伴隨矩陣的性質及其應用

張平平

摘要：伴隨矩陣在矩陣中占有重要地位，因此，總結伴隨矩陣的性質及其相關應用對學習線性代數有很大幫助。本文就是帶著這個目的出發，首先總結一下伴隨矩陣的性質，然后用例子的形式來說明伴隨矩陣的相關應用。

關鍵詞：伴隨矩陣；逆矩陣；行列式

中圖分類號：O151.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）36-0195-02

設n階方陣A=

a的行列式A的各個元素的代數余子式A所構成的如下矩陣：A=稱為矩陣A的伴隨矩陣，簡稱伴隨陣。這個定義可以在文獻[1]中找到。由伴隨矩陣的定義及轉置矩陣的定義，很容易得到下面的性質：（A）=（A），其中，A表示矩陣A的轉置矩陣。由于矩陣kA的（i，j）元的代數余子式為：

（-1）=

kA，因此，（kA）=kA.

由伴隨矩陣的定義及矩陣的乘法運算馬上有下面的性質成立：AA=AA=AE （1）

其中E為n階單位矩陣。

若n階方陣A是非奇異的，即A≠0，此時矩陣A是可逆的。由（1）得A=A=E

結合逆矩陣的定義，有A=，

即A=AA，其中A表示矩陣A的逆矩陣。

若n階方陣A是非奇異的，此時矩陣A是可逆的，由（1）得A=A=E

由矩陣逆的定義知：（A）= （2）

同時對（1）兩邊同時取逆，根據逆矩陣的性質有：（A）A=

即有（A）= （3）

結合（2）、（3）得到伴隨矩陣的如下性質：（A）=（A）

若對（1）兩邊同時取行列式，由行列式的相關性質可得：A

A=A

E=A （4）

對于（4）式，若A≠0，則有

A=A

若A=0，由（1）得，AA=O （5）

此時假設

A≠0，則矩陣A可逆，在等式（5）兩邊同時右乘（A）得A=O.

由伴隨矩陣的定義得A=O，從而有

A≠0矛盾，于是有，若A=0必有

A=0.居于以上分析，我們很容易得到下面的性質：

A=A.

設矩陣A為一n階方陣，現總結其伴隨矩陣的性質如下：

（1）（A）=（A）；（2） （kA）=kA；（3） AA=AA=AE； （4）

A=A.

此外，若A還是可逆矩陣，則有如下性質成立：

（5）A=AA； （6） （A）=；

（7）（A）=（A）.

下面舉例來說明伴隨矩陣性質的應用。

例1：設A為4階方陣，A=，求

3A

-4A。

解：由伴隨矩陣的性質（5）得，3A+2A=3×AA-4A=-3A，從而有

3A

-4A=

-3A=

3A=3

例2：設A為4階方陣，且A的伴隨矩陣的行列式

A=8，求

A

+A。

解：由伴隨矩陣的性質（4）得A=

A=8，從而有A=2；再結合性質（5）得：

A

+A=

+A=（）

A=.

例3：設A為n階方陣，證明A+（A）是對稱矩陣。

證明：由性質（1）得：（A+（A））=（A）+（（A））=（A）+（（A））=（A）+A=A+（A）.

從而，A+（A）為對稱矩陣。

以上是伴隨矩陣一些非常基本的性質，只有掌握這些最基本的性質，才能探討其更深層次的性質。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013：38.

[2]同濟大學數學系.線性代數附冊學習輔導與習題全解[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013：52.