一類擬線性梁方程振動問題整體解的不存在性

楊靜

（長治學院師范分院 數(shù)學系，山西 長治 046000）

一類擬線性梁方程振動問題整體解的不存在性

楊靜

（長治學院師范分院 數(shù)學系，山西 長治 046000）

文章討論一類擬線性梁方程的振動問題，通過構造李雅譜諾夫函數(shù)，證明了當振動系統(tǒng)具有負初始能量而且非線性函數(shù)f(s)滿足一定的條件時，該問題的解在有限時刻爆破.

梁方程；能量法；整體不存在性

1 緒論

對于非線性偏微分方程的的研究已經有兩百多年的歷史，對于具有很強實際背景的非線性發(fā)展方程的柯西問題和初邊值問題解的性質的研究成了眾多數(shù)學工作者的研究課題。對于線性以及非線性的弦振動系統(tǒng)、梁振動系統(tǒng)、膜振動系統(tǒng)等雙曲型方程的解的適定性、整體存在性和解的整體不存在性的研究已有許多結果[1-4]．Park等[4]考慮了具有記憶項和邊界輸出反饋的Euler-Bernoulli梁方程，利用迦遼金方法證明了解的存在性以及利用能量法證明了解的漸近穩(wěn)定性.Song等[5]考慮了neo-Hookean彈性桿的柯西問題，證明了解的存在性和整體不存在性．

S.A.Messaoudi[6]研究了如下的帶有非線性阻尼的Petrovsky系統(tǒng)解的整體存在性和解的整體不存在性，

本文討論如下擬線性波動方程的初邊值問題

其中f(s)是非線性連續(xù)函數(shù)。這個方程用來描述震動的梁位移函數(shù)。該模型的導出見參考文獻[7]。

記號：設C為廣義的常數(shù)。||·||m(m≥2)表示空間Lm(0,1)中通常的范數(shù)。

定義問題（1.1）的能量函數(shù)為

2 主要結論

首先給出本文的主要結論。

定理1.設u(x,t)是問題（1.1）的解。假設

（i）存在正常數(shù)k使得函數(shù)滿足

（ii）系統(tǒng)的初始能量是負的，即E(0)＜0。則問題（1.1）的整體解是不存在的。

定理1的證明：令

經計算可得

由條件假設可知

定義輔助函數(shù)

其中ε是待定的足夠小的正常數(shù)，γ是常數(shù)，

經過計算得到

由于

將（2.5）代入（2.4），則有

又由于u(x,0)=0，結合極小極大原理有

進而結合（2.1）和（2.6）可以有如下估計

從而結合Young’s不等式可得

因此有如下估計成立，

結合（2.8）和（2.11），就得到關于L(t)的微分不等式

其中τ是正常數(shù)，解這個微分不等式可知問題（1.1）的解不會是整體存在的。

因此定理1得證。

［1］L.M Surhone,M.T Tennoe,S.F Henssonow, Euler-BernoulliBeamEquation,Betascript Publishing.

［2］H.T.Banks,K.Ito,Y.Wang,Well posedness for damped second order systems with unbounded inputoperators,DifferentialandIntegral Equations,8(1995),587-606.

［3］P.Pietramala,A note on a beam equation with nonlinear boundary conditions,Boundary value problems,376782(2011),14 pages.

［4］J.Y.Park,Y.H.Kang,J.A.Kim,Existence and Exponential Stability for a Euler-Bernoulli Beam Equation with Memory and Boundary OutputFeedback Control Term,Acta Appl.Math.104 (2008),287-301.

［5］C.M.Song,Z.J.Yang,Existence and nonexistence of global solutions to the Cauchy problem for a nonlinear beam equation,Math. Meth.Appl.Sci.33(2010),563-575.

［6］S.A.Messaoudi.Global existence and nonexistence in a system of Petrovsky.J.Math.Anal.Appl.265 (2002),296-308.

［7］M.G.Sun.The stress boundary layers of a slender riser in a steady flow,Adv.Hydrodyn.4(1986), 32-43.

Yang Jing
（Normal School of Changzhi University,Changzhi Shanxi 046000）

（責任編輯 趙巨濤）

O15

A

1673-2015（2015）05-0058-03

2015—07—14

楊靜（1981—）女，河南安陽人，講師，碩士，主要從事應用數(shù)學研究。