因式分解的應用

□孟麗萍

因式分解的應用

□孟麗萍

一、在計算中的應用

例1

分析：觀察已知算式可以看出通過因式分解，使其中的若干項互為倒數，從而簡化運算，很快得出結果.因此在進行實數的有關運算時，要仔細觀察算式特征，若能應用因式分解，有時可達到事半功倍的效果.

二、在化簡求值中的應用

例2已知a＋b＝5，ab＝3，求代數式a3b－2a2b2＋ab3的值.

分析：利用已知條件，很難求出a、b的值，所以采取“先求出a、b的值，再代入求值”的方法是很困難的.我們可將a＋b、ab看作整體，把待求式用因式分解的方法進行變形，變形出一個關于a＋b、ab的式子來，然后再采取整體代入的方法容易求解.

解：a3b－2a2b2＋ab3

＝ab（a2－2ab＋b2）

＝ab（a2＋2ab＋b2－4ab）

＝ab[（a＋b）2－4ab）].

因為a＋b＝5，ab＝3，所以原式＝3×（52－4×3）＝3×13＝39.

三、在解方程組中的應用

例3解方程組

分析：就目前的知識水平來說，用代入消元法或加減消元法來解是困難的.但我們發現這個方程組有一個特點，方程x2－4y2＝5可以因式分解為（x＋2y）（x－2y）＝5，再把x－2y＝1代入方程（x＋2y）（x－2y）＝5中，即可得到x＋2y＝5，于是原方程組就可以化成一個二元一次方程組再解此方程組便可求解，請同學們自己完成.

四、在三角形問題中的應用

例4已知a、b、c為三角形的三邊，求證：（a2＋b2－c2）2－4a2b2＜0.

分析：本題可應用平方差公式將不等式的左邊分解因式，然后根據三角形的三邊關系確定各因式的符號，即可獲解.

解：（a2＋b2－c2）2－4a2b2

＝（a2＋b2－c2）2－（2ab）2

＝（a2＋b2－c2＋2ab）（a2＋b2－c2－2ab）

＝[（a＋b）2－c2][（a－b）2－c2]

＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b＋c）（a－b－c）.

因為a、b、c為三角形的三邊，即a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0，

所以（a2＋b2－c2）2－4a2b2＜0.

五、在實際生活中的應用

例5在日常生活中如取款、上網等都需要密碼，有一種“因式分解”法產生的密碼，方便記憶.原理是：如對于多項式x4－y4，因式分解的結果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9時，則各個因式的值是：（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋ y2）＝162，于是就可以把“018162”作為一個六位數的密碼.如對于多項式4x3－xy2，取x＝10，y＝10時，用上述方法產生的密碼是_________.（寫一個即可）

分析：這是一個實際生活中的例子，由題意可知，解本題實際上是對多項式4x3－xy2進行因式分解，再計算其值即可.

解：4x3－xy2＝x（4x2－y2）

＝x（2x＋y）（2x－y）.

當x＝10，y＝10時，

2x＋y＝30，2x－y＝10，

故密碼為101030或103010或301010（任填一個即可）

六、在數整除中的應用

例6設n為整數，則（n＋7）2－（n－3）2的值一定能被20整除嗎？若能，請說明理由；若不能，請舉一反例.

分析：此題是一道判斷一個代數式能否被一個數整除的問題，根據題意可將此代數式應用因式分解的方法進行整理變形，看是否含有此個數的因式，這樣便可獲得答案.

解：（n＋7）2－（n－3）2

＝[（n＋7）＋（n－3）][（n＋7）－（n－3）]

＝（2n＋4）×10

＝2（n＋2）×10＝20（n＋2），

所以（n＋7）2－（n－3）2的值一定能被20整除.