三角函數、雙曲函數及它們的反函數的教學探討

張平平 徐陽棟

摘要：三角函數與反三角函數均屬于基本初等函數，而雙曲函數及它們的反函數在工程當中應用非常廣泛，因此它們都是一些非常重要的函數。由于三角函數與雙曲函數的起源及性質很相似，因此本文欲用類比的方式來闡述三角函數、雙曲函數及它們的反函數的相關概念及性質。

關鍵詞：三角函數;雙曲函數;反函數

中圖分類號：O13 ? ? 文獻標地志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）24-0185-02

本文從三角函數與雙曲函數的起源、三角函數與其反函數的性質及它們之間的關系、雙曲函數與其反函數的性質及它們的關系三部分進行考慮。

1 三角函數與雙曲函數的起源

對于單位圓周x ?+y ?=1上的任意一點P（x，y）的坐標x，y分別可以表示成極角θ的余弦與正弦函數，即x=cosθ，y=sinθ?？芍鹊扔趫D1陰影部分面積的2倍，同時也等于極角θ所對應的弧長，并把它們的比值tanθ= ?及其倒數cotθ= ?分別稱為正切函數和余切函數，因此三角函數也稱為圓函數。

對于標準雙曲函數的右支x ?-y ?=1，x>0上的任意一點Q（x，y）的坐標為x，y。令u等于圖2陰影部分面積的2倍，經計算得出x= ?，y= ?，具體的計算過程可參照文獻[1]。因此就把函數shu= ?，chx= ?分別稱為雙曲正弦和雙曲余弦，并把它們的比值thu= ?及其倒數cthu= ?分別稱為雙曲正切與雙曲余切。

2 三角函數與其反函數的性質及它們之間的關系

對于正弦函數y=sinx，其定義域為（-∞，+∞），值域為[-1，1]的奇函數，并以2π為最小正周期的周期函數。函數在區間[2kπ- ?，2kπ+ ?]上單調遞增，在區間[2kπ+ ?，2kπ+ ?]上單調遞減。

由于周期函數并不是單射，因此并沒有反函數，但是對其某個單調區間而言，反函數是存在的。把正弦函數y=sinx在單調區間[- ?， ?]上的反函數稱為反正弦主值函數，簡稱為反正弦函數，記為y=arcsinx。由原函數與其反函數的關系可知：反正弦函數y=arcsinx的定義域為[-1，1]，值域為[- ?， ?]，單調遞增的有界函數。

對于余弦函數y=cosx，其定義域為（-∞，+∞），值域為[-1，1]的偶函數，并以2π為最小正周期的周期函數。函數在區間[（2k-1）π，2kπ]上單調遞增，在區間[2kπ，（2k+1）π]上單調遞減。

類似地，把余弦函數y=cosx在單調區間[0，π]上的反函數稱為反余弦主值函數，簡稱反余弦函數，記為y=arccosx。由原函數與其反函數的關系可知：反余弦函數y=arccosx的定義域為[-1，1]，值域為[0，π]，單調遞減的有界函數。

類似地可以討論正切與其反函數，余切與其反函數的相關性質。

三角函數之間主要有以下一些關系：

tanx= ?;cotx= ?;

sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny;

sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny;

cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny;

cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny;

sin ?x+cos ?x=1.

3 雙曲函數與其反函數的性質及它們的關系

對于雙曲正弦函數shx= ?，其定義域為（-∞，+∞），值域為（-∞，+∞）的奇函數，并在區間（-∞，+∞）上單調增加。當x的絕對值很大時，它的圖形在第一象限內接近于曲線y= ?e ?，在第三象限內接近于曲線y=- ?e ?。

由于雙曲正弦函數是單調函數，因此存在反函數。經計算很容易得到其反函數的表達式，并記為arshx=ln（x+ ?），稱為反雙曲正弦函數。由反函數與原函數的關系可知：反雙曲正弦函數y=arshx的定義域和值域均為（-∞，+∞）的奇函數，且在（-∞，+∞）上單調遞增。

對于雙曲余弦函數y=chx= ?，其定義域為（-∞，+∞），值域為[1，+∞）的偶函數。在區間（-∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增，當x的絕對值很大時，它的圖形在第一象限內接近于曲線y= ?e ?，在第二象限內接近于曲線y= ?e ?。

由于雙曲余弦函數是偶函數，而偶函數不是單射，因此并不存在反函數。但是對其某個單調區間而言，反函數是存在的。把雙曲余弦函數chx= ?在單調區間[0，+∞）上的反函數y=ln（x+ ?）稱為反雙曲余弦的主值，簡稱反雙曲余弦，記作y=archx。由原函數與反函數的關系可知：反雙曲余弦函數y=archx的定義域為[1，+∞），值域為[0，+∞）的單調遞增函數。

類似地可以討論雙曲正切與其反函數及雙曲余切與其反函數的相關性質。

與三角函數類似，雙曲函數之間也有以下一些關系：

thx= ?;cthx= ?;

sh（x+y）=shxchy+chxshy;

sh（x-y）=shxchy-chxshy;

ch（x+y）=chxchy+shxshy;

ch（x-y）=chxchy-shxshy;

ch ?x-sh ?x=1.

4 總結

從三角函數的由來知道，其自變量是極角，也可以看成是弧長，因此三角函數的反函數就是在其相應的三角函數前加“arc”來表示。而雙曲函數的自變量就是圖2陰影部分面積的2倍，是面積的函數，“area”表示面積，因此雙曲函數的反函數就是在其對應的雙曲函數前面加“ar”來表示，詳細的內容可參考文獻[2]。

由于三角函數與雙曲函數有類似的由來，因此它們的一些性質和關系也會有點相似，而三角函數大家可能相對來說比較熟悉，因此可以用一些類比的方式來方便記憶，但一定要注意區別，并用PPT放映各函數的圖像以幫助學生更好地理解與記憶這些函數的性質。

參考文獻：

[1]史志云，高月秋.雙曲函數的由來和幾何意義[J].高等數學研究，1996，（3）：3-5.

[2]徐裕生.反雙曲函數符號的含義[J].高等數學研究，1996，（3）：5.

[3]同濟大學數學系.高等數學[M].第六版.北京：高等教育出版社，2006.