《微分方程數值解法》課程建設的實踐與探討

李瑩

摘要：本文探討了微分方程數值解法課程的建設過程。從課程建設的總體思路、教學內容優化、教學方式方法改革和考核制度的完善等方面闡述了微分方程數值解課程的建設情況。實踐表明，運用多元化的教學模式并加強實踐教學，可以培養學生的動手能力、創新能力和解決實際問題的能力。

關鍵詞：微分方程數值解;課程建設;教學實踐

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）20-0126-02

一、課程建設的總體思路

1.建設指導思想。在微分方程數值解法教學中，適當引入數學應用軟件（如Matlab）做到理論性與應用性相結合;根據微分方程數值解法教學的自身特點，發揮微分方程數值解法教學在培養學生素質和提高學生能力方面的作用;加強以數學建模及數學軟件應用為核心的微分方程數值解法應用教學，努力把微分方程數值解法建設成“應用型”課程，努力探索微分方程數值解法教學和計算機相結合的新路徑，提高學生解決實際問題的能力。

2.建設目標。微分方程數值解課程建設的目標是通過課程建設和改革，探索出適用于我校信息學院信息與計算科學專業的微分方程數值解的教學內容和教學方法，提高教學質量，使學生能夠掌握微分方程數值解的基本思想、概念和方法。培養學生的抽象思維和邏輯推理能力，使學生掌握微分方程數值解法的基礎，有較寬的應用數學知識面;培養學生分析問題和解決問題的能力以及數學建模的能力;培養學生的自學能力和創造力。

3.建設內容。微分方程數值解法課程建設的內容主要包括以下幾方面：①根據我院信息與計算科學專業的定位，制定新的教學大綱，確定教學內容，對課程教學內容和體系進行優化。②根據微分方程數值解法課程特點，探索新的行之有效的教學方法，對課程教學方法、手段進行研究和改進。③對講課、實驗、考試等教學環節的組織與實施課程進行規范化的管理等。

二、教學內容的分析與優化

（一）教學內容的分析

根據我院信息與計算科學專業學生的特點以及專業培養計劃對該課程3學分的規定，在教學大綱重新修訂時，我們設置了40學時理論講授和16學時實驗。教材選擇了由東南大學出版社出版，戴嘉尊、邱建賢編著的《微分方程數值解法》，該教材難度比較適中。該教材設計的講授時間約為70學時，為了在較短的時間內向學生展現微分方程數值解法的概貌，同時保證他們在今后的學習和科研工作中能夠做到舉一反三、靈活運用，授課教師對課程內容作了一定的取舍并有所側重，使得教學內容趨于全面且突出重點，力求突出經典算法的構思和具有特色的誤差分析理論。突出講授那些最常用的、重要的、實用的、有代表性的算法，而對那些原理相近的內容只加以引導和提示，不片面追求列舉所有可能用到的算法。

（二）教學內容的優化

1.理論教學內容的優化。該課程講授的內容主要分為常微分方程的數值解法和偏微分方程的數值解法兩部分，其中偏微分方程的差分方法是課程教學的重點。在講常微分方程初值問題的數值方法部分時，從簡單到復雜，從一般到特殊，先講最簡單的一階Euler單步法的構造思想和基本概念，再講較復雜的單步高階Runge-Kutta法以及線性多步法等的基本概念和基本理論。該章安排10個學時，其中Euler法是常微分方程數值解中的重點，該方法雖簡單，卻包含了本課程將研究的幾乎所有內容，甚至可以說“一通百通”。而本章的另外兩種經典方法：Runge-Kutta法和線性多步法可看成對Euler法的推廣。如此一來，教學內容的組織條理清晰，學生在學習過程中也不會顯得被動。偏微分方程數值法部分主要講解有限差分法，其中包括拋物型方程的差分方法、橢圓型方程的差分方法以及雙曲型方程的差分方法三個章節。這三個章節我們分別安排12學時、10學時和8學時的講授。具體安排見表1。

