利用多光柵傅里葉頻譜的卷積實現數的表達和加密

胡夢瑩， 李佳悅， 潘永華

(南京大學 物理學院，江蘇 南京210093)

0 引 言

在阿貝成像實驗中，通過對物面上光柵進行調制，并研究光柵傅里葉頻譜的卷積圖像，可以延伸出大量有趣而有應用價值的拓展［1-6］。本實驗搭建一個簡單的光路系統，如圖1 所示。在物面上放上光柵，激光器發出的激光經過透鏡組擴束后垂直照在光柵上，首先從兩光柵頻譜的卷積定理出發，研究了多光柵傅里葉頻譜的卷積圖像，然后利用這種圖像特征，通過對各個光柵與水平方向夾角的調制，賦予其頻譜面上各分立譜圖像及其特定角度以某種定義，實現了數的表達以及加密的功能，最后探討了這種全新方案的優越性。

圖1 實驗的光路系統圖

1 多光柵傅里葉頻譜的卷積

1.1 阿貝成像原理［7，8］

在相干光照射下，顯微鏡物鏡成像過程可以看作二次衍射過程。第一次衍射發生在物平面到物鏡后焦面，通過物的衍射光在物鏡后焦面上形成夫瑯禾費衍射圖;第二次衍射發生在物鏡后焦面到像平面，將物鏡后焦面上夫瑯禾費衍射圖上各點發出的球面波在像平面上相干疊加復合為中間像，可以通過目鏡觀察到。這兩個過程本質就是兩次傅里葉變換。其物光精確的傅里葉變換關系［9］為:

其中:fx，fy是x 和y 方向的空間頻率，g(x，y)是物平面的光場復振幅分布;G(fx，fy)是g(x，y)的空間頻譜。

1.2 卷積定理［10］

設有兩個二維函數g(x，y)和h(x，y)，它們的傅里葉頻譜分別為G(fx，fy)和H(fx，fy)，即

其中，F［］表示傅里葉變換。

根據卷積的定義(以* 表示):

則有

由此可知，若物面上復振幅分布為g(x，y)與h(x，y)之乘積，則由卷積定理可知在頻譜面上將觀察到的復振幅分布將是他們各自頻譜的卷積［11］，同樣若在物面上是g(x，y)和h(x，y)的卷積，則在頻譜面上觀察到的將是他們各自頻譜的乘積。

實驗中分別將兩個具有不同空間頻率的一維光柵放入光路中作為物，設g(x，y)為高頻300 條/mm 一維光柵，h(x，y)為低頻100 條/mm 一維光柵，分別觀察其頻譜G(fx，fy)、H(fx，fy)，如圖2 所示。然后將兩光柵重疊在一起作為物，則總的振幅透過率為兩光柵各自振幅透過率之乘積g(x，y)·h(x，y)，在頻譜面上則可觀察到兩光柵各自傅里葉頻譜的卷積G(fx，fy)*H(fx，fy)，如圖3 所示。

圖2 兩個一維光柵各自的頻譜圖

圖3 兩個一維光柵頻譜的卷積圖像

1.3 卷積定理的推廣——多光柵傅里葉頻譜的卷積

在物理學中，任何一個符合疊加原理的線性系統都存在卷積［12］。一般來說，卷積是一種通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的數學算子，表征函數f 與經過翻轉和平移的函數g 的重疊部分的面積。如果將參加卷積的一個函數看做區間的指示函數，則卷積還可以看做是“移動平均”的推廣。數學上，卷積運算滿足交換律和結合律，也即可以實現多個函數的連續卷積運算，所有參與卷積的函數地位相同。

在光學上，為了實現卷積，應用以下傅氏變換公式［13-14］:

式中:A(νX)是a(x)的傅氏變換;F 表示傅氏變換;νX是空間頻率。故我們完全可以將1.2 中2 光柵傅里葉頻譜的卷積推廣到多個光柵［15］。在實驗條件足夠理想時，4 個光柵、5 個光柵乃至n 個光柵傅里葉頻譜的卷積圖像都有望實現。

