積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用探究

袁朝圣++徐英

摘要：本文結(jié)合定積分的定義，利用“大化小，常帶變，近似和，求極限”的方法解決了水的側(cè)壓力問(wèn)題，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了積分的本質(zhì)特點(diǎn)為求和、求極限。以具體的物理問(wèn)題為例，給出了定積分、曲線積分和曲面積分解決物理問(wèn)題的本質(zhì)方法是“微元分析法”，總結(jié)出了“微元分析法”解決物理問(wèn)題的一般步驟。

關(guān)鍵詞：積分；物理；微元分析法

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）52-0139-03

大學(xué)物理中的許多問(wèn)題都要用微積分來(lái)解決，如水壓力、變力沿直線或曲線做功、物體的質(zhì)心、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及E通量等。事實(shí)上，微分可以理解為對(duì)整體的無(wú)限分割，使得局部無(wú)限的小，積分則可以理解為對(duì)無(wú)限個(gè)小微元的求和[1]。概括地說(shuō)，微分是分割的過(guò)程，積分則是一個(gè)求和、求極限的過(guò)程。本文以具體的物理問(wèn)題為例，分析了積分方法在大學(xué)物理中的應(yīng)用。為了深化對(duì)積分概念的理解，本文以水的側(cè)向壓力為例，采用“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想進(jìn)行分析，討論了積分的本質(zhì)思想及其物理意義，并利用“微元分析法”[2]給出了該問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法。另外，本文通過(guò)對(duì)變力沿曲線做功問(wèn)題的求解和對(duì)阿基米德原理的證明，給出了曲線積分、曲面積分解決物理問(wèn)題的本質(zhì)方法仍是“微元分析法”。

一、積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用

根據(jù)積分的定義[2，3]，我們可以得出，凡是可以通過(guò)“大化小，常帶變，近似和，求極限”這四步來(lái)解決的物理量均可用積分來(lái)求解，即可利用“微元分析法”來(lái)解決物理問(wèn)題。本文以具體的問(wèn)題為例，來(lái)分析積分在物理問(wèn)題中的應(yīng)用。

（一）定積分的應(yīng)用——水的側(cè)壓力問(wèn)題

例1 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為R，水的密度為ρ，計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力。[2]

為了深化對(duì)積分概念的理解，本文首先根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想求解該題。

解：桶的一個(gè)端面是圓片，我們要計(jì)算的是當(dāng)水平面通過(guò)圓心時(shí)，鉛直放置的一個(gè)半圓片的一側(cè)所受到的水壓力。在這個(gè)圓片上，如圖1-1，在取過(guò)圓心且鉛直向下的直線為x軸，過(guò)圓心的水平線為y軸，則半圓片所在圓的方程為x2+y2=R2，記y=f（x）=■.

第一步：“大化小”，把半圓片分成n個(gè)小窄條，即把區(qū)間[0，R]分成n個(gè)小區(qū)間[x0，x1]，[x1，x2]，…[xn-1，xn]，其中x0=0，xn=R.每個(gè)小窄條一側(cè)所受的水壓力的和即為半圓片的一側(cè)所受的水壓力。

第二步：“常帶變”，把第i個(gè)小窄條（i=1，2，3，…，n）近似地看成矩形窄條，如圖1-1，該矩形的高為Δxi=xi-xi-1，任取一點(diǎn)ξi∈[xn-1，xn]，讓2f（ξi）作為該矩形的底，即小矩形的底為2■，則第i個(gè)小窄條所受的側(cè)壓力Pi的近似值可表示為：

Pi≈ρgξi2■Δxi，i=1，2，3，…，n

第三步：“近似和”，由上面的討論可得半圓片一側(cè)所受的側(cè)壓力P的近似值為：P≈∑■■ρgξi2■Δxi.

第四步：“取極限”，Δxi越小，近似和也就越接近于精確值P，當(dāng)Δxi無(wú)限小時(shí)，即Δxi趨于零時(shí)，近似和就是精確值P.

取λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，則半圓形圓片一側(cè)所受的側(cè)壓力為：

P=■■ρgξi2■Δxi.

根據(jù)定積分的定義，上述極限即為函數(shù)f（x）=ρgx2■在區(qū)間[0，R]上的定積分，即

P=■■ρgξi2■Δxi=■ρgx2■dx.

綜上，我們得到了桶的一個(gè)端面上所受的壓力為

■ρgx2■dx=2ρg■x■dx=■R3.

通過(guò)對(duì)該題的求解，我們可以得到：當(dāng)所求物理量滿足一定條件（該物理量可以根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想來(lái)求解）時(shí)，那么該物理量可以表示為一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的定積分。事實(shí)上，我們可以把定積分簡(jiǎn)單地理解為求和、求極限。

對(duì)于例1，可以利用“微元分析法”，得出該題的簡(jiǎn)單求解方法，具體過(guò)程如下：

解：對(duì)于上面所建立的坐標(biāo)系，我們?nèi)榉e分變量，且x∈[0，R]在該區(qū)間上取任一小區(qū)間[x，x+dx]，如圖1-2，用點(diǎn)x處的壓強(qiáng)來(lái)近似地表示該小區(qū)間上任一處的壓強(qiáng)，因此相應(yīng)于該小區(qū)間的窄條上各處的壓強(qiáng)可近似地表示為ρgx，該窄條的面積可近似地表示為：

2ydx=2■dx.

因此該窄條一側(cè)所受的水壓力的近似值，即桶的一個(gè)端面上所受水壓力的微元表達(dá)式為：

dp=2ρgx■dx

因此，所求的壓力為：

P=■2ρgx■dx=■R3.

