從共形映射角度看Schwarz引理

龍品紅

摘要：歐氏度量是解析函數(shù)滿(mǎn)足Schwarz引理的關(guān)鍵，本文我們首先介紹了Schwarz引理和共形映射，然后介紹了Schwarz引理的一些推廣形式，最后指出該引理也適用于在共性映射下保持不變性的幾何度量。

關(guān)鍵詞：共形映射；解析函數(shù)；Schwarz引理

中圖分類(lèi)號(hào)：O174.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：C 文章編號(hào)：1674-9324（2015）48-0169-02

一、引言

Schwarz引理是復(fù)分析中最基本的定理之一，在解析函數(shù)論、幾何函數(shù)論、多元復(fù)分析或多復(fù)變函數(shù)論中應(yīng)用廣泛。Schwarz引理源于施瓦茨（H. A. Schwarz）利用共形變換研究黎曼映射定理等特殊結(jié)果時(shí)得到的范數(shù)不等式，關(guān)于Schwarz引理的研究有很多方面，主要涉及利用共形變換推廣其形式及應(yīng)用。本文首先介紹了在單位圓盤(pán)上的Schwarz引理和共形映射，然后根據(jù)歐氏度量在共性映照下的不變性，我們介紹了兩個(gè)Schwarz引理的相應(yīng)推廣形式，并且指出在共形映照下保持不變性的幾何度量能夠滿(mǎn)足相應(yīng)的Schwarz引理。

三、共形映射

共形映射又稱(chēng)保角映射，是復(fù)變函數(shù)論的分支，它是從幾何的觀點(diǎn)來(lái)研究復(fù)變函數(shù)。下面將給出共形映射的定義。

定理3.1[4]，若f（z）是區(qū)域G到區(qū)域D上的解析保角的拓?fù)溆痴?，則則f（z）稱(chēng)為G到區(qū)域D上的共形映射或者保形變換。

解析函數(shù)f（z）在導(dǎo)數(shù)不為零的解析點(diǎn)處是保角的，注意到拓?fù)溆痴帐且灰粚?duì)應(yīng)的映射，并且其與逆映射都是連續(xù)的，顯然共形映射是雙解析（全純）函數(shù)，至關(guān)重要的是逆映射是自動(dòng)解析的。若f（z）是保角的，則f（z）為單葉解析函數(shù)，故函數(shù)單葉解析與共形映射是等價(jià)概念。

定理3.3，共形等價(jià)有助于我們考慮比單位圓盤(pán)更廣泛的幾何區(qū)域，能夠保證Schwarz引理的推廣成為可能。

四、在共形映射下Schwarz引理的推廣

將研究區(qū)域由單位圓盤(pán)推廣到以原點(diǎn)為圓心、半徑為任意長(zhǎng)r的同心圓盤(pán)，通過(guò)自共形映射可以得到Schwarz引理的最常見(jiàn)推廣形式。

其中α是一實(shí)數(shù)，我們也可以把z和w兩平面上的單位圓盤(pán)看作z平面上的同一單位圓盤(pán)B（0，1），于是（4.2）可看作把B（0，1）中點(diǎn)z映射成B（0，1）中點(diǎn)w，而B(niǎo)（0，1）整體保持不變的分式線性映射。如果讓z及α變動(dòng)，全部（4.2）型分式線性映射可以構(gòu)成一個(gè)群G。如果在B（0，1）內(nèi)建立一種非歐幾何，即把B（0，1）看成一種非歐平面的像，那么在B（0，1）內(nèi)任意兩點(diǎn)間定義非歐距離在群G中的映射下保持不變。

定理4.4[3，6]，事實(shí)上非歐度量（距離、長(zhǎng)度、面積）、偽距離和超雙曲度量在共形映射下性質(zhì)保持不變，我們可以得到對(duì)應(yīng)的更一般Schwarz引理，例如Poincare度量。另外，在多復(fù)變函數(shù)論中Bergman度量、Caratheodory度量和Kobayashi度量在共形映射下也有類(lèi)似的Schwarz引理的定理。需要指出的關(guān)鍵是，中國(guó)數(shù)學(xué)家陸啟鏗院士在把Schwarz引理從單復(fù)變推廣到多復(fù)變領(lǐng)域。

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