本文通過實驗觀測到了3 個一維光柵(空間頻率分別為300 條/mm、100 條/mm 以及10 條/mm)傅里葉頻譜的卷積圖像，如圖4 所示。

圖4 3 個光柵傅里葉頻譜的卷積圖像

2 利用多光柵傅里葉頻譜卷積實現數的表達

2.1 基本思想

空間頻率越大的光柵，其衍射分立譜的間距越大。如果在物面上先放置一個空間頻率最大的一維光柵G1，再放置一個空間頻率第二大的一維光柵G2，此時在頻譜面上就可以得到它們各自頻譜的卷積圖像。保持G1 不動，旋轉G2，可以觀察到G2 的分立譜繞著G1頻譜的每個點轉動，即與G1 頻譜的夾角發生變化。再加入一個空間頻率第三大的一維光柵G3，此時頻譜面上即為3 個光柵傅里葉頻譜卷積圖像。保持G1、G2固定不動，旋轉G3，則G3 的分立譜也會繞著G1、G2傅里葉頻譜卷積圖像的每個頻譜點轉動。按照同樣的方式，保持先加入的光柵固定不動，依次加入并轉動空間頻率由大到小的一維光柵，便可觀察到同樣變化規律的現象。

基于上述方式調制光柵，通過定義一種簡明的規則，即可實現數的表達。規則如下:將各個光柵的分立譜圖像與十進制數的各個數的位權相對應，通過依次調制各一維光柵與水平軸之間的夾角得到特定的頻譜分布圖，并認為不同夾角表示不同的數值，再將各個數乘以各自的位權后相加，即可得到一個特定的數，從而在多光柵傅里葉頻譜卷積圖像上實現了數的表達。

2.2 實驗實現

首先水平放置空間頻率最大的一維光柵G1(300條/mm)，頻譜如圖5 所示。再水平放置空間頻率第二大的一維光柵G2(100 條/mm)，它們頻譜的卷積圖像如圖6 所示，規定該頻譜圖像表示0 ×10°。

圖5 300 條/mm 一維光柵頻譜圖

圖6 0 ×10°的頻譜圖像

再旋轉G2，規定其分立譜與水平軸(即最大空間頻率光柵G1 分立譜位置)夾角α 為π/10、2π/10、3π/10、4π/10、5π/10、6π/10、7π/10、8π/10、9π/10 依次表示1 ×10°、2 ×10°、3 ×10°、4 ×10°、5 ×10°、6 ×10°、7 ×10°、8 ×10°、9 ×10°。此時G2 的分立頻譜所代表的位權為10°。通過兩光柵傅里葉頻譜卷積圖像，即可表示0 ～9 的所有整數。頻譜圖像如圖7 所示。

圖7 表示0 ～9 的傅里葉頻譜卷積圖像

利用多光柵傅里葉頻譜卷積圖像可以實現更高位的數的表達。加上空間頻率第三大的一維光柵G3(10條/mm)，在保持G1、G2 固定不動的基礎上旋轉G3，規定其分立譜與水平軸夾角β 為0、π/10、2π/10、3π/10、4π/10、5π/10、6π/10、7π/10、8π/10、9π/10 依次表示0、1 ×101、2 ×101、3 ×101、4 ×101、5 ×101、6 ×101、7 ×101、8 ×101、9 ×101。此時G3 分立頻譜所代表的位權為101，3 個光柵傅里葉頻譜卷積圖像所表示的數即為β×10/π×101+α×10/π×100。所以，利用三個光柵傅里葉頻譜卷積圖像，即可表示0 到99 間所有整數。例如，如圖8 所示，α =5π/10，β =8π/10，所表示的數即為8 ×101+5 ×100=85;如圖9 所示，α =7π/10，β=2π/10，所表示的數即為2 ×101+7 ×100=27;如圖10 所示，α=7π/10，β =5π/10，所表示的數即為5 ×101+7 ×100=57。

圖8 表示85 的傅里葉頻譜卷積圖像

圖9 表示27 的傅里葉頻譜卷積圖像

圖10 表示57 的傅里葉頻譜卷積圖像

依照上述規定，依次加入并旋轉空間頻率由大到小的各個光柵，將每個角度所表示的數乘以各自的位權后相加，即可得到更高位的數。理論上，可利用n 個光柵傅里葉頻譜卷積圖像來表示0 ～10n－1－1 之間的所有整數，即利用多光柵傅里葉頻譜卷積實現了數的表達。

3 利用多光柵傅里葉頻譜卷積實現數的加密

在某種規則下，多光柵傅里葉頻譜的卷積圖像可以表示數。由于這種方式是用圖來間接地表示數，并且若不熟悉規則就不可能知道表達的數是什么，所以完全可以將其作為一種數的加密手段，而多光柵傅里葉頻譜卷積圖像就是藏有密碼信息的“加密圖”。

3.1 基本思路

加密的關鍵在于規則的制定與應用。為使得這種基于光柵調制的加密方式具有較強的安全性與靈活性，制定了以下規則:

