巧妙應用方程增根

□吳育弟

巧妙應用方程增根

□吳育弟

解分式方程時，一般要將分式方程變形為整式方程.由于這種變形可能擴大了未知數的取值范圍，使得方程產生增根，不少同學往往只重視對增根的檢驗，忽視充分發揮增根的潛在作用.如果能進一步認真分析增根產生的原因，那么在確定有關分式方程字母系數的值時，往往能夠巧妙得解.

一、利用方程有增根求值

例1若關于x的方程有增根，則a的值為_______.

分析：增根是化為整式方程后產生的根，但不適合分式方程，一般是使分母為零.先確定增根的可能值，讓最簡公分母x－1＝0，得到x＝1，然后代入化為整式方程的方程算出未知字母的值.

解：方程兩邊都乘（x－1），得ax＋1－（x－1）＝0.

∵原方程有增根，

∴最簡公分母x－1＝0，即增根為x＝1，

把x＝1代入整式方程，得a＝－1.

點評：方程的增根不適合原方程，但適合去分母后的整式方程，這是求字母系數的重要方法.解這類增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

二、求m為何值方程會產生增根

分析：方程兩邊都乘以最簡公分母（x－2）（x＋2），把分式方程化為整式方程，再根據分式方程的增根就是使最簡公分母等于0的未知數的值求出x的值，然后代入計算即可求出m的值.

解：去分母得2（x＋2）＋mx＝3（x－2）.

如果方程產生增根，那么必須有最簡公分母（x＋2）（x－2）＝0，即x＝2或x＝－2.

綜上所述，當m＝－4或m＝6時，原方程會產生增根.

點評：若解得方程的根是關于某一字母的一個代數式，在確定方程的解的情況時，應分類討論使其值為增根的字母的值.