數學文化視角下的微積分教學舉例

何珊珊++莊需琴

摘要：微積分課程作為理工類院校最為重要的數學基礎課，有著豐富的數學背景與數學思想，無疑肩負著傳播數學文化的責任。本文分析了微積分教學中存在的一些問題，提出了有必要將數學文化“潤物細無聲”地融入到微積分教學環節之中，且從三個方面進行了教學舉例，同時結合教學實踐探討了把數學文化融匯于微積分教學活動中的體會。

關鍵詞：數學；微積分；教學

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）52-0154-02

隨著教育的發展，新的數學教育價值觀要求人文教育價值與科學教育價值的整合，數學文化視角下的數學課堂理念的提出正是對數學教育價值觀的順應。微積分課程作為理工類院校最為重要的數學基礎課，有著豐富的數學背景與數學思想，無疑肩負著傳播數學文化的責任。但是由于數學文化理論研究與實踐研究之間固有的差距，微積分課程的一線教師在注重及格率、注重數學工具化的數學教育面前，也只是數學史加數學教育的操作流程，同時，過分重視數學知識、外在教學目標以及教學過程的預設性，在一定程度上造成微積分課堂教學中人文關懷的失落。

如何將數學文化“潤物細無聲”地融入到微積分教學環節之中去，一方面要不斷地挖掘若干知識點中的數學文化，另一方面還要在教學環節中有意識地達到融入要適時、適量、適當的教學效果，這是微積分課程教學面臨的重要課題，本文著重從以下三個方面給出具體的教學案例，同時結合教學實踐探討了把數學文化融匯于微積分教學活動中的體會。

一、微積分之數學史話

興趣是學習的第一原動力。克萊因曾指出：課本中字斟句酌的敘述，未能表現出數學創造過程中的斗爭、挫折，以及數學家所經歷的艱苦漫長的道路，而學生一旦認識到這些，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強的追究他所攻問題的勇氣。可見對于本就有些許枯燥的微積分教學習，如果能將微積分數學史話中的名人佳作、趣聞故事融入微積分教學過程中，可以加深對數學知識的理解，調動學習的積極性。

舉例1.“初等數學是常量的數學，高等數學是變量的數學”，這是每一位微積分教師在序言課上老生常談的問題，但是什么是變量的數學？將“變”的概念引入數學又引起了何等深刻的變化？可以引導學生從歷史的發展來看一下，這些問題是如何進入數學家視野的。當代數學的一個最主要的起源地是希臘，在希臘文明的古典時期，數學與哲學的關系是密不可分的，關于變量和變化的數學問題已經開始孕育了，簡單回溯一下這段歷史，有助于我們去體會為什么微積分會有今天的樣子，為什么我們不得不絞盡腦汁來應付極限的ε-δ定義。

舉例2.在講到極限、積分概念時，列舉我國古代樸素微積分思想的幾個例子，如劉徽的“割圓術”與近代的極限方法是基本一致的，用這個方法證明了圓面積的重要計算公式，可以認為它是最早的極限思想。另外，祖暅原理也就是“等積原理”，是積分思想的早期萌芽，它是由祖沖之的兒子祖暅首先提出來，它的提出比西方的“卡瓦列里原理”要早1100多年，之所以沒有為西方所知很重要的一個原因是當時的數學語言不夠規范，導致此原理沒有得到廣泛的傳播。這個原理的嚴格證明要用到微積分的知識。不失時機地向學生宣傳中國古代數學的先進性，以此激發學生的民族自豪感，同時，也讓學生感受到現代數學語言的簡潔性和無窮魅力。

舉例3.在講到無窮小量時，給學生介紹有第二次數學危機的由來，對于無窮小量到底是不是零的問題，提出它的牛頓無法給出合理的解釋，此后數百年的數學家都為之煩惱，實質上是缺少嚴密的極限概念作為微積分的基礎，經過柯西等一批杰出數學家的辛勤工作，終于建立了嚴格的極限理論，并把它作為微積分的基礎，直到維爾斯特拉斯的實數理論才徹底反駁了貝克萊的責難，使之成為極限理論的基礎。這樣，恰當地使微積分課堂不那么枯燥，反而洋溢著一種濃郁的人文精神。

二、微積分之數學美

在教學實踐中，我們深刻意識到數學美在微積分教學中的作用，傳統的微積分教學注重知識的傳授，忽略了挖掘和展示微積分的魅力。事實上，一門學科的價值，除了實用性，還在于它給人們帶來的美感，通過數學美的滲透，將微積分中美的精彩片段展示在課堂上，來啟發熏陶學生，使微積分對學生具有親和力，從而喚起他們的求知欲，對學生的終生產生深遠的影響，將是微積分教學的巨大成功。微積分中美的例子太多了，就簡單列舉幾個，關鍵是在講授的時候與學生達到感情的共鳴和思維的啟迪。

