概率論與數理統計教學方法淺析

曲子芳

摘要：本文從概率論與數理統計的學科特點出發，討論了在課堂授課過程中精選教學案例進行教學。將數學建模思想適時引入，運用功能強大的統計軟件，培養學生分析問題和解決實際問題的能力，更好地提高課堂教學效果。

關鍵詞：概率論與數理統計；教學案例；數學建模；Excel軟件

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）09-0143-02

一、引言

概率論與數理統計是從數量角度研究隨機現象統計規律的一門應用數學學科。它已廣泛應用于物理學、生物學、工程技術、保險業、農業、醫學、經濟學及軍事科學等諸多領域。有些還形成了交叉學科，比如生物統計、數理金融等。概率論與數理統計能更好地滿足現代科技人才對隨機數學基本知識理論的需求。不僅理工科高等院校，經管類院校也將概率論與數理統計作為本科必修課程之一。如何讓學生更好更快地掌握處理隨機現象的基本理論和基本方法，本文對概率論與數理統計的課堂教學給出了幾點建議。

二、教學方法改革

（一）精選案例教學，提高學生學習興趣

傳統單一的教學模式在激發學生學習興趣方面會大打折扣。“興趣是最好的老師”。如何培養學生的學習興趣，需要將實際生活中的案例引入進來，結合案例進行講解。通過教師設定的具體真實的場景，讓學生自主或分組討論，最終給出解決問題的方法。案例教學以學生為主，激發學生的求知欲和探索欲。教學案例在選擇時注意與專業知識和日常生活結合，突出社會熱點等。比如，在第一堂課就可以引用案例來介紹概率論的起源。早在17世紀中葉，法國兩位數學家帕斯卡和費馬在往來書信中討論“合理分配賭注問題”時就有了概率論中古典概型的雛形。為激發學生的學習興趣，可將此問題簡化為一個簡單案例讓學生參與討論。

案例1 甲乙兩人拋擲一枚均勻硬幣，若正面向上，甲得一點，反面向上，乙得一點，優先積滿3點者拿走所有賭注。假如比賽在甲得2點，乙得1點時被迫終止了，問如何分配賭注才算公平合理？

針對這一案例，可讓學生分組討論，給出他們認為的合理的分配方法，最后再給出帕斯卡和費馬的不同解答。帕斯卡：若再擲一次，甲勝，甲獲全部賭注，兩種情況可能性相同，將這兩種情況平均一下，乙勝，甲乙平分賭注；所以甲應得賭注的3/4，乙得賭注的1/4。費馬：結束賭局至多還要2局，結果有4種等可能情況：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。前3種情況，甲獲全部賭注，僅第4種情況，乙獲全部賭注，所以甲分得賭注的3/4，乙得賭注的1/4。

另外，在講解基本概念、基本公式及基本理論時，如果也能適時地選取案例，會起到事半功倍的效果。常見案例比如有：生日問題、保險問題、彩民中獎問題、排隊等待問題等。教師可根據與之相關的理論知識，編寫有關的案例，安排合適的場景，設定問題，讓學生參與進來，運用所學理論，最終給出最佳的解決問題的方法。

案例2 某學校有6000名學生，每天傍晚打開水的人較多，開水房經常出現排長隊現象，應增加多少個水龍頭才能解決這種現象？

首先讓學生統計開水房現有的水龍頭個數，再調查每個學生在傍晚一般有多少時間占用一個水龍頭（如0.5%），最后分析發現每個學生占用水龍頭是相互獨立的，引導學生聯想到中心極限定理。又考慮到每個人有兩種情況：占用水龍頭和不占用水龍頭。占用水龍頭的概率是0.005，所以學生是否占用水龍頭可以看作是一次獨立試驗，該問題就可以看作是n=6000的n重伯努利試驗。設用水龍頭的學生數為X，則X～B（6000，0.005），可以用德莫佛-拉普拉斯中心極限定理解決問題。類似的案例還有餐廳、醫院、車站、郵局等服務窗口個數的合理設置問題。

