妙用冪的“逆運算”

□胡軍

妙用冪的“逆運算”

□胡軍

同學們都知道，冪的乘法運算包括同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方，其運算法則的表達式分別為：am·an＝am+n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn（m、n為正整數）.在解題過程中，根據算式的結構特征，巧妙地逆用這幾個法則，常可以化繁為簡，化難為易，使很多棘手的問題迎刃而解.

一、逆用法則化簡求值

例1計算：

分析：由于與正好互為倒數，其乘積為1.故先逆用同底數冪的乘法法則，將

逆用積的乘方即可.

例2已知a2n＝2，求（2a3n）2－3（a2）2n的值.

分析：顯然，由條件直接求出a是不可能的.我們不妨先對求值式進行冪的“正運算”，然后逆用冪的乘方法則，使之出現a2n，再整體代入即可.

解：（2a3n）2－3（a2）2n

＝4a6n－3a4n

＝4（a2n）3－3（a2n）2.

∵a2n＝2，

∴（2a3n）2－3（a2）2n

＝4×23－3×22

＝32－12

＝20.

二、逆用法則確定個位數字

例3試確定52014×72015的個位數字.

分析：本例若通過直接運算來求乘積的個位數，顯然不可取，而逆用同底數冪的乘法及積的乘方法則，可使問題巧妙獲解.

解：52014×72015

＝52014×72014×7

＝（5×7）2014×7

＝352014×7.

因為個位數字為5的數的任何次冪的個位數字仍是5，再與7相乘，其乘積的個位數字還是5，所以最后結果的個位數字為5.

三、逆用法則比較大小

例4試比較255、344、433的大小.

分析：這三個冪運算后的數字都非常大，直接計算相當困難，考慮到三個算式的指數都與11有關，所以可逆用冪的乘方法則，把它們化為同指數的冪，然后比較底數的大小即可.

解：（1）∵255＝（25）11，

344＝（34）11，433＝（43）11，

∵25＝32，34＝81，43＝64，

又∵32＜64＜81，

即25＜43＜34，

∴255＜433＜344.

四、逆用法則說理論證

例5試說明353－333是10的整數倍.

分析：要說明353－333是10的倍數，只要說明353－333能被10整除，即說明353－333的個位數字是0即可.由353－333的數字的特點可逆用冪的乘方法則，分別求出353和333的個位數字，再說明其差的個位數字為0.

證明：∵353＝（34）13×3

＝8113×3，

其個位上的數字為3，

333＝（34）8×3＝818×3，

其個位上的數字也是3.

∴353－333的個位上的數字是0，即353－333是10的整數倍.