基于正交小波變換的目標檢測方法

孫宏巖

（海軍裝備部航空技術保障部，北京100071）

基于正交小波變換的目標檢測方法

孫宏巖

（海軍裝備部航空技術保障部，北京100071）

理論分析表明，獨立高斯噪聲經過正交小波變換后保持方差和獨立性不變。基于Mallat的小波多分辨分析，通過對小波系數進行平方律處理，建立了基于正交小波變換的恒虛警率檢測器模型，推導了相應的虛警和檢測概率公式，分析了噪聲未知情況下小波系數序列長度對檢測性能的影響，并給出了合適的長度值。實驗結果表明，所提出的檢測器能滿足不同虛警概率和雜波背景的要求，具有較好自適應性。

信號檢測；正交小波變換；多分辨分析；高斯噪聲

具有自動檢測的智能化雷達是現代雷達的發展趨勢，而自動檢測過程的一個重要部分是恒虛警率（CFAR）處理[1-3]。CFAR設計的目的是提供相對來說可以避免噪聲背景雜波和干擾變化影響的檢測閾值，并且當與到達的樣本進行比較時，使目標檢測具有恒定的虛警概率。另一方面，自從Donoho提出基于小波變換的軟閾值消噪方法[4]以來，小波變換在信號檢測方面顯示了巨大的潛力，至今已在信號分析、圖像處理、量子力學、雷達、計算機分類與識別、數據壓縮、邊緣檢測等方面得到了廣泛的應用。傳統的CFAR方法多在時域對信號進行處理[5-7]，關于頻域CFAR處理也提出過一定的方法[8]。小波變換是一種時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部分析方法，在處理非平穩信號方面有著獨特的優勢。針對雷達信號的非平穩性，研究小波域CFAR處理方法具有重要意義。

本文首先對含高斯噪聲信號進行正交小波多尺度分析，基于高斯噪聲在小波域中的特性，通過對小波系數進行平方律處理，建立了基于正交小波變換的恒虛警率（OW-CFAR）檢測器模型，并給出了相應的虛警和檢測概率公式，分析了信號小波系數序列長度對檢測性能的影響。實驗結果表明了該方法在不同虛警概率和雜波背景下的有效性和自適應性。

1 高斯噪聲在正交小波域中的特性

離散小波變換（DWT）能用尺度函數?(t)和小波函數ψ(t)的平移和伸縮形式來表示信號x(t)。對于給定的尺度函數及其對應的小波函數，它們應滿足雙尺度方程[9]：

式（1）、（2）中：h(n)和g(n)為多分辨分析中定義的共軛低通和高通濾波器的系數；t表示連續變量。

正交小波變換的h(n)還必須滿足如下條件[10]：

式（3）中：l表示非負整數；“-”表示取共軛，而h(n)與g(n)之間存在如下的對應關系：

以下用hn和gn表示h(n)和g(n)，則正交離散小波變換的多分辨分析可以表示為：

式（6）、（7）中：vj,k和wj,k分別表示尺度 j下平移位置k處的尺度系數和小波系數，較大的 j值對應于粗分辨尺度；v0,n表示原始的輸入信號序列x(n)。

實際應用中，為了計算尺度系數和小波系數，一般采用Mallat算法[11]，其結構框圖如圖1所示。基于該算法，根據式（7）可以利用 j-1水平下的尺度系數vj-1，通過卷積獲得 j水平下的小波系數wj，對所得系數進行基數為2的下采樣最終獲得小波系數。

圖1 Mallat算法的框圖Fig.1 Schematic of Mallat algorithm

為了進一步進行目標檢測，首先分析獨立高斯噪聲經過正交小波變換后的特性。假設噪聲序列N(n)是零均值方差為的獨立高斯噪聲采樣值。若輸入信號為{N(n)}，由式（7）知，尺度 j=1時的噪聲小波系數表示為：

式中，上標N表示噪聲。

噪聲小波系數的均值為：

由于噪聲是相互獨立的，結合式（5）、（7）可知，在尺度j=1時的噪聲小波系數的相關系數為：

式（10）中，n、m、l均為整數。

同理，由式（3）、（6）可知，尺度j=1時的尺度系數的相關系數為：

由式（10）、（11）的結論可知，基于Mallat的小波快速分解算法，利用式（6）、（7）進行迭代運算，所得的高斯噪聲的小波系數依然是零均值方差為的獨立高斯序列。

2 基于正交小波變換的檢測器

本節給出了一種基于正交小波變換的OW-CFAR檢測器：首先，將雷達回波信號經過正交小波變換，對尺度j下的小波系數進行平方律處理；然后，將所得結果進行OW-CFAR檢測，超過檢測門限的小波系數被認為是目標信號的小波系數，經過處理后加以保留，否則被認為是噪聲的小波系數而被剔除；最后，對處理后的小波系數進行重構得到檢測出的信號。

雷達信號X(n)一般有2個可能的分量[12]，即目標信號S(n)和雜噪信號N(n)。在有目標存在的條件下有

在無目標存在的條件下有

因此，X(n)可以被看作是來自于2個不同隨機過程之一的樣本函數[13]。其一表示目標不存在情況下的樣本X0(n)；其二表示信號和噪聲同時存在條件下的樣本X1(n)。

