數(shù)學(xué)建模隊(duì)員選拔問題解析

蔡俊娟

蔡俊娟/廈門海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部在讀碩士(福建廈門361005)。

問題:需要選擇學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，今假設(shè)有 20 名隊(duì)員(A，B，C，D，…S，T)準(zhǔn)備參加競賽，根據(jù)隊(duì)員的能力和水平要選出18名優(yōu)秀隊(duì)員分別組成6個隊(duì)，每個隊(duì)3名隊(duì)員去參加比賽。表1是20名隊(duì)員的7科成績。(詳見美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題)

表1 20名隊(duì)員7科成績

我們將對以上20名參加培訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)，并進(jìn)行匯總排序，從而選出最優(yōu)秀的18名學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽。

一、數(shù)據(jù)處理

不論我們用何種方法來選拔參賽的學(xué)生，我們都會發(fā)現(xiàn)這20位學(xué)生7門學(xué)科中，有些科目所有學(xué)生的分?jǐn)?shù)普遍較高(比如協(xié)作能力)，有些科目分?jǐn)?shù)普遍較低(比如其它特長)。所以首先我們必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，以去除各因素之間打分差距的相互影響，我們構(gòu)造相對偏差矩陣R:

也就是先找出每列因素指標(biāo)里的最小值和區(qū)間長度，再用每位學(xué)生的分?jǐn)?shù)減去最小值并除以區(qū)間長度，所得到的數(shù)據(jù)都介在0－1之間，最高分值就轉(zhuǎn)化為1，最低分值就轉(zhuǎn)化為0，這樣就可以避免由于某些選項(xiàng)的取值偏小，而忽略其對整體評價(jià)的重要性。

將所有數(shù)據(jù)處理過后，我們將采用三種方法來對20位學(xué)生進(jìn)行選拔。

二、選拔方法

(一)不考慮各因素的權(quán)重，直接計(jì)算成績并選拔

首先，我們先選擇最簡單的一種方式，就是不考慮各因素的權(quán)重，直接將7個因素指標(biāo)的每位學(xué)員的分?jǐn)?shù)相加，這樣我們就可以非常容易地得到各學(xué)員的總成績，詳見表2。

表中，分?jǐn)?shù)最高的學(xué)生為D(5.12分)，而應(yīng)該淘汰分?jǐn)?shù)最低的兩位選手，分別是B(1.24)和J(2.34)。縱觀各學(xué)生的成績，D選手分?jǐn)?shù)普遍比較高，特別是外語水平和協(xié)作能力的分?jǐn)?shù)都是第一。而選手J的其他特長只有4分，因此拉低他的總體分?jǐn)?shù)。

表2 不考慮權(quán)重所得到的學(xué)生分?jǐn)?shù)

(二)利用各指標(biāo)來確定權(quán)重，計(jì)算各選手的成績

(一)所采用的方法，最大的缺點(diǎn)是未考慮各因素之間權(quán)重的大小關(guān)系。通過觀察各學(xué)員的分?jǐn)?shù)，我們發(fā)現(xiàn)所選拔的學(xué)生都是各方面成績比較均衡的學(xué)生，但這樣的計(jì)算方式并不一定太合理，所以接下來我們利用各指標(biāo)之間的方差值來計(jì)算各因素指標(biāo)的權(quán)重。

1.計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù):

2.對權(quán)重系數(shù)vi進(jìn)行歸一化處理:為了保證公平性，權(quán)重還需進(jìn)行歸一化處理:

利用以上三個步驟，我們可以得到各因素指標(biāo)的權(quán)重及20位隊(duì)員的分?jǐn)?shù)如下表。

表3 7個因素的權(quán)重

表4 考慮權(quán)重后，20名學(xué)員的總成績

從上述兩表中可以發(fā)現(xiàn)，在這7個因素指標(biāo)中，最重要的應(yīng)該是動手能力，而權(quán)重最小的是學(xué)科成績和其他特長。因此，20位學(xué)生的加權(quán)成績計(jì)算過后，我們應(yīng)該淘汰的選手是B(0.1851)和N(0.5301)。

