以概率的眼光看世界

閆成海

摘要：數(shù)學(xué)文化是人類文明的重要組成部分，教師在概率統(tǒng)計(jì)課堂中增加數(shù)學(xué)文化的元素，既增加了課堂趣味又增加了課堂的育人功能，教會(huì)學(xué)生以概率的眼光看世界。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;概率課堂;生活實(shí)例

中圖分類號(hào)：G642.41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）23-0172-04

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)分支，與現(xiàn)實(shí)世界有著緊密的聯(lián)系。教師在課堂教學(xué)中增加與生活有關(guān)的例子，既能增加課堂的趣味性，也可對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的滲透。

一、順序·公平

抽簽問題也是古典概率中一個(gè)歷史問題。袋中有a只白球，b只黑球。從中依次摸球，試求第k次取出的球是白球的概率。

設(shè)：A=“第k次取出的球是白球”k=1，2，…，a+b

解法一：把a(bǔ)只白球和b個(gè)黑球看作是不同的，若把抽出的球依次排成一列，則每個(gè)排列就是試驗(yàn)的一個(gè)基本事件，基本事件數(shù)就等于a+b個(gè)球的所有全排列共有（a+b）！，事件A包含的基本事件特點(diǎn)就是在第k個(gè)位置上排的一定是白球，共有a（a+b-1）！。因此，

解法二：把a(bǔ)只白球和b個(gè)黑球看作是不同的，由于考慮第k個(gè)球的情況，所以只需考慮從a+b中抽出k個(gè)球即可。因此若把抽出的k球依次排成一列，則每個(gè)排列就是試驗(yàn)的一個(gè)基本事件，基本事件數(shù)就等于個(gè)球的所有選排列共有A，事件A包含的基本事件特點(diǎn)就是在第k個(gè)位置上排的一定是白球，共有aA ? ?。因此，P（A）= ?= ? k=1，2，…，a+b.

從上述兩種解法中可以看出抽到白球的概率是，這個(gè)值與順序k沒有關(guān)系。對(duì)待同一個(gè)題目，看待問題的角度不同使用的方法也就有所不同，這就要求我們多角度、多方向地分析問題，這樣就既可以增加對(duì)題目的理解，又可以開闊我們的思維。這個(gè)題目的模型在我們生活中也是隨處可見。為了公平常常會(huì)進(jìn)行抽簽，這個(gè)值與k沒有關(guān)系，也就是說抽簽與順序無關(guān)。比如，n張彩票中有一張獎(jiǎng)券，每個(gè)人摸到的概率在理論上概率是相等的。當(dāng)然有人會(huì)說，前面都抽完了后面還有什么意義，這就我們對(duì)概率的理解問題。概率就是我們對(duì)未知事件的一種估計(jì)，它最終的結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生，只有這兩種情況，概率大的時(shí)候就說明事件發(fā)生的可能性大，容易發(fā)生。

在講完全概率公式后，又把這個(gè)問題提出來，從不同角度繼續(xù)分析。

設(shè)在n張彩票中有一張獎(jiǎng)券，求第二人摸到獎(jiǎng)券的概率是多少？

解：記Bi=第i個(gè)人摸到獎(jiǎng)卷。

根據(jù)題意可得：

根據(jù)全概率公式可得：

這個(gè)結(jié)果仍然跟我們利用古典概型的結(jié)果一致，再次說明了抽簽與順序沒有關(guān)系。這也就希望大家以后在抽簽的時(shí)候能“紳士”些！

二、感性·理性

講完獨(dú)立性概念，我就會(huì)出這樣的課堂討論：

一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假設(shè)生男生女是等可能的。令A(yù)={一個(gè)家庭中有男孩、又有女孩}，B={一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}。對(duì)下列兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：

1.家庭中有兩個(gè)小孩。

2.家庭中有三個(gè)小孩。我會(huì)首先問學(xué)生猜猜這個(gè)結(jié)果，課堂總會(huì)是一片笑聲。我說，我們每個(gè)人對(duì)待任何事物都要有自己的觀點(diǎn)。下面看看你們猜的結(jié)果是否正確？

分析：情形1的樣本空間為：

Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}

故

此種情形下，事件A、B是不獨(dú)立的。

情形2的樣本空間為：

Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男），

（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}

故

此種情形下，事件A、B是獨(dú)立的。

通過分析會(huì)得出：家庭中有兩個(gè)孩子與三個(gè)小孩對(duì)于A、B事件它的結(jié)果不一樣。我就會(huì)說，感性的東西并不可靠，可靠的是我們的理性。而這種可靠的理性就是建立在我們嚴(yán)格的邏輯推理基礎(chǔ)之上。數(shù)學(xué)課不僅僅是一門枯燥的定理公式，而是教會(huì)我們一種理性的思維方法。

三、偶然·必然

貝努力概型是學(xué)習(xí)完獨(dú)立性之后一個(gè)非常重要的概型，也會(huì)涉及到概率中兩個(gè)重要的原理，小概率事件發(fā)生原理和小概率事件不發(fā)生原理。在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p（0

（用數(shù)學(xué)證明小概率實(shí)際發(fā)生原理）

設(shè)B=“在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生”

