為復習課插上探究的翅膀

【關鍵詞】高中數學;復習課;教學設計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）42-0053-02

【作者簡介】吳洪生，江蘇省清浦中學（江蘇淮安，223002）副校長，中學高級教師，淮安市數學學科帶頭人。

【設計說明】

1.直線與方程是高中解析幾何的入門知識，用方程表示直線，將幾何問題代數化。在平面解析幾何教學中，要幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想。在教學中應注意“數”與“形”的結合，在通過代數方法研究幾何對象的位置關系以后，還可以畫出其圖形，驗證代數結果;同時，通過觀察幾何圖形得到的數學結論，可對結論進行代數證明，而不是割斷它們之間的聯系，只強調“形”到“數”的方面，而忽視“數”到“形”的方面。

2.復習課不同于練習課，一節課，若學生練得太多，教師固然輕松，但由于學生無法形成知識系統，學生會覺得這樣復習亂而無益，收獲不大;若教師講得太多，重視技巧，忽略基礎，師生雙方都會疲憊不堪。這樣勢必造成學生對復習課感到厭煩，不但沒有起到“溫故知新”的效果，還削弱了學生對數學學習的興趣與勁頭。于是筆者考慮在學生對直線方程已經學習過的基礎上，只需讓學生自主復習解題，由學生自己發現細節或易錯問題，教師及時適當提醒與點撥。同時筆者在深度和廣度上下功夫，教學中比傳統的復習課增加了運用直線方程解決相關最值問題，通過猜想、嘗試、分組討論、反思等過程，使復習課也插上探究的翅膀，把不同章節知識、不同的解題方法有機地聯系在一起，讓學生不再受傳統解題方法的束縛，思維更加開闊。

【教學設計】

一、教學目標

1.了解兩個獨立條件確定一條直線;

2.熟練運用點斜式、截距式、兩點式求直線方程;

3.運用直線方程解決有關最值問題。

二、教學重點

1.求解直線方程。

2.運用直線方程解決有關最值問題。

【教學過程】

一、課前自主導學

首先由學生口答直線方程的五種形式：

接著用下列三道習題來鞏固學生的基礎知識點。

（1）過點P（-2，5），且斜率為1的直線方程為

。

（2）過兩點（0，3），（2，1）的直線方程為 ? 。

（3）過點（-4，2），在y軸上截距為-2的直線方程為 ? ? ? ? ? ? .

設計意圖：復習回顧本章學習的主要內容以及重要的數學思想方法，讓學生迅速進入學習狀態，通過對情境例題的逐步分析和探究，引導學生自覺形成系統的知識結構，梳理全章知識，加深復習印象。

二、經典題型演練

題型一 求直線方程

例1.如圖，求過點P（1，2）且滿足下列條件的直線方程。

（1）傾斜角是直線l1：3x-y+10=0的傾斜角的2倍;（2）在兩坐標軸上截距相等;（3）點A（-1，-2）到該直線的距離等于2。

設計意圖：本題側重于考查學生對基礎知識的掌握，但本例絕不“簡單”。它至少有兩個易錯點：①與截距有關的直線方程求解時不能忽視截距可能為零的情形;②求直線方程時，若不能斷定直線斜率是否存在時，應對斜率是否存在加以討論。此外，本例的第二問還可以做如下拓展：若條件為直線在兩坐標軸上的截距絕對值相等，結果是什么？若條件為直線在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，結果又是什么？

從學生自主探究的教學原則出發，在具體的教學過程中宜先由學生自主做題、體會本題的易錯處，再由教師適時點撥、提醒，從而達到良好的教學效果。

題型二：與直線方程有關的最值問題

例2.如上圖，過點P（1，2）的直線與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求：（1）△AOB的面積的最小值;（2）OA+OB的最小值;

（3）PA·PB的最小值。

設計意圖：本例屬于綜合性問題，有一定的難度。本例的經典性體現在如下幾個方面：首先，本例的三個問題都可采用點斜式方程來求解，雖然此法在某些步驟上稍顯笨拙，但只要一步一步仔細求解，最終也能得出結果;其次，本例的三個問題也可采用截距式方程來求解，而且在涉及面積問題時，截距式方程更為直觀;再次，無論選用哪種方程，本例都要用到“基本不等式”這一工具，在一定程度上順便對不等式的相關知識做了復習;最后，在實際的教學過程中發現，學生在經歷討論、思維碰撞后能提出許多有新意的解法，例如，在求解第一個問題時，有學生在選用截距式后利用a，b關系實施消元把面積表示為關于b的函數，進一步令b-2=t（t>0），將面積表示為關于t的函數，體現了數學解題中的消元思想、換元思想;還有學生在求解時，令=sin2α，=cos2α，利用三角函數中的平方關系來構造基本不等式，利用跨章節的知識來解決問題。這也從一個側面反映了以學生自主探究進行復習課教學的魅力。

在教學中應當先讓學生進行小組討論，充分調動小組合作的力量，引導學生拓寬思路，找尋不同的解法，力求讓處于不同層次水平的學生都有所收獲。

三、全課總結

求直線方程的方法最常用的為兩種，一是直接法，二是待定系數法。這兩種方法在本節課的兩個例題中均有所體現。此外，在本節內容中，我們也用到了數形結合、分類討論以及方程等數學思想。

在涉及直線方程的問題中尤其需要注意：一、與截距有關的直線方程求解時不能忽視截距可能為零的情形;二、求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率，應對斜率是否存在加以討論。

【設計反思】

教學設計要考慮學情，學生的真實狀態是課堂教學活動的出發點。新課程理念下的課堂教學設計不僅要體現學生的自主性和活動性，同時要體現數學問題的情境性和可接受性，要注重學生的探究與合作。通過前面內容的學習，學生已經對解析幾何這一內容有了基本的了解，知道了解析幾何是用代數方法研究幾何問題。本節內容，由于學生基礎較好，學習積極性較高，思維活躍，所以教學中大膽放手給學生，讓學生大膽探究，突出一題多解，開發學生思維，讓學生始終是課堂的主人。