折疊變換媒質散射特性與參數分析

龐旭東，朱偉華，朱守正

（1.上海機電工程研究所，上海 201109；2.華東師范大學 信息科學與技術學院，上海 200241）

0 引言

變換電磁學利用坐標變換的方法，可根據需要設計特定本構參數（介電常數ε，磁導率μ）的介質，使電磁波在這些介質中以期望的方式傳播或散射，從而達到對電磁波的操控，結合超材料技術，可設計多種新穎器件［1－3］。早期的應用是電磁隱身斗篷，其后發展出了多種不同的坐標變換方式（如折疊變換），以及其他功能的變換電磁學器件（如電磁波集中器、電磁波擴展器和電磁波旋轉器等）［4－9］。

電磁波集中器／聚焦器對入射電磁波有匯聚作用，并可放大此器件內部物體的散射，這些性能類似光學器件中凸透鏡的功能，而應用頻段則拓展至電磁波譜領域［6－11］。電磁波集中器可分為普通型和折疊變換式兩類。目前對這兩類器件的研究缺乏統一性，對后者的研究相對更少。少量文獻對集中器散射放大作用研究，但對折疊變換媒質散射放大特性的定量對比分析尚不深入［11］。折疊變換式集中器的媒質參數多為負值，目前暫未有文獻對其參數詳細分析。本文對折疊變換式集中器變換媒質的散射特性進行了仿真驗證與計算。

1 理論基礎

上述兩類電磁波集中器的坐標變換函數均為折線型分段函數［6－9］。對折疊變換式集中器二維圓柱模型，在柱面波照射，波源頻率f＝3GHz，波源距離d＝0.9m，a＝0.1m，b＝0.2m，k＝3條件下，用Comsol Mutiphysics有限元法分析軟件仿真，結果如圖1（a）所示［6］。其中：內圓r＝a為器件的內邊界；外圓r＝b為器件的外邊界；k為倍率。兩者的對比如圖1（b）所示。采用圓柱坐標系，原始空間和變換空間分別為（r，θ，z），（r′，θ′，z′）。此處：r，θ，z分別為各自空間徑向分量、角度分量和軸向分量。

圖1（b）中：r為原始空間圓柱半徑；縱軸r′為變換空間圓柱半徑；折線1、2分別為普通電磁波集中器和折疊變換式集中器的坐標變換函數。折線2表示將0≤r≤s區域壓縮到0≤r′≤a（s＞b），s≥r≥b區域被變換到a≤r′≤b，且b≤r≤s區域被翻折回b≤r′≤s。其中帶有局部空間的翻折，是一種折疊變換，稱其變換媒質為折疊變換媒質或互補媒質，參數多為負值［5］。折線1中a＜s＜b，表示普通型集中器／聚焦器［6－9］。坐標變換函數中s的不同取值可得到兩種不同器件。

圖1 仿真與對比Fig.1 Simulation and comparison

器件的坐標變換公式可統一表示為

式中：s＝ka［6－9］。折線1、2的s值范圍不同，故普通型集中器1＜k＜b／a，折疊變換式集中器k＞b／a。對圖1的模型b／a＝2，普通型集中器的k只能限制為小于2；折疊變換式集中器的k可大于2，甚至更高，其媒質參數也會出現負值。

令sinθ＝y／r，cosθ＝x／r，折疊變換式集中器柱坐標系中介電常數ε各分量可表示為

介電常數ε張量在x、y向分量可表示為

2 散射特性

由圖1（a）可知：與普通型集中器類似，折疊變換式集中器對入射波也有匯聚作用，具電磁散射放大功能，相當于電磁波譜領域的凸透鏡［5－9］。倍率為k的集中器，對內置物體的散射尺寸，其放大倍數為k。折疊變換式集中器的倍率k＞b／a，可突破器件尺寸的限制，實現較高倍率的散射放大作用。

