步考慮不同形式的結構非線性、氣動非線性，以及控制非線性等非線性因素對氣動彈性系統動力學行為的影響規律。同時由于存在非線性因素，系統表現出的動力學響應通常非常復雜，除間隙非線性外，對其他不同種類的非線性引起的氣動彈性系統的力學行為還有待深入研究。

針對非線性顫振問題，對不同的非線性現象應有不同的研究思路和處理技巧，可結合各種方法的優缺點以及不同的適應范圍和限制條件，聯合應用、取長補短。分析非線性顫振系統的方法，一般可采用時域積分法求解非線性顫振方程，通常認為時域積分方法所得結果是精確的，但計算時間較長，而頻域方法可較好地解決這個問題。因此，需對現有頻域方法進行改進和發展，以解決目前存在的問題。如用高階諧波平衡法求解非線性顫振問題，求解高維的代數非線性方程組很困難，限制了該法的進一步應用和推廣，可通過改進方法，避免直接求解諧波平衡方程。用改進的方法解決已存在的問題，與之前求解的方法進行比較，證明其改進方法的可行性和準確性，也是非線性顫振問題的研究之一。另外，也可將非線性振動方面的新方法推廣并用于非線性顫振研究。

［1］ 陳衍茂，劉濟科，孟 光.二元機翼非線性顫振系統的若干分析方法［J］.振動與沖擊，2011，30（3）：129-134.

［2］ LEE B H K，PRICE S J，WONG Y S.Nonlinear aeroelastic analysis of airfoils：bifurcation and chaos［J］.Progress in Aerospace Sciences，1999，35（3）：205-334.

［3］ DOWELL E，TANG D.Nonlinear aeroelasticity and unsteady aerodynamics［J］.AIAA Journal，2002，40（9）：1697-1707.

［4］ LEE B H K，JIANG L Y，WONG Y S.Flutter of an airfoil with a cubic restoring force［J］.American Institute of Aeronautics and Astronautics，1998，237-257.

［5］ LEE I，KIM S H.Aeroelastic analysis of a flexible control surface with structural nonlinearity［J］.Journal of Aircraft，1995，32（4）：868-874.

［6］ PRICE S J，ALIGHANBARI H，LEE B H K.The aeroelastic response of a two-dimensional airfoil with bilinear and cubic structural nonlinearities［J］.Journal of Fluids and Structures，1995，9（2）：175-193.

［7］ PRICE S J，LEE B H K，ALIGHANBARI H.Postinstability behavior of a two-dimensional airfoil with a structural nonlinearity［J］.Journal of Aircraft，1994，31：1395-1401.

［8］ 劉延柱，陳立群.非線性振動［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［9］ CHEN P C，LEE D H.Flight-loads effects on horizontal tail free-play-induced limit cycle oscillation［J］.Journal of Aircraft，2008，45（2）：478-485.

［10］ TANG D，DOWELL E H.Aeroelastic airfoil with free play at angle of attack with gust excitation［J］.AIAA Journal，2010，48（2）：427-442.

［11］ TANG D，DOWELL E H，VIRGIN L N.Limit cycle behavior of an airfoil with a control surface［J］.Journal of Fluids and Structures，1998，12：839-858.

［12］ DOWELL E，THOMAS J，HALL K.Transonic limit cycle oscillation analysis using reduced order aerodynamic models［C］／／Proceedings of 19th AIAA Applied Aerodynamics Conference.Seattle：AIAA，2001：1-9.

［13］ RAMESH.M，NARYAANAN.S.Controlling chaotic motion in a two-dimensional airfoil using time-delayed feedback［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，239：1037-1049.

［14］ 楊智春，趙令誠，姜節勝.結構非線性顫振半主動抑制［J］.應用力學學報，1994，11（1）：66-69＋123.

［15］ 楊智春，趙令誠，姜節勝.結構非線性顫振半主動控制的理論及實驗研究［J］.航空學報，1993，16（11）：640-643.

［16］ 何景武，鄒叢青.顫振主動抑制系統魯棒控制律初探［J］.北京航空航天大學學報，1995，21（2）：10-15.

［17］ 唐長紅，鄒叢青.利用雙目標優化尋求顫振抑制控制律［J］.北京航空航天大學學報，1990，16（2）：56-64.

［18］ 任勇生，劉立厚，韓景龍，等.飛行器非線性氣動彈性和顫振主動控制研究進展［J］.力學季刊，2003，24（4）：534-540.

［19］ LEE B，GONG L，WONG Y.Analysis and computation of nonlinear dynamic response of a two-degree-offreedom system and its application in aeroelasticity［J］.Journal of Fluids and Structures，1997，11（3）：225-246.

［20］ HALL K C，THOMAS J P，CLARK W S.Computation of unsteady nonlinear flows in cascades using a harmonic balance technique［J］. AIAA Journal，2002，40：879-886.

［21］ DAI Hong-hua，YUE Xiao-kui.A time domain collocation method for studying the aeroelasticity of a two dimensional airfoil with a structural nonlinearity［J］.Journal of Computational Physics，2014，270：214-237

［22］ CHUNG K W，CHAN C L，LEE B H K.Bifurcation analysis of a two-degree-of-freedom aeroelastic system with freeplay structural nonlinearity by aperturbation-incremental method［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，299（3）：520-539.

［23］ CHUNG K W，HE Y B，LEE B H K.Bifurcation analysis of a two-degree-of-freedom aeroelastic system with hysteresis structural nonlinearity by aperturbation-incremental method［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，320：163-183.