線性變換在二次曲線分類中的應用探析

朱四如 劉彩霞

摘要：針對二次曲線分類問題，提出線性變換的方法，使得能夠快速、便捷的對二元二次方程所對應的二次曲線類型進行分類，對相關研究具有一定的指導意義。

關鍵詞：二次曲線；線性變換；二元二次方程

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）36-0281-02

所謂二次曲線[1]，即在平面上，由二元二次方程ax+2axy+ay+2ax+2ay+a=0（1）所表示的曲線，其中二次項系數a，a，a不全為零。二次曲線在實際生活和工程應用中大量存在，如宇宙運動的基本形式、探照燈反光鏡的原理和高大的立塔（如冷卻塔）的設計等。二次曲線由于其重要的應用價值，一直是幾何學和工程應用研究的重要課題。

由于任何二次曲線都是由某一個二元二次方程所決定的，然而二次曲線種類繁多，一般分為九種[2]，僅從二元二方程的形式想要快速判斷出二次曲線的類型幾乎是不太可能的，若對其圖像進行研究，也比較麻煩，如何快速準確地判斷一個二元二次方程所對應的二次曲線類型，這是一個值得探究的問題。本文將以線性變換為基礎，研究線性變換在二次曲線分類中的應用。

1 二次曲線的類型

一般情況下，通過選取合適的坐標系，可以將二次曲線分為九類。

（1）+=1（橢圓）；（2）+=-1（虛橢圓）；

（3）-=1（雙曲線）；（4）+=0（點或相交于實點的共軛虛直線）；

（5）-=0（兩相交直線）；（6）y=2px（拋物線）；

（7）y=a（兩平行直線）；（8）y=-a（兩平行共軛虛直線）；

（9）y=0（兩重合直線）.

2 線性變換知識

線性變換[3]是線性代數核心內容之一，它描述了向量空間的一種運算規律，表現出了空間元素之間最基本的線性關系。研究線性代數實際上主要就是研究方程組，而研究方程組很自然的就要研究方程，這當然就包含了對二元二次方程的研究。

2.1線性變換的矩陣表示

定義：設ε，ε，…，ε是數域K上線性空間U的一組基，η，η，…，η是數域K上線性空間V的一組基，設f：U→V為線性映射，若U上的基向量ε，ε，…，ε的像可由V上的基η，η，…，η線性表出，表示為

（f（ε），f（ε），…，f（ε））=（η，η，…，η）

a

a …

a

a

a …

a

?

a

a …

a令A=

a

a …

a

a

a …

a

?

a

a …

a，

則矩陣A稱為f的變換矩陣[2]。

可以看出，通過尋找適合的變換矩陣，能夠將一組基變換成另外一組等價的基，然后將其代入原二元二次方程來化簡，再與二次曲線的九種類型進行匹配，判斷給定的二元二次方程對應的二次曲線類型，從而對二次曲線進行有效分類。

2.2二次型

由線性代數知識[1-3]，任意一種二次型，都可以通過非退化線性變換的方式化成標準型，即化成只含有平方的項，而恰好所有的二次曲線中，除了拋物線外，其余的均只含有平方項與常數項，因此，可以通過將二元二次方程中與上述二次型類似的方程分出來，用二次型化為標準型的方法來處理分類問題。