（二）曲線積分的應(yīng)用——變力沿曲線做功問(wèn)題

例2 有一質(zhì)量為4kg的質(zhì)點(diǎn)，在力F=（2xy，3x2）（SI單位）的作用下，沿曲線x2=9y從點(diǎn)（0，0）運(yùn)動(dòng)到（3，1），求力F在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所做的功。[4]

討論：該題為變力沿曲線做功問(wèn)題，且所求的量可以通過(guò)“大化小，常帶變，近似和，求極限”來(lái)解決，因此可以利用“微元分析法”來(lái)求解。由于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為曲線弧，故選取微元為弧元素ds.該題的具體求解過(guò)程如下：

解：對(duì)于曲線弧x2=9y，x∈[0，3]，在該弧上取弧元素ds，P（x，y）為ds上的任一點(diǎn)，P點(diǎn)處沿x軸增加方向的切向量的方向余弦為：cosα，cosβ.

可以得到：力F在x軸、y軸方向上的分量所做功的微元表達(dá)式分別為：2xycosβds，3x2cosαds.

所以所求功為：

W=■2xycosβds+■3x2cosαds=

■2xydx+3x2dy=18J.

該題是曲線積分的一個(gè)典型的應(yīng)用，涉及到了兩類曲線積分的概念及其聯(lián)系。事實(shí)上，此題也可以直接在x軸、y軸分別取微元dx、dy，進(jìn)而直接應(yīng)用對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，得到所求功的表達(dá)式為：endprint

■2xydx+3x2dy.

（三）曲面積分的應(yīng)用——阿基米德原理的證明

阿基米德原理：浸沒(méi)在液體中的物體所受的浮力等于該物體排開(kāi)的同體積液體的重力，浮力的方向鉛直向上。[4]

例3 證明阿基米德原理。

對(duì)于該原理的證明，文獻(xiàn)[4]給出了很完整的證明過(guò)程。本文利用高斯公式，參考文獻(xiàn)[5]中的解題思想，嚴(yán)格按照“微元分析法”解決物理問(wèn)題的步驟，給出該原理的另一證明思路。

證明：建立坐標(biāo)系，取液面為xoy坐標(biāo)面，鉛直向上的方向?yàn)閦軸，由于物體表面各點(diǎn)處均有壓強(qiáng)，因此我們選取積分元為曲面元dS，積分區(qū)域?yàn)槲矬w表面∑，在dS上取點(diǎn)M（x，y，z），由于z軸方向鉛直向上，所以z≤0.物體表面在該點(diǎn)處所受的壓強(qiáng)大小為-ρgz.

設(shè)∑在M處的外法線向量的方向余弦為：cosα，cosβ，cosγ.則dS所受壓力在x軸、y軸、z軸上的分量的微元表達(dá)式分別為：-ρgzcosαdS，-ρgzcosβdS，-ρgzcosγdS.

記物體所所受液體的壓力在x軸、y軸、z軸上的分量分別為：Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z.

于是可得：Fx=■-ρgzcosαdS；Fy=■-ρgzcosβdS；Fz=■-ρgzcosγdS.

（其中，Ω為物體所占有的空間區(qū)域，V為物體的體積。）

利用高斯公式可得結(jié)果：

Fx=■■dxdydz=0；

Fy=■dxdydz=0；

Fz=■■dxdydz=-ρgV

事實(shí)上，物體左右兩側(cè)受液體水平方向的壓力等值、反向、共線，因此，物體所受水平方向上的合力為零。因此物體所受的合力為F=-ρgV.該力大小等于物體的重力，方向鉛直向上。

在該題的證明過(guò)程中，我們可以把坐標(biāo)原點(diǎn)選取在xoy坐標(biāo)面的任一處，因此在建立坐標(biāo)系時(shí)無(wú)須確定坐標(biāo)原點(diǎn)。曲面積分的求解一般是轉(zhuǎn)化成定積分來(lái)計(jì)算，但在該題中，積分曲面不能夠具體地表示出來(lái)，因此曲面積分無(wú)法轉(zhuǎn)化成定積分。但可以利用高斯公式把曲面積分轉(zhuǎn)化成三重積分，轉(zhuǎn)化后的三重積分的被積函數(shù)是1，根據(jù)三重積分的定義[3]，可得該三重積分的值恰好是積分區(qū)域的體積。

二、結(jié)論

本文以具體的物理問(wèn)題為例，分析了積分方法在大學(xué)物理中的應(yīng)用。當(dāng)所求物理量可以根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想來(lái)解決時(shí)，那么該物理量可以簡(jiǎn)單地表示為一積分表達(dá)式，即該物理量可以利用微元分析法來(lái)求解。事實(shí)上，大學(xué)物理中的很多公式都是抽象的數(shù)學(xué)公式的具體化；而數(shù)學(xué)公式大都是抽掉了具體物理意義的數(shù)量關(guān)系。因此，在解決實(shí)際物理問(wèn)題時(shí)，必須在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)明確物理概念，將數(shù)學(xué)與物理緊密地聯(lián)系起來(lái)。

另外，本文還總結(jié)了利用微元分析法求解物理問(wèn)題的一般步驟：（1）建立方便的坐標(biāo)系。對(duì)于一個(gè)具體的物理問(wèn)題，建立坐標(biāo)系的原則是使得計(jì)算過(guò)程較簡(jiǎn)便。（2）確定積分區(qū)域。對(duì)于不同的問(wèn)題，積分區(qū)域可能是：數(shù)軸上的區(qū)間；平面域；空間域；曲線弧；曲面域。（3）寫出微元表達(dá)式。把積分區(qū)域分割為許多小區(qū)域，寫出小區(qū)域上待求物理量的近似值。（4）寫出積分表達(dá)式并求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁小佳.微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用探究[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2010，15（2）：78-80.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[4]毛駿健，顧牡.大學(xué)物理（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下冊(cè)）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.endprint