幾何概型中易出錯的角度問題

鄭麗艷

摘 要 在普通高中課程標準實驗教科書必修三第三章的學習中，我們遇到一類利用角度度量的幾何概型。在這類問題中，我們極易出現錯誤，我們誤將用角度解決的問題用長度代換了。下面是在教學過程中出現的幾個問題及學生的錯解對比，在比較中看錯誤的原因。

關鍵詞 角度 幾何概型

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）23-0056-02

幾何概率定義：設 是某一有界區域，（可以是一維空間的，也可以是二維、三維空間的）向 中隨機投擲一點M，如果點M落在 中任一點是等可能的（或說是均勻分布的），則說這個試驗是幾何概型。

對于幾個可行試驗，事件A=“點M落在區域A 中”的概率，定義為P（A）=

這里的測度指長度 、面積 、體積等。

1.幾何概型的兩個特征

（1）試驗結果有無限多；

（2）每個結果的出現是等可能的。

事件A可以理解為區域 的某一子區域，事件A的概率只與區域A的度量（長度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關。

2.解決幾何概型的求概率問題關鍵是要構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率。

3.用幾何概型解簡單試驗問題的方法

（1）適當選擇觀察角度，把問題轉化為幾何概型求解；

（2）把基本事件轉化為與之對應的總體區域D；

（3）把隨機事件A轉化為與之對應的子區域d；

（4）利用幾何概型概率公式計算。

在幾何概率中有一類用角度解決的問題，解決中極易產生錯誤。那教師在講解過程中我們應該講解清楚那些問題才能避免錯誤。我們講解時應從三方面入手：

1.基本事件為長度、面積還是體積；2.畫出相應圖像從圖像中對照分析；3.以典型例題的錯解進行分析讓學生體會怎么發生的錯誤。

學生在解決問題時需注意：

1.認真審題從題目中找出基本事件為長度、面積還是體積；2.做出圖像進行輔助分析。

例1.已知直線l過點（-1，0），l與圓C：（x-1）2+y2=3相交于A、B兩點，則弦長|AB|≥2的概率為____________。

解析：

錯解1：0<|AB|≤2，弦長|AB|≥2的概率P==1-

錯解2：設圓心到直線l的距離d，因為l與圓相交，所以0

又∵|AB|≥2，即2≥2 → 0

∴|AB|≥2的概率P==

正解：如圖

當直線介于l1、l2之間時，直線l過點（-1，0）且于圓相交，∠ADB=120€埃魘AB|≥2，則直線l應介于l3與l4之間，l3、l4的夾角為90€埃蔖==。

評注：錯解1、錯解2，在解題過程中都忽略了直線過點（-1，0），從而把角度問題錯當為長度問題。

例2.如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

解析：

錯解：設AC=BC=1，則AB=。

AM

∴AM

正解：當AM=AC時，即∠ACM=∠AMC=67.5€？

AM

故P==

評注：錯誤原因，將題設在∠ACB內部作一條射線CM，用在AB上取一點，M連接CM進行了代換，范圍發生了改變。

小結：在幾何概型中涉及角度問題時，較易發生錯誤，錯誤的主要原因是我們在計算時將角度用長度進行了代換，而我們知道相同的圓心角所對的弧長和弧長是不相等的，從而發生了錯誤。從上面的例題錯解中我們發現當我們畫出圖像進行分析就不易產生錯誤。

（責任編輯 曾 卉）