(三)利用層次分析法，計(jì)算各選手的成績

但是由于數(shù)學(xué)建模比賽中有些因素是非常重要的，在(二)的計(jì)算過程中，權(quán)重最小的為學(xué)科成績，但是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們一般認(rèn)為學(xué)習(xí)成績應(yīng)該比其它特長要重要得多，但是按照(二)的選擇方式，重要的因素是動手能力，學(xué)科成績反而并不重要。

1.建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)。

2.構(gòu)造兩兩比較矩陣。因?yàn)橹笜?biāo)因素眾多，要直接對每一個因素指標(biāo)確定權(quán)重是非常有困難的。因此接下來，我們對同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，做出權(quán)重分析［1］。

我們不妨認(rèn)為在這七個因素中，分別的重要性依次應(yīng)該是學(xué)科成績、智力水平、動手能力、寫作能力、外語水平、協(xié)作能力、其他特長。如果認(rèn)為七個因素指標(biāo)的順序不應(yīng)該如此，只需根據(jù)各自的要求進(jìn)行排序即可。

其中，7表示特別重要，也就是說本文認(rèn)為學(xué)科成績比其他特長要重要得多，當(dāng)然其所占的權(quán)重分?jǐn)?shù)要高得多。

3.單個矩陣的一致性檢驗(yàn)。由于我們在計(jì)算的過程中是兩兩進(jìn)行比較，容易構(gòu)成甲比乙強(qiáng)，乙比丙強(qiáng)，但是丙確比甲強(qiáng)。判斷矩陣中的數(shù)值多半是根據(jù)專家的意見給出的，而衡量判斷矩陣的合格標(biāo)準(zhǔn)是其是否具有一致性。由于在評判過程中，每一件事物的評判準(zhǔn)則受主觀因素影響較大，完全一致的判斷往往是不現(xiàn)實(shí)的，一般只需近似地滿足一致性即可。

接下來，我們需要判斷我們所構(gòu)造的矩陣A的一致性。

(1)利用數(shù)學(xué)軟件MATHEMATICA:Eigenvalues［矩陣］，我們可以得到該矩陣的特征值，并找出其中最大的特征值:7.19553。通過以下公式計(jì)算一致性指標(biāo):

其中n為判斷矩陣A的階數(shù)，應(yīng)當(dāng)取7，λmax為A的最大特征值7.195 53，通過計(jì)算，我們得到該矩陣的 CI值:0.032 59。

(2)查詢平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。通過查表［2］，可以得到 RI7=1.32。

4.計(jì)算各因素的權(quán)重。當(dāng)一致性檢驗(yàn)通過后，我們可以計(jì)算各因素的權(quán)重。同樣的，利用數(shù)學(xué)軟件MATHEMATICA:Eigenvectors［矩陣］。我們可以得到各因素的權(quán)重，并進(jìn)行歸一化處理可以得到表5。

表5 層次分析法的各因素權(quán)重

表5中，權(quán)重2為歸一化處理后的各因素的權(quán)重，從上表中我們可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)所給出的權(quán)重，學(xué)科成績比其他特長要重要得多，這樣可以從中選出最適合數(shù)學(xué)建模比賽的學(xué)生。

5.計(jì)算各學(xué)員的總分。最終我們利用權(quán)重及各學(xué)生的分?jǐn)?shù)，我們可以得到20位學(xué)生的成績?nèi)绫?。

表6 層次分析法下各學(xué)員的成績

從上表中，我們可以發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)最高的選手為G(0.75)，而最應(yīng)該淘汰的選手是 H(0.26)和 I(0.27)。

以上用三種方法來選拔數(shù)學(xué)建模選手的模型可以應(yīng)用于各行各業(yè)的綜合評價(jià)中。

［1］劉來福，曾文藝.問題解決的數(shù)學(xué)模型方法［M］.北京師范大學(xué)出版社，1999.

［2］姜啟源.數(shù)學(xué)模型［M］.北京:高等教育出版社，2011:249－257

［3］吳曉.數(shù)學(xué)建模競賽隊(duì)員的選拔與培訓(xùn)［J］.肇慶學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，05.