由上一節的分析可知，獨立高斯噪聲經過離散正交小波變換后保持了原有的方差和獨立性。因此，可以假設在一定的小波分解尺度 j下，回波信號的小波系數表示為：

式（14）、（15）中：H0表示無目標存在的假設；H1表示有目標存在的假設；和分別表示目標信號和噪聲在尺度j下的小波系數。

在H0的假設下，λ′是總的背景雜噪平均功率水平，用μ表示；在H1的假設下，λ′是μ(1+λ)。其中，λ是目標與雜噪平均功率比。于是有：

在均勻雜波背景中，參考單元采樣是獨立同分布的，且其對應的λ′均為μ。不失一般性，用Gk來表示，假設在尺度 j下小波系數序列長度為M，定義Sq為：

若在背景雜波功率水平μ確知的條件下進行最優檢測，則只需要一個固定閾值Z0來判定目標是否存在，這時的虛警概率為：

式中，Z0是固定的最優閾值。

最優檢測的檢測概率Pd為：

在背景雜波功率水平μ未知的情況下，由于閾值Zq=T?Sq是一個隨機變量，因而可以用其統計特征將虛警概率表示為：

在第q個濾波器的輸出端利用閾值Zq進行判決。在給定p0的條件下，可以得到標稱化因子T。為了方便比較，這里保持虛警率恒定，即

式（22）中，PFA表示總的虛警概率。

將式（22）代入式（21）可以確定T。同理可得未知噪聲功率水平下的檢測概率PD為：

在噪聲功率水平已知和未知2種情況下，分別利用式（19）、（20）和式（21）、（23），比較不同M值時二者的檢測性能差異。假設2種情況的虛警概率相同，即

為方便比較，定義檢測概率差值PDiff，它表征了在相同的虛警概率和輸入信噪比條件下，噪聲功率水平已知和未知時檢測概率的差異大小，具體如下：

在尺度 j下，由式（18）、（21）可以確定閾值Zq=TSq，而小波閾值可確定為

根據式（26）所得閾值，可以利用Donoho的小波軟閾值處理[4]方法：

3 仿真實驗

利用上節提出的基于正交小波變換的OW-CFAR檢測器，在噪聲水平未知的情況下，對含高斯噪聲的雷達回波信號進行檢測。其中，目標信號S(n)為線性調頻信號，原始含噪信號 X1(n)的信噪比為-0.108 6dB，信號長度為1 024，如圖2所示。

圖2 目標信號和高斯雜波背景下的信號Fig.2 Target signal and contaminated signal of Gaussian clutter

實驗中，采用Matlab小波工具箱中的d6正交小波，分解層數為5，在不同虛警概率條件下，檢測后的信號如圖3所示，其中S2(n)、S4(n)和S6(n)分別是虛警概率PFA為10-2、10-4、10-6時的檢測信號。可以看出，隨著虛警概率的降低，檢測信號中所含噪聲分量越來越少，而且信號的高頻細節信息也得到了較好的保留。

圖3 高斯雜波背景下，不同虛警概率的檢測信號Fig.3 Detected signals with different false alarm probabilities of Gaussian clutter

利用該算法對瑞利雜波和韋布爾雜波背景下的雷達回波信號進行處理[15]，原始信號X2(n)和X3(n)的檢測前信噪比分別為-0.241 9dB和0.160 9dB，虛警概率PFA為10-2、10-4、10-6時的檢測信號分別如圖4、5所示。由圖4、5中的處理結果可知，該檢測算法在瑞利雜波和韋布爾雜波背景下仍能有效的檢測信號，并較好的保留了細節信息，具有較好地魯棒性和自適應特性。

圖4 瑞利雜波背景下，不同虛警概率的檢測信號Fig.4 Detected signals with different false alarm probabilities of Rayleigh clutter

圖5 韋布爾雜波背景下，不同虛警概率的檢測信號Fig.5 Detected signals with different false alarm probabilities of Weibull clutter

4 結論

本文對信號小波域CFAR方法進行了初步的研究，由于獨立高斯噪聲經過正交小波變換后保持方差和獨立性不變，在小波域中對小波系數進行平方律處理，接著建立小波域的OW-CFAR檢測器模型，推導了相應的虛警概率和檢測概率公式，比較了噪聲未知情況下小波系數序列長度M對檢測性能的影響，并給出了合適的M值。實驗結果表明，基于小波變換的OWCFAR檢測器在不同虛警概率條件下能有效的檢測信號，具有較好的自適應性。

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Target Detecting Method Based on Orthogonal Wavelet Transform

SUN Hongyan
（Aviation Technology Support Branch of NED,Beijing 100071,China）

Theoretical analysis shows that independent Gaussian noises keep the independence and variance after the or?thogonal wavelet transform.Applying a squarer to the output of the wavelet transform,an OW-CAFR(orthogonal wavelet?constant false alarm rate)detector based on Mallat algorithm was proposed.The probability equations of false alarm and de?tection were also deduced.The influence of the length of wavelet coefficients on detection performance was analyzed,and the appropriate length was given.Finally,the experiment results of signal detection demonstrated that the proposed method could detect the targets under different false alarm rate and cluster background effectively,which showed the adaptability.

signal detectio;orthogonal wavelet transform;multiresolution analysis;Gaussian noise

TN957

A

1673-1522（2015）05-0414-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2015.05.003

2015-06-20；

2015-08-07

孫宏巖（1962-），女，高工，大學。