兩個幾何總體具有部分缺失數據時參數倒數的估計

李建麗

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

兩個幾何總體具有部分缺失數據時參數倒數的估計

李建麗

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

文章討論了具有部分缺失數據情形下兩個幾何總體參數倒數的MLE,同時證明了所求參數估計的強相合性和漸進正態性,且給出了兩參數倒數差的近似置信區間.

缺失數據；MLE；幾何分布；強相合性；漸進正態性

幾何分布是離散型壽命分布中一種重要的分布。文[1]中介紹了其參數在完全數據情況下的MLE，但是在處理實際問題時，經常會遇到缺失數據的情形。文獻[2-3]中研究了部分缺失數據下的兩個指數總體、兩個Possion總體的參數估計。文獻[4-5]中討論了具有部分缺失數據下兩個幾何總體的參數估計，但文中所給參數的估計形式較為復雜，觀察幾何分布參數的特點，發現幾何分布的參數倒數的估計有很好的形式。文獻[6]討論了一個幾何總體具有部分缺失數據時參數倒數的估計和檢驗。文章將進一步探討兩個幾何總體均具有部分缺失數據時參數倒數的估計問題。

在伯努利試驗序列中，記X和λ分別表示事件首次發生時所進行的試驗次數和事件A在每次試驗中發生的概率，則X～Ge(λ)，其概率函數為

其中0＜λ＜1是未知參數。

其中θ＞1。

1 參數倒數的極大似然估計

假設有兩個形如（2）式的概率函數為pi(x;θi),i= 1,2的幾何總體，θi＞1是未知參數。獨立重復地分別對這兩個幾何總體進行n次觀測，其樣本分別記(X1,…，Xn)和(Y1,…，Yn)。但在對第一個總體進行觀測時，每個Xi會以概率1-p1被丟失，即實際得到的觀測值為(Xj，δj（)j=1，2，…，n）,其中(X1,…，Xn)與(δ1,…，δn)相互獨立則有民n1～b(n,p1).用U1,U2,…Un1表示對第一個總體的n1個實際觀測值，則有同樣對第二個總體進行觀測時，每個Yi會以概率1-p2被丟失，則最后實際得到的觀測值為(Yk,σk)(k=1,2,…n),其中(Y1,Y2…，Yn)與(σ1,σ2…,σn)獨立,σk～b(1,p2),記則n2～b(n, p2),用V1,…Vn2表示相對于第二個總體的n2個實際觀測值，則有

由對第一個總體觀測實際得到的樣本觀測值（U1,U2,…Un1）可得似然函數為

取對數得對數似然函數為:

求導并令其為0可得:

解得θ1的MLE為:

同理可得θ2的MLE為:

兩樣本是否來自同一個總體的問題通常可歸結為檢驗兩總體參數是否相等的檢驗問題。本文中即是考慮假設H0:θ1=θ2=θ(未知)vsH1:θ1≠θ2。在H0不成立時，θ1，θ2的估計即為(3)、(4)兩式，在H0成立的條件下，關于θ的觀測的似然函數為：

同理θ1的求解過程可得θ的MLE為：

2極大似然估計的漸進性質

在1中討論了參數倒數的MLE，下面將給出估計的強相合性和漸進正態性。

Proof：由于δ1,…,δn,σ1，…,σn，X1，…,Xn，Y1，…,Yn分別獨立同分布,且（δ1，…,δn）與（X1，…,Xn）相互獨立,（Y1，Y2…,Yn）與（σ1，σ2…,σn）相互獨立，當原假設為真時,有

由強大數定律[7]可知

證明過程中可見θi，i=1,2的結論亦成立。

定理2（漸進正態性）

Proof：當原假設H0為真時，則有

所以由Slutsky定理[1]可證得

證明過程中θi，i=1,2的結論可見成立。

3 兩總體參數倒數差的近似置信區間

由定理2知，當n很大時，

故可取

作為樞軸量,對于給定的置信水平1-α?(0,1),有

解得θ1-θ2的近似置信區間為

［1］茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數理統計(第二版)［M］.北京:高等教育出版社,2006.

［2］劉銀萍.具有部分缺失數據兩個指數總體的估計和檢驗［J］.吉林大學學報(理學版),2002,(4): 255-257

［3］武大勇,萬建平.具有部分缺失數據的兩個Possion總體的估計與檢驗［J］.應用數學,2005,18 (增):102-106

［4］朱五英.具有部分缺失數據兩個幾何總體的估計［J］.安徽師范大學學報,2008,31(1):11-15.

［5］趙志文,宋立新,劉銀萍.具有部分缺失數據的兩個幾何分布總體參數估計與檢驗［J］.統計與決策,2010,(5):22-23.

［6］龔雙輝,萬建平.具有部分缺失數據的兩個幾何總體參數倒數的估計和檢驗［J］.應用數學,2006, 19(增):203-206.

［7］楊振明.概率論(第二版)［M］.北京:科學出版社, 2008.

Li Jian-li
（Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

（責任編輯 趙巨濤）

O212

A

1673-2015（2015）05-0035-03

長治學院科研項目(2013201)。

2015—05—11

李建麗（1983—）女，山西高平人，講師，碩士，主要從事概率統計方面的研究。