一種新的三角網格劃分算法研究

杜麗美

（長治學院 計算機系，山西 長治 046011）

一種新的三角網格劃分算法研究

杜麗美

（長治學院 計算機系，山西 長治 046011）

基于三角網格劃分在三維重建中的重要性，提出了一種新的三角網格劃分算法。算法的主要思想是：首先使用最近的點構造出首個三角形；然后以首個三角形為基礎，采用異位法尋找新的頂點構造出新的三角形，直到滿足結束條件時停止尋找。

首個三角形；距離；夾角；異位法；迭代

1 引言

三維物體重建技術是計算機動畫、計算機視覺、醫學圖像處理等方面的核心技術。目前為止進行三維重建的方法主要有兩種：第一種是直接用相應的軟件來重建現實生活中物體，對應的軟件有3DMAX、AutoCAD、Maya等，此種方法較為簡單，其關鍵是對相應的軟件的熟練程度；第二種方法相對復雜，需要一定的數學基礎和編程能力。下面主要介紹使用此種方法進行三維重建的過程。

首先從真實物體表面獲取相應的離散數據點，這些數據點的獲取可以借助相應的儀器設備來進行。只要借助這些設備在真實物體表面掃一圈，相應的三維數據點就可以讀入計算機存儲設備中。

接著將這批數據點在計算機中進行處理。處理即將得到的這批數據點進行歸一化處理，使得整體數據可以顯示在計算機屏幕的指定位置上。

最關鍵的技術是使用什么樣的算法對這批數據點進行三角網格的劃分。進行三角網格劃分的目的是重建出與真實物體表面一樣的虛擬物體，因此三角網格劃分算法選取的好壞直接影響物體的重建效果。

最后使用OpenGL函數對三角網格模型進行光照、材質、紋理、霧化等效果的設置，從而虛擬出真實物體。

2 算法的提出

文章主要針對二維平面上的散亂數據點來研究相應的三角網格劃分算法。到目前為止已經有許多研究提出了各種三角網格劃分算法，最常見的有區域生長算法、分治算法、細分算法等，這些算法[1-4]各有各的優缺點。算法類似區域生長算法，但和區域生長算法又有些不同，其中首個三角形的選取采取就近原則（即取決于數據點在相應數組中的存儲順序），以首個三角形為基礎向外擴展其它三角形的過程中采用異位尋找法。

3 算法主要思想

1.1 數據的存儲

因為文章只研究二維數據點，所以應選用合適的數組來存儲這些從物體表面提取到的數據點。這里采用結構體數組來存儲這些數據，相應的結構體數組的定義如下：

在此數組結構的定義中主要定義了每一個數據點（x，y）的坐標信息，并將此數組定義為Vertex [N]，其中N為已知給定的常數，表明此數組的長度為N（N即表示所有數據點的數目）。當找到三角形時，對三角形的三個頂點采用鏈表的形式存儲，這樣做的好處是可以動態分配存儲空間，其對應的數據結構如下：

此結構中的num表示構造出的三角形的編號也可以理解為構造出的三角形的數目，V1[2]、V2 [2]、V3[2]表示第num個三角形的三個頂點坐標，*T_before為指向第num-1個三角形的指針，*T_after為指向第num+1個三角形的指針。

1.2 尋找首個三角形

從離散點數組Vertex[N]中取出第一個二維數據點（Vertex[1].x，Vertex[1].y），將此點作為首個三角形的第一個頂點，并將此頂點在數組Vertex[N]中的位置標記為flag1，因為這里選取的是Vertex[N]中的第一個點，所以這里flag1=1。然后在剩下的N-1個點中尋找與flag1這點距離最近的點，式（3.1）為兩點的距離公式（其中i=2，3....N），若第m個點Vertex [m]與flag1最近，則標記flag2=m，表明首個三角形的第二個頂點已找到。

接下來尋找首個三角形的第三個頂點，主要在剩下的N-2個點中尋找（除去第1個和第m個點）。主要思想是：先使用公式（3.2）求出flag1與flag2的中點坐標Mid（mx，my），然后在這N-2個點中找到與Mid距離最近的點，具體公式為（3.3）所示，其中j=2，3…N且j≠m。假若第n個點Vertex[n]與Mid最近，則標記flag3=n，表明首個三角形的第三個頂點已找到。

Figure 3-1 looking for the first triangle圖3-1 首個三角形的尋找

到此為止首個三角形的三個頂點全部找到，標號分別為flag1、flag2和flag3，最后將這三個點依次存入數組triangle[1].V1、triangle[1].V2、triangle[1].V3中，并將num的值記為1，表明所找到的為第一個三角形。如圖3-1中的（a）為數組Vertex[N]中的N個數據點，圖中的1、2、3…N表示數據點在數組Vertex[N]中的存儲位置，（b）為采用本小節的方法找到的第一個三角形。