本文用數值仿真計算驗證折疊變換式集中器的散射特性。在圖1（a）器件模型內部放置一較小尺寸物體的模型，用平面波照射得到散射模式的仿真結果。本文選取F－22隱形飛機截面形狀的二維仿真模型（實際飛機的共形縮比模型）作為內置物體，模型機身長度h＝0.134 6m，模型翼展寬度w＝0.10m。對飛行體，本文設置仿真模型的邊界為金屬，器件尺寸a＝0.1m，b＝0.2m。對各種模型散射模式的仿真結果，分別定量計算其散射寬度值［10］。因有限元法計算的結果是近場數據，故還需由Huygens原理將近場數據轉為遠場數據，再計算散射寬度

式中：Ei，Es分別為入射電場場強和散射電場場強；φ為柱坐標系中方向角度；r為其徑向距離。

對k＝4.5的折疊變換式集中器散射放大功能進行了仿真驗證與計算。f＝3GHz，k＝4.5時TE平面波從左照射模型的仿真及散射寬度計算結果如圖2～4所示。為便于比較，統一σ取值范圍為0～5.5m。由圖可知：圖3（a）集中器中原尺寸模型的散射與圖4（a）4.5倍尺寸模型基本相等，且遠大于圖2（a）原尺寸模型。

圖2 原尺寸隱身飛機仿真和計算結果Fig.2 Simulation and calculation result of stealth aircraft with original size

用類似方法對其他倍率的折疊變換式集中器散射特性也進行了研究，結果驗證了圖2～4的結論：倍率為k的折疊變換式集中器，對內置物體的散射尺寸，其放大倍數為k（k＞b／a），可實現較高倍率的散射放大。

散射放大作用是一種超散射可用于設計多種新穎的變換電磁學器件［11－12］。在軍事領域，折疊變換式集中器可用于誘餌機和干擾機，在防空領域的突防與反突防有潛在的軍事價值。

3 參數分析

討論不同變量（倍率k或器件相對厚度D）下折疊變換媒質參數極值的變化，以及整體參數分布的規律。此處：D＝（b－a）／a。

設a＝0.1m，b＝0.2m，當D＝1時不同倍率k下ε各方向分量極值如圖5所示。

圖3 集中器內原尺寸隱身飛機仿真和計算結果Fig.3 Simulation and calculation result of stealth aircraft with original size in concentrator

圖4 4.5倍尺寸模型仿真和計算結果Fig.4 Simulation and calculation result of model with 4.5times size

設a＝0.1m，b為0.1～0.4m，s＝0.4m，當k＝4時不同D的ε各向分量極值如圖6所示。

圖5 不同k時ε各向分量極值Fig.5 Various component extremums ofεunder different k

圖6 不同D時ε各向分量極值Fig.6 Various component extremums ofεunder different D

歸一化參數（η＝（ηmax－ηmin）／ηmax）分別如圖7、8所示。由圖7可知：ηr，θ，z隨k增大而增大，表明隨著器件放大能力的提高，變換媒質參數的分布范圍不斷增大，意味著實際實現的難度加大；ηxx，yy隨k先減小后上升，在k＝4處取得最小值75%，綜合考慮兩者及實現難度，可認為：k＝4是器件設計的最優化倍率值。由圖8可知：ηr，θ，z不隨D發生變化，保持75%不變；ηxx，yy隨D先減小后增大，在D＝1處取得參數分布最小值，綜合兩者可認為D＝1是器件設計的最優化尺寸。

圖7 不同k時ηFig.7 Normalized parameter under various k

圖8 不同D時ηFig.8 Normalized parameter under various D

4 結束語

本文對折疊變換媒質的散射特性和參數進行了研究。仿真計算并驗證了折疊變換式集中器變換媒質的散射特性，討論了折疊變換媒質的參數極值及其歸一化分布范圍，給出了其最優化設計。研究有一定參考的價值。

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