A=“在第i次試驗(yàn)中事件A發(fā)生”i=1，2，…，n。

可看作是相互獨(dú)立的，從而

原理的解釋，如：高速行駛在高速公路上的汽車，我們認(rèn)為在一次中不發(fā)生事故，但是在一個(gè)時(shí)間段必然發(fā)生事故，那降低事故的辦法就是，降低p的值。就是說，我們規(guī)范行駛，以減少在交通中的事故數(shù)。換句話說，這兩個(gè)原理也解釋了我們常說的偶然與必然。小概率事件發(fā)生的概率非常小，一次發(fā)生的概率幾乎是0，可以看作是偶然事情，但是在眾多中必然會(huì)發(fā)生。偶然中有必然，必然中伴隨著偶然。我們?cè)賮矸治霾势眴栴}[5]。從01，…，35中選7個(gè)號(hào)碼.其中7個(gè)基本號(hào)碼，1個(gè)特殊號(hào)碼。中獎(jiǎng)規(guī)則如下：

一等：7個(gè)基本號(hào)碼;

二等：6個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼;

三等：6個(gè)基本號(hào)碼;

四等：5個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼;

五等：5個(gè)基本號(hào)碼;

六等：4個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼;

七等：4個(gè)基本號(hào)碼，或3個(gè)基本號(hào)碼+1個(gè)特殊號(hào)碼。

這個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是500萬(wàn)，是我們夢(mèng)寐以求的。

根據(jù)古典概率計(jì)算可知一、二、三、四、五、六、七等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率分別為：

從上面可以得出，不中獎(jiǎng)的概率為0.966515，中獎(jiǎng)概率為0.033485，中獎(jiǎng)概率小于0.05，說明中獎(jiǎng)是一個(gè)小概率事件。也就是說中500萬(wàn)的概率非常的小，可以認(rèn)為在一次抽獎(jiǎng)中是不發(fā)生，但是當(dāng)買的人非常多的時(shí)候，必有一人中獎(jiǎng)。因此，我們應(yīng)該理性地看待彩票問題，任何人都想著一夜暴富，不勞而獲。我們從概率角度可以看出每個(gè)人中500萬(wàn)的概率是0，因此對(duì)待彩票我們可以看作是一次娛樂活動(dòng)，中了高興，不中就當(dāng)是為公益事業(yè)做出自己微薄的貢獻(xiàn)。

四、方差·風(fēng)險(xiǎn)

方差和期望是隨機(jī)變量非常重要的兩個(gè)數(shù)字特征。在方差課堂教學(xué)中，首先給出一個(gè)引例：甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈，每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：

甲：10，7，9，8，10，6

乙：8，7，10，9，8，8

問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？

對(duì)于這個(gè)問題，首先教會(huì)學(xué)生如何分析問題和在分析問題的順序。在比較了兩組數(shù)據(jù)后，同學(xué)們肯定是想到了數(shù)學(xué)期望，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)甲乙兩人的均值都為8.3環(huán)，此時(shí)問題陷入了僵局。在均值一致的是時(shí)候要反映兩人的水平就需考慮穩(wěn)定程度，也就是兩人的水平的穩(wěn)定性，如何反映穩(wěn)定性呢？就需要考慮他們進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度，通過具體的實(shí)證分析引入了了方差的概念。

再給出方差的一個(gè)例題后會(huì)分析下面的例子：

某人有一筆資金，可投兩個(gè)項(xiàng)目——房地產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān)。若把未來市場(chǎng)劃分為好、中、差三個(gè)等級(jí)，其發(fā)生的概率分別為0.2，0.7，0.1。通過調(diào)查，該投資者認(rèn)為投資房地產(chǎn)的收益X（萬(wàn)元）和投資商業(yè)的收益Y（萬(wàn)元）的分布列為：

X 11 3 -3 Y 6 4 -1

P 0.2 0.7 0.1 P 0.2 0.7 0.1

請(qǐng)問：該投資者如何投資為好？

解：我們首先考察數(shù)學(xué)期望（平均收益），可得

E（X）=4.0，E（Y）=3.9。從平均收益來看差別不大。下面我們計(jì)算它們的各自方差，他們的標(biāo)準(zhǔn)差為：σ（X）=3.93 σ（Y）=1.81.

因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差（方差）愈大則受益的波動(dòng)大，從而風(fēng)險(xiǎn)也大。所以從標(biāo)準(zhǔn)差角度來看投資房地差的風(fēng)險(xiǎn)比商業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)大一倍多。若收益與風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡，還是商業(yè)較好，雖然收益少了0.1萬(wàn)元，但是風(fēng)險(xiǎn)缺少了一半以上。生活中隨時(shí)需要我們進(jìn)行抉擇，那我們進(jìn)行抉擇的時(shí)候不僅需要權(quán)衡收益還需權(quán)衡風(fēng)險(xiǎn)。2007年股市給中國(guó)人深深的上一課，當(dāng)股市經(jīng)歷了2006年瘋漲之后，2007年的股市有如坐山車從2000多點(diǎn)瘋漲到6000多點(diǎn)結(jié)果又回到了起點(diǎn)。這個(gè)過程中眾多國(guó)人已經(jīng)不知道風(fēng)險(xiǎn)為何物，只知股市遍地是黃金，最終眾多的積蓄化作泡影。概率論起源于一場(chǎng)賭博，一場(chǎng)因不可抗拒因素而被迫中止的賭博如何分配賭資的問題。隨著配賭資問題的解決而產(chǎn)生了一門新的學(xué)科——概率論。誰(shuí)也不會(huì)想到，它竟然是現(xiàn)代數(shù)學(xué)一個(gè)主要的分支，在我們的生活中處處存在。或許這就是數(shù)學(xué)魅力吧！我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中不僅僅是學(xué)習(xí)它的知識(shí)更重要的是要學(xué)習(xí)他的思想方法，學(xué)會(huì)以概率的眼光看世界！