1.3 采用異位法擴充三角形

首個三角形已經找到，記為△1。現在以△1的三條邊為基礎向外擴展出新的三角形[5-6]，為方便描述，還是借助圖3-1(b)為基礎來進行，并將首個三角形的三個頂點記為a、b和c，如圖3-2(a)所示。總體思想為：先以△1的一條邊ab所在直線為基礎，尋找處在c點異側的那些點c1、c2、c3…，如圖3-2（b）所示；然后計算∠acib的大小（其中i=1，2，3…），如圖3-2（c）所示，在c1、c2、c3…中找到一點c'使得∠ac'b最大，c'即為將要擴展的點，因此第二個三角形△2已找到，△2的三個頂點為a、b和c'；將這三個點存入數組triangle[2].V1、triangle[2].V2、triangle [2].V3中，并且num+1；接下來采用同樣的辦法找到邊ac所對的點b'，以及邊bc所對的點a'，如圖3-2（d）所示，分別將△3和△4存入triangle[3]和triangle[4]中，相應的num+1。

Figure 3-2 Looking for the first triangle圖3-2 異位法擴充過程

以尋找c'為例，下面介紹判斷點c與點c'處在直線ab異側的方法。設a點坐標（x1，y1），b點坐標（x2，y2），則直線ab所在的方程為式（3.4）所示。若c與c'處在直線ab的異側，則將c與c'的坐標代入式（3.4）的左邊后所得結果應該異號，若c與c'處在直線ab同側，則代入式（3.4）的左邊后所得結果應該同號。設c點坐標（cx，cy），c'點坐標（cx'，cy'），則將c點坐標代入式（3.4）左邊所得結果k1如式（3.5）所示，將c'點坐標代入式（3.4）左邊所得結果k2如式（3.6）所示；接下來計算∠ac'b的大小，所用公式為（3.7）。

1.4 迭代

上一小節是以首個三角形的三邊為基礎向外擴展出了三個新的三角形△2、△3和△4，接下來再以△2的三邊為基礎向外擴展三角形。同樣△3和△4的邊也采用同樣的方法向外擴充，總體來說就是反復的使用3.3小節的方法來逐步擴充，但是在擴充過程中難免會遇到新擴充出來的三角形其實就是以前已經存在的三角形的情況，所以每擴充一個新的三角形都要檢查一下這個新三角形的三邊是否和以前已經存在的三角形的三邊一樣。若一樣，則去掉新擴充出來的這個三角形；若不一樣，則保留此新三角形，并將三個頂點存入數組triangle中，三角形數目num加1。

結束條件：當以新生成的三角形的邊再向外擴充時，所擴充出來的三角形全部都是已經存在的三角形且不存在單個的離散數據點時，停止擴充。到此已將給定的數組Vertex[N]中的全部數據點進行了三角網格劃分。

4 試驗結果與分析

根據文章算法，在windowsXP系統下使用VC6. 0進行編程證明了本算法的有效性。程序中窗體視點的定位以及點與點之間的連線借助OpenGL中的函數來完成[7]。圖4-1中的（a）（b）（c）（d）（e）是采用文章所提出的算法分別對50、100、200、500、1000個數據點進行三角網格劃分的結果，其中每張圖中的數據點的橫縱坐標都在0到150之間隨機取值，所以生成的三角網的大小也在150*150的區域內，從圖中可以看出，利用本算法可以很有效地對二維平面上的離散數據點進行三角網的劃分。表4-1是對圖4-1中的五種結果的分析，所分析的內容包括離散數據點數目、生成的三角網格的三角形數目以及運行時間。

Figure 4-1 Triangulation division using different data points圖4-1 不同的數據點的三角網劃分結果

Table4-1 Triangulations of index parameters表4-1生成的三角網的各指標參數

2 總結與展望

文章提出了一種新的三角網格劃分算法，該算法的優點在于最終劃分的三角網中的三角形大多數都是銳角三角形，只有很少一部分是鈍角三角形。原因是文章在采用異位法擴充三角形時，對于點的選取采取夾角最大的原則。另外本算法雖是針對二維平面上的離散點進行的三角網格劃分，但是對于三維空間[8-10]中具有平滑的凸曲面形態的離散點同樣適用，只需將滿足這種條件的三維離散點投影到二維平面上，再利用本算法進行三角網格的劃分即可。可見本算法是有一定的優越性的，但是本文所提算法也有其自身的缺陷，對于三維空間中的復雜多變的離散數據點的三角網格劃分還無法實現，這是今后有待解決的問題。

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（責任編輯 張劍妹）

TP391.41

A

1673-2015（2015）05-0031-04

長治學院校級科研課題(201419)。

2015—07—26

杜麗美（1983—）女，山西大同人，講師，碩士，主要從事計算機圖形學與圖像處理研究。