例談反比例函數K值的求解策略

王杰

摘要：探索定值三角形與定值矩形面積轉化問題的求解策略、探索坐標系中特殊四邊形的面積與定值矩形面積的倍數關系、探索反比例函數圖象單支上雙交點問題的解題策略與方法。

關鍵詞：反比例；函授；策略

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2015）09-0172-02

近年來有關反比例函數的問題愈加活躍在中考舞臺上，并呈現出愈加靈活、有深度和難度的趨勢。而有關反比例函數K值的求解問題更是成為眾矢之的。下面本人就近年的各省市出現的有關K值的求解問題加以歸類和總結。

一、同底等高類

此類問題是基于K的幾何意義和結合同底等高的三角形面積相等和同底等高的平行四形（或矩形）的 面積相等來出題的。

（一）同底等高三角形類

1.如圖1，A是反比例函數y= 圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，則△ABP面積為 。

2.如圖2，已知反比例函數= 和= ，點A在y軸的正半軸上，過點A作直線BC∥x軸，且分別與兩個反比例函數的圖象交于點B和C，點P為X軸上任意一點，連接PC、PB。則△BPC的面積為 。

3.如圖3，過x軸正半軸任意一點作x軸的垂線，分別與反比例函數y1=和y2=的圖像交于點A和點B。若點C是y軸上任意一點，連結AC、BC，則△ABC的面積為 。

解析：在圖2中如果以y軸為軸對拆其中一條函數的圖象就會由k值求和問題轉化為圖3中的k值求差的問題，同樣在圖3中如果以x軸為軸對拆其中一條函數的圖象就會由k值求差的問題轉化為圖2中k值求和的題。

總結：（1）圖形1類問題利用公式S△ABP=S△AOB=

（2）圖形2類問題利用公式：

S△BCP=S△BOC= +

（3）圖形3類問題利用公式：

S△ABC=S△AOB= -

（二）同底等高類平行四邊形問題

1.如圖4，點A是反比例函數y=- （x<0）的圖象上的一點，過點A作平行四邊形ABCD，使點B、C在x軸上，點D在y軸上，則平行四邊形ABCD的面積為 。

2.如圖5，點A是反比例函數y= （x>0）的圖象上任意一點，AB∥x軸交反比例函數y=- 的圖象于點B，以AB為邊作？荀ABCD，其中C、D在x軸上，則S？荀ABCD為

。

解析：圖4中平行四邊形ABCD的面積=矩形AMOD的面積=6；圖5中平行四邊形ABCD的面積=矩形ABMN的面積=|k1|+|k2|=3+2

二、圖象與矩形相交類

1.如圖6，矩形AOBC的面積為4，反比例函數y= 的圖象的一支經過矩形對角線的交點P，則該反比例函數的解析式是 。

2.如圖7，反比例函數y= （x>0）的圖象經過矩形OABC對角線的交點M，分別于AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為 。

解析：此類問題最明顯的特點是反比例函數的圖象與矩形的兩邊相交且經過對角線的中點。本類問題求解的通法是利用大矩形的面積是定值矩形面積的4倍列方程。

三、圖象單支雙交點類

1.（2013·瀘州）如圖8，已知函數y= x與反比例函數y= （x>0）的圖象交于點A.將y= x的圖象向下平移6個單位后與雙曲線y= 交于點B，與x軸交于點C.

（1）求點C的坐標；

（2）若 =2，求反比例函數的解析式。

2.（2010·蘭州）如圖9，P1是反比例函數y= （k>0）在第一象限圖象上的一點，點A1的坐標為（2，0）.

（1）當點P1的橫坐標逐漸增大時，△P1OA1的面積將如何變化？

（2）若△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形，求此反比例函數的解析式及A2點的坐標。

解析：此類問題的特點是雙曲線的一條分支與圖形有兩個交點，利用坐標絕對值的比值和三角形的相似比設出線段長，然后利用k值相等列方程。

以上是本人結合近年的中考試題總結出來的關于反比例函數k的幾何意義的解題策略，需要說明的是由于這一知識點越來越成為各地市出題的熱點，所以題目的靈活性越來越強，鑒于此本文對于k的探討也不可能窮盡所有問題，因而需要我們善于把出現的新問題轉化入已有的知識體系中，用已有的知識體系去解決，這才是以不變應萬變的所在，也是我們學習數學方法的真正所在。