(1)用各個光柵的分立譜圖像與水平軸之間的特定夾角表示特定數值。這種規則使得加密方式靈活多變:例如，加密者可以用夾角為0π/10、1π/10、2π/10、3π/10、4π/10、5π/10、6π/10、7π/10、8π/10、9π/10 的光柵分立譜圖像依次表示數0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，也可用來表示9、8、7、6、5、4、3、2、1、0，或用來表示0、2、4、6、8、1、3、5、7、9，等等。另外還可以用其他夾角來表示數字:如完全可以用1π/8 來表示1，等等。總之，夾角與數值的對應關系完全由加密者所確定。

(2)將各個光柵的分立譜圖像與各密碼數的排列位置相對應。在(1)中已明確了各個光柵的分立譜圖像與水平軸之間的特定夾角所表示的數，加密者可再制定規則來確定每個光柵的分立譜圖像所對應各個數的排列順序。例如，可令空間頻率第二大的一維光柵的分立譜代表密碼的第一個數，空間頻率第三大的一維光柵的分立譜代表密碼的第二個數……，以此類推，空間頻率最小的光柵分立譜代表密碼的最后一個數。加密者便可通過第2 節中方式依次調制光柵，使得到的多光柵傅里葉頻譜卷積圖像即為某個特定密碼的“加密圖”。同樣，確定數的排列順序的規則也是靈活多變的:完全可以用空間頻率第二大到最小的光柵的分立譜倒序表示密碼，這樣同一幅圖所存儲的密碼的順序相反。如果再采用另外的規則來確定各密碼數的排列順序，則同一幅圖所存儲的密碼又會改變。由于規則的制定方式由加密者確定，這大大增加了解密難度。

(3)若密碼數較多，還可用多幅多光柵傅里葉頻譜卷積圖像實現加密。由于每幅卷積圖像所能存儲的數字信息量是有限的，可以讓每幅圖存儲密碼的某一部分，而完整的密碼內容就是每幅圖像存有密碼的某種組合。加密者可自行規定每幅圖存儲的是密碼的哪一部分，這個不確定因素使得加密程度進一步加深，解密難度也進一步加大。

3.2 實驗實現

(1)利用一幅3 個光柵傅里葉頻譜的卷積圖像實現對2 位密碼的加密

加密者采用如下規則:夾角為0π/10、1π/10、2π/10、3π/10、4π/10、5π/10、6π/10、7π/10、8π/10、9π/10的光柵分立譜圖像依次表示數0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，并規定空間頻率第二大的一維光柵的分立譜表示密碼的第一個數，空間頻率第三大的一維光柵的分立譜表示密碼的第二個數。則若要對密碼75 實現加密，可用第2 節中的方式依次調制光柵G1、G2、G3，使得α =7π/10，β=5π/10，如圖11 所示，該3 光柵傅里葉頻譜卷積圖像即為存有密碼75 的“加密圖”。

圖11 存有密碼75 的“加密圖”

由于規則為加密者靈活制定，所以如果加密者變換加密規則，那么圖11 解密后將是另外一個密碼。例如，加密者用夾角為0π/10、1π/10、2π/10、3π/10、4π/10、5π/10、6π/10、7π/10、8π/10、9π/10 的光柵分立譜圖像依次表示數9、8、7、6、5、4、3、2、1、0，則圖11就變為存有密碼24 的“加密圖”;或者加密者若不改變上段中各夾角的光柵分立譜圖像所表示的數，而是改變各個光柵的分立譜圖像與各密碼數的排列位置的對應關系，如用空間頻率第二大的一維光柵的分立譜表示密碼的第二個數，空間頻率第三大的一維光柵的分立譜表示密碼的第一個數，則圖11 就成為存有密碼57的“加密圖”。所以，一幅多光柵傅里葉頻譜卷積圖像可實現對不同密碼的加密。同樣，同個密碼也可以用不同的多光柵傅里葉頻譜卷積圖像實現加密。由于真正存儲的密碼取決于加密者制定的規則，而這規則千變萬化，故成功解密的難度非常大，密碼的安全性很高。

(2)對多位密碼進行加密。若加密者要對多位密碼進行加密，可利用多幅多光柵傅里葉頻譜卷積圖像。

例如，加密者要對6 位密碼進行加密，可利用3 幅3 個光柵傅里葉頻譜卷積圖像，每幅圖存有其中2 位密碼。如果對于每個2 位密碼加密方式都采用如同2.2 節中密碼75 的“加密圖”的加密規則，并令從左往右排列的3 幅圖分別存有6 位密碼的第一第二位、第三第四位和第五第六位，則若要對密碼725855 實現加密，可用第2 節中方式依次調制光柵，得到3 幅3 光柵傅里葉頻譜卷積圖像并依次排列，如圖12 所示，這3幅從左往右排列的三光柵傅里葉頻譜卷積圖像即為密碼725855 的“加密圖”。