適當選取生動形象的案例輔助教學，可以活躍課堂氣氛，加深對知識點的理解，培養學生分析問題和解決問題的能力。

（二）巧用數學建模，系統掌握理論方法

數學建模是通過對實際問題進行抽象、簡化、假設、引進變量等處理后，將之轉化為數學問題，建立數學模型，然后運用數學方法及計算機技術進行求解。數學建模中常用模型主要有優化模型、微分方程模型、統計分析模型、運籌模型等，其中的統計分析模型主要是處理隨機性問題。在概率論與數理統計教學中引進數學模型會提高學生利用數學工具分析和解決實際問題的思維和能力。數學建模有三個重要環節：首先，建立模型，主要是將實際問題轉化為數學問題；其次，數學解答，即利用數學方法對數學問題求解；最后，模型檢驗，將得到的結論方法再應用到實際問題中。這種思維方式很多學生缺乏，適當地利用數學建模鍛煉這種處理問題的思維方式很有必要。實際生活中有許多問題可以用概率論與數理統計結合數學模型來解決。比如，免費抽獎問題、公交大巴車門高度設計問題、商品訂貨及銷售預算問題、捕魚問題、假設檢驗、氣候預測等。下面列舉一個利用概率論與數理統計知識進行數學建模解決實際問題的例子。

例：某商店對某種品牌家用電器的銷售采用先使用后付款的方式，規定：使用不超過一年，付款1500元/臺；使用超過1年不滿2年，付款2000元/臺；使用超過2年不滿3年，付款2500元/臺；超過3年，付款3000元/臺。假設電器的使用壽命服從參數為0.1的指數分布，試檢驗該銷售策略是否比正常營銷策略有優勢？

分析：一般正常銷售策略會在進價基礎上增加一點額度進行交易，而上述策略中具體一臺家用電器的收費是隨機的，由使用時間而定，所以想到這是概率論中的一個離散型隨機變量，設為Y，為比較合理性，需要計算出每臺電器的平均收費，即概率論中關于離散型隨機變量數學期望的計算。由此，必須要先確定離散型隨機變量Y的分布律，而Y的分布律由使用壽命決定，設為隨機變量X，于是給出問題解答：

設使用壽命為X，X服從參數為0.1的指數分布，即X～e（0.1），

于是一臺收費Y的分布律為

計算得E（Y）=2727.1，即平均一臺家用電器收費為2727.1元。

有了上述結果，即可與以往只單純提高價格的銷售方式相比較，從而選擇利益最大化的銷售方式。

（三）借用統計軟件，使繪圖和計算簡單、精確

在當前信息數據數量大、范圍廣、變化快的形勢下，傳統的人工處理手段無法適應經濟高速發展對統計提出的要求，也難以提高數據處理的速度和精度。計算機軟件的發展，特別是統計軟件的應用，使得在圖像處理、統計信息存貯和檢索、分析計算等方面有了很大提高。

常用的統計分析軟件有SAS、SPSS、Matlab、Excel軟件等，其中以功能多、技術先進、使用方便的Excel軟件受到青睞。Excel軟件是表格式數據綜合管理和分析系統，它采用電子表格方式進行數據處理，提供了豐富的函數，可以進行數據處理、統計分析和決策輔助；還具有很好的制圖功能。利用Excel軟件可以繪制箱線圖、假設檢驗、方差分析、一元線性回歸等方面的問題。比如，在利用χ2檢驗法確定檢驗問題的p值時，可以利用Excel工作表，單擊“插入”，對于彈出的菜單單擊“函數”，再對于彈出的菜單單擊“CHIDIST”，然后單擊“確定”，即彈出對話框。對顯示的對話框鍵入x和自由度df值，即得到p值。對于t檢驗法和F檢驗法也有相應的函數可用。另外，在建立方差分析表時，需要計算因素S與誤差S時，數據多，公式復雜，計算量很大，利用Excel軟件便可快速得到結果，簡單方便。

三、結束語

在概率論與數理統計的教學中，采用與實際生活聯系緊密的問題來設計教學案例，將實際問題和理論知識聯系起來，能促進學生對問題進行深入地研究和思考。探索把建模思想更好地融入概率統計教學的途徑或方法，有效提高學生應用概率統計知識解決實際問題的意識和能力。應用統計軟件求解問題的教學過程使計算結果在課堂教學中得到即時呈現，軟件的圖形功能也使實際問題的結論更加直觀。總之，在教學過程中靈活運用多種教學手段，通過具體生動的實例把抽象的概念形象化，輔之以現代化教學方式，會極大地提高教學效果。

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