因為研究的是線性變換在二次曲線分類中的應用，所以，本文只研究基于兩個變量的二次型，即方程

f

x，

x=ax+axx+axx+ax （2）

記二次型（2）的系數矩陣為B=

a

a

a

a，顯然，可以利用初等變換的方法，將上述系數矩陣B化為對角陣。化簡過程如下所示：對B進行初等變換，取C= 1 0

- 1，使得a以下的項均為零，再取C= 1

-

0 1，令C=CC，計算CB=Λ，便可將系數矩陣B化簡為對角陣。

3 線性變換在二次曲線分類中應用

3.1用線性變換的方法對二次曲線進行分類

將平面內的坐標系平移，若

x，

y為新系原點，設一個點在舊坐標系里的坐標為（x，y）、新坐標系里該點的坐標為（x′，y′），則有移軸公式為x=x′

+x

y=y′

+y或x′

=x-x

y′

=y-y

如果將坐標系旋轉α角，則有轉軸公式為

x=x′cosα-y′sinα

y=x′sinα+y′cosα 或 x′=xcosα+ysinα

y′=-xsinα+ycosα

利用上述的移軸、轉軸的方法，可以將一般的二元二次方程所對應的二次曲線進行分類。

例如：判斷二元二次方程5x+5y-6xy-4=0所對應的二次曲線類型。

解：利用移軸公式，令x=x+x，y=x-x，則原二元二次方程可化簡為+x=，容易得知，該二元二次方程所對應的二次曲線是橢圓。

例如：判斷二元二次方程xcosα+4xsinα+ysinα+4ycosα-6xysinαcosα=4所對應的二次曲線的類型。

解：利用轉軸公式，令x=xcosα-xsinα，y=xsinα+xcosα，則原二元二次方程可化簡為x+=1，所以該二元二次曲線所對應的二次曲線是橢圓。

通過上述的三個例題，可以清楚的知道如何運用傳統方式和線性變換的方式對二次曲線進行分類。

3.2用二次型的方法對特殊二次曲線進行分類

對于特殊形式的二元二次方程ax+2axy+ay=c（a，a，a，c為常數且a，a，a不同時為零），可以利用線性變換中二次型的方法，將二元二次方程的系數矩陣化為對角矩陣，即將該類型的二元二次方程化簡成幾個未知量的平方和的形式，通過討論常數的符號，從而判斷其所對應的二次曲線類型。

例如：將二次型f

x，

x=5x+5x-6xx對角化并判斷其曲線類型。

解：顯然，該二次型的系數矩陣可以表示為A= 5 -3

-3 5，對矩陣A進行初等變換，令C= 1 0

3/5 1，則

CA=5 -3

0 16/5，再令C=1 15/16

0 1，則CCA=5 0

0 16/5，即矩陣A經過兩次初等變換可化為對角陣。

再令C=CC，則C=25/16 15/16

3/5 1，可取

x

=

y

+

y

x

=

y

+y，代入原方程，則有f

x，

x=5y+y

若令5x+5x-6xx=c，則該方程可以化為f

x，

x=5y+y=c，顯然：當c>0時，該二元二次方程所對應的二次曲線為橢圓。當c<0時，該二元二次方程所對應的二次曲線為虛橢圓。當c=0時，該二元二次方程所對應的二次曲線為點或相交于實點的共軛虛直線。

3.3線性變換分類方法的說明

線性變換的方法進行二次曲線分類的時候，只要找到合適的變換，那么一切都將變得很簡單。不過在找合適的線性變換時，有一定的多峰難度，需要善于觀察，并擁有一定的知識積累。對于某些特殊形式的二元二次方程，借助線性代數中化二次型為標準型的方法，求出相應的初等變換，而這也是線性變換。相應的，傳統分類方法在對二次曲線進行分類的時候，需要考慮的情況比較多，計算也要相對復雜，容易因記不清判別的條件或者弄混判別的條件而導致出錯。

4 結語

本文研究了線性變換在二次曲線分類中的應用并舉例驗證，說明了該方法的可行性。對不同的二元二次方程，究竟應該采用什么樣的方法能夠又快又準確的進行化簡，從而比較有效地判斷二次曲線類型，作為線性變換方法是一個值得研究的方向，如果能夠做到合理應用，將會使得在對二次曲線進行分類時更具有條理性，不至于因盲目的去嘗試化簡而導致做過多的不必要工作。

參考文獻：

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數（第三版）[M].高等教育出版社，2003.

[2]于寅.高等工程數學[M].武漢：華中科技大學出版社，2012.

[3]同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].第五版.北京：高等教育出社，2007.