淺談函數項級數的習題課設計

徐陽棟

摘要：函數項級數在數學分析的內容中占有重要的位置。本文從概念的回顧、函數項級數一致收斂的判定、冪級數和函數的計算以及函數的冪級數的展開等方面來設計函數項級數及冪級數的習題課，并通過具體例子說明立體、習題精選的原則。

關鍵詞：數學分析;函數項級數;冪級數;一致收斂性;展開式

中圖分類號：O17 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）24-0178-03

數學分析是數學專業的一門非常重要的專業基礎課。由于該課程中的概念抽象、邏輯性強、知識點關系緊密，因此學生在學習時往往感覺到很困難，特別是在學到級數、反常積分這幾塊內容時。盡管教師在課堂講授時詳細講解了概念的內涵以及不同概念之間的關系，給出了定理的邏輯關系以及嚴格證明，但不少同學還是應用已學知識分析問題，遇到習題特別是一些綜合性的習題還是不知從何下手。因此，在數學分析中，在習題課上安排一些重要內容還是很有必要的。習題課主要是起到學生對問題的疑問和知識鞏固的作用，是課堂講授的補充與深化。習題課的核心是總結、鞏固和提升已學知識。教師應充分利用習題課幫助學生加深對概念的理解，揭示數學分析課程蘊含的豐富的數學思想，提高學生的抽象能力、邏輯推理能力、歸納總結能力和計算能力等。

本文以函數項級數為例介紹筆者在該內容習題課中的一些做法。這部分的重點是函數項級數一致收斂性的判定、冪級數和函數以及冪級數展開式的計算。

1 概念、結論、方法的回顧與總結

習題課一開始應先復習和鞏固相關概念、定理和基本方法。教師在課堂上可借助提問等手段，啟發學生積極思考，理清概念之間的關系。先回顧函數列、函數項級數一致收斂的定義與等價定義、判別方法及其和函數的性質，并且討論為什么要研究函數項級數和函數的性質。同時回顧冪級數和函數以及一般函數的冪級數展開式的計算思想與方法。下面就是按照一般的函數項級數和冪級數兩方面內容來分別進行總結。冪級數∑a ?（x-x ?） ? 求 其 和 函 數S（x）？搖收斂半徑R= ? ? ?？搖？搖收斂區間：（x ?-R，x ?+R）收斂區域：考慮收斂區間的端點解析性質？搖連續性：S（x）在（x ?-R，x ?+R）內連續.又若冪級數在x ?-R或x ?+R處收斂，則S（x）在[x ?-R，x ?+R）連續.可積性：S（x）在（x ?-R，x ?+R）內可積且冪級數可逐項積分，即 ? ? ?S（t）dt= ? ? ?∑a ?（t-x ?） ?dt=∑ ? ? ?a ?（t-x ?） ?dt=∑ ?（x-x ?） ?可導性：S（x）在（x ?-R，x ?+R）內可積且冪級數可逐項求導，即 ?S（x）= ?∑a ?（x-x ?） ?=∑ ?a ?（x-x ?） ?=∑na ?（x-x ?） ?？搖方法：主要利用冪級數的和函數的解析性質，四則運算和恒等變形等方法去掉系數a ?，再利用 ?（x-x ?） ?= ?公式.？搖 函 數f（x） 展 開 成 冪 級 數？搖直接方法（依賴已知函數的泰勒級數）→步驟（1）a ?= ?（2）形式上： ? ?（3）討論余項R ?（x）→0，？坌x∈（x ?-R，x ?+R）？搖間接方法（變量代換、四則運算、恒等變形、逐項求導、逐項積分）？搖

2 幾種常用函數的冪級數展開式

3 相關的練習題

為使學生更好地理解函數項級數的概念，掌握函數項級數一致收斂的判別法，熟悉冪級數和函數以及函數的冪級數展開式的計算，習題課上教師應結合這些課程的核心內容精選例題講解、例題練習，通過讓學生在黑板上做題目等方式，使學生在解題過程中感受到其中的數學方法與思想。

在常規課堂教學中，我們給出下面的例子來考查學生對上述內容的理解程度。

例1：討論下列函數列或函數項級數在所示區間是否一致收斂。

上面的幾個小例子分別可以通過函數列一致收斂的等價定義、函數項級數和函數的性質（連續性）、函數項級數的判別法（狄利克雷判別法和柯西判別法）來求解。這些例子讓學生理解函數項級數的一致收斂是根據其部分和函數列的一致收斂性而來的，并且要知道函數項級數一致收斂與收斂的區別，更要掌握函數項級數的一些基本判別法。

例2：求下列冪級數的收斂半徑與收斂區域。

上面兩個小例子是讓學生掌握冪級數的收斂半徑和收斂區域的基本求法（正項級數收斂的柯西判別法）。

例3：試將下列函數按x的冪展開成冪級數。

這個例子就是要讓學生熟悉并靈活應用常用函數的冪級數展開式。

例4：確定冪級數的收斂域并求和函數。

這個例子要求學生掌握并靈活冪級數和函數的性質（求導、積分符號與求和符號的交換的原則），并讓學生了解在求冪級數和函數的基礎上能求常數項級數的和函數，比如下面的例子。

例5：應用冪級數的性質求級數。

總之，習題課不僅要回顧、歸納、總結重要的概念和定理等內容，同時教師還應通過對習題、例題的精選、探討、推廣和總結來讓學生理解解題的邏輯思維過程，感受到在求解過程中豐富的數學方法與思想，進而培養學生的計算思維、抽象思維、發散思維、邏輯推理等能力，使學生可以舉一反三、融會貫通地綜合運用有關的知識解決相應的問題。

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