不等式恒成立問題“三步走”策略

馮剛

江蘇卷考試說明中《不等式》一章有兩個C級要求，一是基本不等式，二是一元二次不等式，并未提及對“不等式恒成立問題”的要求，而新高考中2008年第14題、2011年第19題，2014年第10題和第19題都涉及處理恒成立問題，平時各大市的模考卷中解決此問題的也有很多，而且要求較高，難度大。因此，筆者結合一線教學經驗，歸納此類問題的“三步走”策略。

第一步策略：常規思路

（一）可分一般的恒成立和特殊的恒成立兩類

1.一般的恒成立問題可由三步解決：

例1.已知函數f（x）=2x.

（Ⅰ）求函數F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；

（Ⅱ）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）>1成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若當x∈[0，3]時，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范圍.

（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）分析：對于恒成立問題，第一步是認清自變量和參數，可與解不等式問題對比理解。解關于x的不等式x2-2ax+（a2-1）≤0問題過程為[x-（a-1）][x-（a+1）]≤0，即（a-1）≤x≤（a+1）。感受到a為參數，x是自變量，即解不等式求的是自變量的范圍。而恒成立問題已知的是自變量的范圍，求的是參數的范圍。如果沒認清，可能會產生問題（見例2）；第二步是看能否分離參數，再根據示意圖找等價條件；第三步就是研究等價條件中的最值問題。

2.特殊的恒成立一般有兩種情況：

（1）一次在閉區間上恒成立

例2.若不等式kx2-2x+1-k<0對滿足-2≤k≤2的所有k都成立，求x的取值范圍.

分析：如果按一般恒成立步驟，先認清自變量和參數，k為自變量，x為參數，然后討論分離參數，再找等價條件，較煩。

再深入分析，由于f（k）=kx2-2x+1-k為一次函數，圖象是一條直線，無論這個圖象是單調增，還是與x軸平行或重合，只要保證兩端都小于0，那在閉區間上的所有函數值都小于0，甚至圖象是單調減時也只要保證兩端都小于0（如示意圖），因此，可以直接寫出等價條件f（-2）<0f（2）<0。因此對于一次在閉區間上的恒成立這種特殊情況，只需要將閉區間兩端點值代入不等式即可。

（2）二次在R上恒成立

由此可見，對于二次在R上恒成立的這種特殊情況，只需根據圖象利用Δ解決。

（二）針對用常規思路解決的恒成立問題，一般可能考查五個難點

1.可能難在對不等式的處理。

2.可能難在認清自變量和參數，如例2，若分不清，可能看成關于x的二次不等式。

3.可能難在能不能分離參數，如例1，明顯是方法一分離參數法簡單，原因是如果能分離參數，那第三步研究最值的函數就是不含參數的函數，若不分離，那第三步研究最值的函數就是含參的函數，因此能分離參數最好要分離參數。

4.可能難在最值問題的處理，如例1，方法二要研究的是含有參數的二次函數在區間上的最值。

5.可能難在等價條件的“修正”。

第二步策略：應用恒成立條件，縮小參數范圍

例4.若不等式（mx-1）[3m2-（x+1）m-1]≥0對于任意m∈（0，+∞）恒成立，則實數x的值是 .

分析：如果按第一步策略即常規方法，一是不大可能分離參數，二是不分離參數時要研究的函數的最值又很難求。此時可由“解決恒成立問題”的思路調整為“恒成立是條件”，因此，可取m∈（0，+∞）上的一個值代入不等式從而來縮小a的范圍，可能對分離參數有幫助。本題若取m=1，可得（x-1）2≤0？圯x=1。當然這里比較特殊，取值代入后可直接求出參數的值，有時可能沒這樣特殊，求不出值，但此策略也可縮小參數的范圍，從而為分離參數法做好準備。

第三步策略：數形結合

例5.已知函數f（x）=x2+mx-1，若對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，則實數m的取值范圍是 .

例6.設f（x）=4x3+mx2+（m-3）x+n（m，n∈R）在[0，1]上是單調減函數，則m的取值范圍為 .

分析：此題先可轉化為f′（x）=12x2+2mx2+（x-3）≤0對于x∈[0，1]恒成立，前兩策略處理較煩，根據f′（x）示意圖，等價條件為f′（0）≤0f′（1）≤0？圯m≤-3。