2.實驗教學內容的優化。微分方程數值解課程的理論性很強，為了化簡難點，便于學生能夠正確理解教材內容，微分方程數值解課程設置了16學時的實驗課。實驗類型分為基礎性實驗和綜合性實驗，其中基礎實驗包括用Euler法、線性多步法和Runge-Kutta法計算常微分方程初值問題的數值解、熱傳導方程初邊值問題的差分模擬、Laplace方程第一邊值問題的差分模擬等。綜合性實驗包括用龍格—庫塔方法求解實際問題、古典隱式差分格式求解拋物型方程初邊值問題、五點差分格式求解波動方程混合問題等。

基礎性實驗的計算結果驗證數值格式的合理性，引導學生通過調整參數（如步長等）驗證數值格式的相容性、穩定性和收斂性等性質。在綜合性實驗中，通過指導學生利用所學的理論和方法解決實際問題，訓練其數學建模的能力和應用微分方程數值解的數值方法編程能力，以及分析、歸納總結問題的綜合能力。

三、教學方法、手段的探索

1.多元化的教學模式。在教學方面，根據微分方程數值解課程的內容多而難，算法、定理繁而雜的課程特點，采用“課件+板書+計算機動態演示”的課堂教學模式。課堂教學以講授為主，提問、討論等多種方法同時進行，根據不同的教學內容，有意識地嘗試不同的教學方式，將多種不同的教學形式進行優化組合，調動學生主動思考的積極性，通過引導培養他們觀察問題、發現問題和解決問題的能力。

2.Matlab軟件輔助教學。MATLAB軟件具有強大的科學計算、圖形顯示和程序設計功能，MATLAB軟件處理矩陣容易，繪圖可視化輕松，編程簡潔。在教學中適當地使用MATLAB軟件，展示計算機解決實際問題的動態過程和手段，實現抽象內容的數值模擬、可視化和動態化，解決現有教材和黑板教學不能實現的復雜計算問題，使教學內容直觀、生動。這種做法不僅可加大課堂容量，提高教學效率，而且可用圖形和動畫等表現形式吸引學生的注意力，增添課程的趣味性與實用性。不但能使學生對課堂的講授內容加深理解，而且也會培養學生利用計算機處理實際問題的能力。

四、考核制度的完善

課程的考核是一個很重要的教學環節，它不僅是檢驗學生掌握所學知識程度的方法，也是考查學生分析問題、解決問題能力的手段。微分方程數值解課程的考核采用平時成績、實驗成績和理論成績相結合的課程考核方式。平時成績占10%，主要考查學生作業的完成情況和平時的課堂考勤等內容;實驗成績占40%，主要考查學生的實踐動手能力，檢查學生利用程序設計語言和計算軟件解答題目的能力以及學生報告撰寫的完備性;理論成績占50%，采用開卷考試的形式，主要考查學生對基本概念、理論、方法及常用計算公式的掌握情況，以計算題型為主，用經典算法對題目做計算，并保證具有一定的計算量。

五、結語

通過以上微分方程數值解課程的建設和實踐，基本解決了微分方程數值解課時少與教學內容多的矛盾，提高了教學質量，但是該課程教學方法與教學手段改革尚需進一步深化，課程內容還需進一步調整和優化。在今后的教學實踐過程中，根據我院信息與計算科學專業學生的定位，將進一步推進該課程的改革和建設，使我院微分方程數值解的教學更具特色。

參考文獻：

[1]教育部數學與統計學教學指導委員會數學類專業教學指導分委員會.信息與計算科學專業教學規范[J].大學數學，2003，19（1）：6-10.

[2]張宏偉.注重培養研究能力的“微分方程數值解法”課程教學研究與實踐[J].大學數學，2006，22（6）：4-6.

[3]戴嘉尊，邱建賢.微分方程數值解法[M].南京：東南大學出版社，2002：1.

[4]張學龍.大學專業課開展啟發式教學的探討[J].中國成人教育，2007，（3）：139-140.