圖12 存有密碼725855 的“加密圖”

事實上，加密者還可以規定從左往右排列的3 幅圖分別存有密碼的第一第六位、第二第五位、以及第三第四位，則圖12 實現了密碼755582 的加密。或改變讀圖順序，令從右往左排列的三幅圖分別存有密碼的第一第二位、第三第四位和第五第六位，則圖12 又成為密碼555872 的“加密圖”。僅僅是改變每幅圖所存有的密碼的排位或讀圖的順序，3 幅3 個光柵傅里葉頻譜卷積圖像就可實現多個不同的六位密碼的加密，若再改變每一幅圖的加密規則，則利用這3 幅3 個光柵傅里葉卷積圖像可實現非常多種不同的六位密碼的加密。同時，同一個密碼還可以用不同的多幅多光柵傅里葉頻譜卷積圖像實現加密。所以，利用多幅多光柵傅里葉頻譜的卷積圖像實現加密的安全性比利用一幅要高得多，破解密碼難度極大。

3.3 用此種方式實現加密功能的優越性

本實驗利用多光柵傅里葉頻譜卷積圖像實現加密，其優越性體現在以下幾點:

(1)通過各光柵頻譜圖與水平方向夾角來存儲數字，在實驗上易于實現，且現象清楚明顯，既易于調制，也易于讀取。

(2)基于此種光柵調制方式，可定義各種規則進行加密。規則的任意性、復雜性和可靈活變換性，大大地增強了加密強度，也大大提高了密碼信息存儲的安全性。加密者可任意改變規則，只有在特定時間知道該時間段特定規則的人，才可以成功解密。

4 結 語

本文從卷積定理的推廣，在實驗上研究并驗證了多光柵傅里葉頻譜的卷積圖像。利用多光柵傅里葉頻譜的卷積圖像的特性，通過依次調制物面上各個光柵與水平方向的角度，并賦予其頻譜面上各光柵分立譜圖像以及分立譜圖像的特定角度以某種定義，創造出了一種全新的多位數的表達方式。同時還提出，利用這種調制方式，加上靈活多變的定義規則，可以實現數字密碼的加密，而該種加密方式安全可靠，其優越性是顯而易見的。

［1］ 余 欣，潘永華. 光的三進制邏輯運算與光學加密［J］. 物理實驗，2008，28(3):1-8.

［2］ 王漢琛，劉 璟，潘永華，周 進.運用阿貝成像原理進行平面密鋪結構的頻譜分析［J］.2011，31(10):5-10.

［3］ 李芳菊，董康軍.利用阿貝成像原理制作低頻全息光柵［J］.物理實驗，2008，28(5):1-3.

［4］ 馮少彤.互補分形圖像的光學傅里葉變換［J］. 激光雜志，2003，24(1):27-28.

［5］ 王 翚，劉香茹，石發旺. 利用阿貝成像原理制作全息光柵的理論分析［J］.河南科技大學學報(自然科學版)，2006(2):1-3.

［6］ 袁 霞，王晶晶，金華陽. 阿貝成像原理和空間濾波實驗的改進［J］.物理實驗，2010，30(3):1-3.

［7］ 高文琦等. 光學(第三版)［M］. 南京:南京大學出版社，2013:250-251.

［8］ 趙凱華，鐘錫華.光學(下冊)［M］.北京:北京大學出版社，1984:75-77.

［9］ 梁昆淼，劉 法，繆國慶.數學物理方法［M］.3 版.北京:高等教育出版社，1998:102.

［10］ 蘇為寧，王思慧，高文莉，等編. 大學物理實驗(理科)第二冊［M］.南京:南京大學出版社，2014:130.

［11］ 潘元勝，馮璧華，于 瑤.大學物理實驗(第二冊)［M］.南京:南京大學出版社，1998:102.

［12］ 毛惠良，多重卷積公式及其應用［J］. 工科數學，1995，11(3):173-176.

［13］ Jack. D. Gaskill. Linear systems，Fourier transforms，and optics［M］. Arizona:John Wiley ＆ Sons，Inc，1978，160-201.

［14］ 馮光彤，金國鈞，章程軍，等. 光學分形圖像的產生［J］. 中國激光，1997，24(8):2.

［15］ 高 峰.傅里葉變換透鏡參數的研究［J］. 實驗室研究與探索，1997(6):59-60.