舉例4.函數與極限是貫穿高等數學的兩個最基本的概念，函數是微分學研究的對象，而微積分的定義就是極限概念及其推論，它們之間體現是閉區間上函數的增量與這區間上某點的導數之間的關系，它是微分理論中的重要組成部分，也是導數應用的橋梁。羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣，而且泰勒定理是拉格朗日中值定理向高階導數情況下的推廣和應用，它是更一般的微分中值定理形式。微積分在定義和定理以及數、式、形之間，各個知識塊即相互獨立自成體系，又依一定的邏輯關系互貫穿，表現為高度的和諧統一。

舉例5.多元微分學中的格林、高斯、斯托克斯三個公式，就其公式本身也呈現出形式美、結構美，更蘊藏著高度的和諧性。格林公式建立了平面閉區域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系；高斯公式建立了空間閉區域上的三重積分與其邊界上的曲面積分之間的關系；斯托克斯公式則建立了曲面∑上的曲面積分與沿著∑的邊界曲線的曲線積分之間的關系。這三個公式在向量場中都有重要而實際的應用，體現了微積分的應用美。

舉例6.在講定積分的應用時，可以舉例如下：由雙曲線y=■在x≥1的部分繞橫軸旋轉一周所得到的旋轉曲面稱為Gabriel喇叭，利用積分方法證明這個喇叭所圍成的體積是有限的，而它的表面積卻是無限的，我們可以給學生打個直觀的比喻，用有限的涂料把這個喇叭填滿，卻不能用足夠的涂料把它的表面涂滿，這個結論完全違背了直觀，卻可以利用微積分知識令人信服的證明，從而讓學生在動手過程中體會到數學的奇異美。endprint

舉例7.在講歐拉公式的時候，除了給學生們證明并應用之外，可以介紹歐拉的生平，法國巴黎發明宮的數學史陳列館中就懸掛著歐拉公式eiπ+1=0，歐拉把數學中最重要的常數都統一在一個公式中，不得不說它是最美的數學公式，同時，數學課本上常見的sin和cos，tan和cot，∑等都是歐拉創立并推廣的。

三、微積分之數學思想

數學素養的核心問題是對數學思想的理解和把握，在微積分教學活動中應始終抓住傳授數學思想的主線，才能真正做到學以致用。數學思想本質上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的，通過抽象思想，在現實生活匯總得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外界的聯系。

舉例8.抽象性是數學的基本特征，因此在微積分的教學中要注意培養學生抓住事物本質的思維方法，在講授導數的概念時，從曲線的切線問題，變速直線運動的瞬時速度問題及函數的最值問題入手，看起來沒有什么聯系，但數學家們從他們的本質特征出發，抽象出來的一個重要概念，就歸結為導數，既讓學生從本質理解了導數的概念，又培養了學生概括抽象事物的思維方式。

舉例9.演繹推理思想是數學的重要思想，通常在教學中會反復涉及，在將講授微積分時，通常是按照邏輯順序“實數理論—極限理論—微分—積分”來介紹的，而微積分的歷史順序則正好相反，這段數學發展歷程會帶給我們很深刻的思考，為什么歷史順序和邏輯順序恰好顛倒的？根據前面介紹的，牛頓萊布尼茨由于實踐的需要創立了微積分，然而由于牛頓對無窮小無法給出合理的解釋，引發了第二次數學危機，反映了說明無窮小量在概念和邏輯上缺乏基礎，正是這種嚴謹性的思想推動下，才有了后來嚴格的極限理論。這樣從一個特殊的視角學生體會到演繹推理的嚴謹性。

舉例10.模型性是體現如何將微積分來源于生活又應用到實際生活中的重要思想，在講到微積分方程時，可以介紹“海王星的發現”這一例子，1845年法國數學家勒威利用微分方程，計算出這顆新行星的軌道，天文臺按照指定位置觀測，找到了這個從沒見過的星，便是太陽系的第八課大行星—海王星，更有切身體會的例子還有21世紀的科學熱點——生物數學，即用數學方法研究和解決生物學問題的邊緣學科，在2003年SARS爆發時，生物數學發揮了重要作用，科研小組對SARS在北京的流行趨勢進行了預測，及時配合了當時的救援工作。這些例子的介紹使得微積分顯得更加的平易近人，又是威力無窮。可以結合各個學校的專業特色，對學經濟的學生多講微積分的經濟應用，工科的學生多講微積分的工程應用，這樣微積分課程培養的就是既懂數學又懂人文，既懂理論又懂應用的全方位綜合性人才。

在“以生為本”、“文理交融”的大趨勢下，從數學文化的視角深刻挖掘微積分教學案例，可以激發學生學習興趣，不僅使學生掌握了微積分的“工具”，還懂得了數學思想和數學精神，同時，在現代教育技術的幫助下，生動形象地展現教學案例，還可以協調和平衡數學文化理論研究與實踐研究之間的差距，豐富了微積分課程傳統的“填鴨式”的教學模式，體現對學習者主體價值的尊重，對于大學生素質教育的推進，同樣有舉足輕重的現實意義。

參考文獻：

[1]茍長義，顧沛.以數學文化的融入改進文科數學教育[.J].數學教育報，2008.

[2]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]張維忠.文化視野中的數學與數學教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[4]顧沛.數學文化課程建設的探索與實踐[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint