數學高考選擇題解答應“通”“巧”并舉

●李美君(寧海中學浙江寧海315600)

數學高考選擇題解答應“通”“巧”并舉

●李美君(寧海中學浙江寧海315600)

在數學高考中，選擇題是考生必須逾越的第一道屏障.能否迅速、準確、簡捷地解好選擇題，成為考試成功的關鍵之一.如果選擇題解答不順，不但意味著失分，而且會給下面的解題帶來巨大的心理壓力;如果一個選擇題是“超時”答對的，那么就意味著已經隱性丟分了.因此在平時教學中，要重視選擇題解法的研究與教學，要有意識地滲透選擇題的求解策略，以此提高解題的準確性和速度，確保在選擇題上得高分的同時，為后續解答贏得時間.那么數學高考選擇題的解題技巧是什么呢?

自從《數學通報》1992年第8期發表了曾家鵬先生的文章“提倡運用通法，建議淡化特技”［1］之后，中學數學的輿論出現了“一邊倒”現象，對通法推崇有之，對巧法敬而遠之，有的甚至談“巧”色變.然而甘大旺先生在“通法與特技的相對性及啟示”一文中強調指出“通法與特技總是相對的，教師對于通法與特技的探索都應該持積極態度而不必顧慮重重”［2］.

基于這樣的背景，縱觀近幾年數學高考選擇題，絕大多數題目都可以用通性通法直接求解，但也有許多題目可通過激活思維、創新思考、挖掘其特殊內涵、“巧思妙解”得到答案，因此對數學高考選擇題的解答應“通”“巧”并舉.所謂通法通常是指解決某一類問題時常用的方法，而巧法就是抓住題目的本質特征，用發散思維和創造性思維來解決問題的方法.本文以2014年浙江省數學高考試卷中比較典型的選擇題為例，談談“通”“巧”并舉在選擇題解答中的作用，和大家共享.

1 “通”“巧”并舉示例

1.1 通法是“坦途”

例1如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成的角).若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是()

(2014年浙江省數學高考文科試題第10題)

沉寂了多年的數學應用題，2014年以嶄新的面貌再次出現，其實剝去“包裝”，這是在三角函數與立體幾何交匯處命題的函數最值問題.建立目標函數的方法是解決最值問題的通法，一般步驟是先選擇適當的量為變量，再把所需求最值的量用上述變量表示，最后求出上述目標函數的最值即得結論.由于此題有三角函數與立體幾何背景，因此用三角公式和建立空間直角坐標系也是通性通法.

圖1

圖2

通法1以某一線段長作為目標函數的變量的設法不少，現以設PP'=x為例.

如圖2，過點P作PP'⊥BC，交BC于點P'，聯結AP'，則∠PAP'即為直線AP和平面ABC所成的角θ，則

通法2如圖2，過點P作PP'⊥BC，交BC于點P'，聯結AP'，則∠PAP'即為直線AP和平面ABC所成的角θ，從而易得BC=20，于是

令∠P'AC=φ，在△AP'C中由正弦定理可知

通法3如圖3，以B為原點，分別以射線BA，BC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系B-xyz.

圖3

評析通法常以主要的基礎知識為依據，以基本方法為技能，它的解法思想順乎一般的思維規律，其具體的操作過程容易被絕大多數學生所掌握.學生之所以喜歡通法，是因為通法自然、流暢，易于理解，易于掌握和運用.

1.2 巧法是“捷徑”

通法是“通途”，而巧法是“捷徑”.如2014年浙江省數學高考理科第9題，考生可運用古典概率公式，通過運算硬做，但是運算量較大.若注意到此題是選擇題，不需小題大做，則可用特殊值法巧解之.用特殊值法得到答案，有點小“巧”，若抓住概率統計的數學本質:pi(i=1，2)的大小就是取到紅球可能性的大小，E(ξ)就是取到紅球的平均數，采用稀釋思想:若一個球也不放，則從甲盒中取到紅球的概率為1，放入i(i=1，2)個球后紅球被稀釋了，故p1＞p2.而E(ξ2)=E(ξ1+η)=E(ξ1)+ E(η)，由E(η)＞0，知E(ξ2)＞E(ξ1)，這樣就“秒殺”答案了.再看下例.

例2設函數f1(x)=x2，f2(x)=2(x－x2)，，i=0，1，2，…，99.記Ik=|fk(a1)－fk(a0)|+|fk(a2)－fk(a1)|+…+ |fk(a99)－fk(a98)|，k=1，2，3，則()

A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3

C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1

(2014年浙江省數學高考理科試題第10題)

此題主要考查了二次函數、三角函數、絕對值、比較大小等知識和技能，通法就是去掉絕對值，結合函數知識進行大小比較.但對I3的計算過程中，牽涉到帶絕對值的三角函數的單調性，圖像翻折后對2個數的大小進行比較，稍不留神就會出錯，且得到后，想到

得到I3＞1也不容易.考生若能夠抓住問題的本質特征，結合函數圖像先分析后估算，就能使問題的解決既直觀又“入微”.

圖4

圖5

圖6

巧法由圖4可知，因為f1(x)在［0，1］上單調遞增，所以

由圖5可知，f2(x)在上單調遞增，在上單調遞減.因此從f2(a1)到f2(a49)是單調遞增的，從f2(a50)到f2(a98)是單調遞減的，這樣把I2分成2段之和，可得

由圖像可知，f2(a49)，f2(a50)均比小，故I2＜1.

由圖6可知，f3(x)在上單調遞增，在上單調遞減.因此從f3(a1)到f3(a24)是單調遞增的，從f3(a25)到f3(a49)是單調遞減的，從f3(a50)到f3(a74)是單調遞增的，從f3(a75)到f3(a99)是單調遞減的，這樣把I3分成4段之和，從圖中可以看出每一段的值均接近.因此I3接近，故I2＜I1＜I3.

評析讓I1，I2，I3與1，比較大小后得出結論，不能不說是“巧”，但“巧”得恰當，“巧”得合理，“巧”得科學，“巧”得精彩.巧法的特點是對題目“個性”把握得準確而深刻，是抽象、概括、發散、合情推理的產物，是思維活躍、濃縮的結果.

1.3 “通”“巧”并舉效果好

通法在一定范圍內具有普適性，是解決問題最常用的方法，而巧法往往在解答選擇題的速度上、簡化解題過程上有著特殊的效果，因此“通”“巧”并舉效果好.

例1的巧法設點P固定，那么點P到平面ABC的距離確定，讓點A在射線CA上運動，要使仰角最大，只要點P到直線AC的距離最短(如圖7).因此，當AP⊥AC時，仰角最大.

圖7

過點P作PP'⊥BC，交BC于點P'，聯結AP'，則

設CP=t，在Rt△PP'C中，

在Rt△P'AC中，

評析這是令人拍案叫絕的解法，但其不足之處也很明顯，就是不容易想到，必須要看清此題是給靜態的函數圖像問題加入了“動態”的元素，而動靜是相對而言的，才能想到“動靜互轉”這類巧法.而上述3種通法，無疑是絕大多數考生的選擇，無需太多的思維能力，只需“手工勞作，一算到底”，但是運算過程比較繁難，且費時費力.因此“通”“巧”并舉可使不同層次的學生從自身的實際出發選用不同層次的方法，都能保證解題的準確性.

2 “通”“巧”并舉的優勢

通法解題思路的定勢作用有積極的一面，即對于同一類型的題目，能使學生按照定型化的思路，駕輕就熟地解決問題，但有時方法繁瑣，運算量大，容易出錯，對培養學生思維的敏捷性和創造性有消極的作用，阻礙了學生思維的發展.“巧法”思維航程短，巧妙地利用題中的隱蔽條件，在開拓學生思路、鍛煉學生能力上有著獨特的功能，它往往還能給人以某種形式美的享受，但思維層次高，運用面相對較窄，沒有扎實的基礎，在短時間內是不易想到的.過分強調通法會影響發散思維和創造性思維的培養，而過于注重巧法也會導致缺乏對基本思想、方法的挖掘和相應的訓練，從而沖淡和掩蓋了對基本思想方法的滲透，因此兩者各有利弊.

立足于基礎的通法應是選擇題解答的主力軍，而注重能力的巧法必須作為一種重要方法經常使用，通法與巧法相輔相成，則是一種更高的思維層次.在學習中要弄清通法和巧法的適用范圍，充分發揮通法和巧法各自的教學功能，應用中宜“通”“巧”并舉，選擇最適合自身思維能力的解法.“通”“巧”并舉不僅能讓學生有“什么類型的題目用什么方法”的意識，還能從通性通法中跳出來，積極地開展創造性思維活動，進一步優化學生的思維品質，提高分析問題和解決問題的能力.

3 如何做到“通”“巧”并舉

著名數學教育家波利亞說:“中學數學的主要任務就是解題訓練”，而解題教學的關鍵之一是幫助學生制定最佳的解題方案.既然在數學選擇題解答中“通”“巧”并舉有諸多優勢，那么如何才能實現呢?筆者認為至少要做到以下2點:

1)樹立務實的解題理念.當下，高中數學教學對選擇題的解答往往運用通性通法，認為只有通過正確的推理演算得出的結果才放心，扼殺學生“不常規”的思維亮點，要求學生“做出答案，不準猜答案”.長久以往，學生不敢“瞎想亂猜”，只能一味地埋頭死算(推)，小題大做，既費時又易出錯，無法實現高考選擇題的速解.當然在平時教學中，采用大量巧法，必定會使部分學生對數學產生恐懼心理，認為數學“高不可攀”，從而喪失學好數學的信心.因此在平時的選擇題教學中，既要注重通性通法的掌握與數學思想方法的揭示，又要充分利用選擇題“不需要寫出推理過程，四選一”的特點，運用“特例法”、“數形結合法”、“估算法”等選擇題解答的獨特技巧，達到巧解、快解與通法兼容并包的效果.只有在平時學習中樹立起“既要重視通法，又要追求巧法”、“小題小做、小題巧做”等務實的選擇題解題理念，才能在高考中實現解題角度的靈活變通與解題方法的靈活選擇.

2)養成解題反思的習慣.當前選擇題教學還存在一些誤區，主要是“重結果，輕過程”，較少暴露“怎樣解題”的思維過程，更不去思考“為什么這樣解”，缺少對解題過程和思想方法的反思和理解.解題反思是訓練和提高學生思維能力的重要途徑，是提高解題能力的重要環節，是對思維過程、思維結果進行再認識的檢驗過程.因此在教學中一定要舍得花時間引導學生反思，給學生充分“悟”的時間，沒有“悟”性的學生，就很難有思維的靈活性.讓學生學會做完一道選擇題時，反思為什么要用這種方法，是否還有更好的方法，哪一種方法最優，等等.如例1，反思解題方法，抓住“動靜相對而言”的特點，采用“動靜互換”的解題方法，就使學生的思維更具靈活性;又如例2，在運用通性通法順利解出答案后，反思題目的本質特征是什么，運用數形結合和估算法，使學生的思維更具廣闊性.因此在高考選擇題解答中要實現“通”“巧”并舉，就要在平時訓練中，多引導學生養成解題反思的習慣，日積月累，在潛移默化中提高解題能力，形成技能.只有這樣，才能在高考時充分利用題目自身提供的信息，化通法為巧法，避免小題大做，真正做到準確和快速.

解選擇題應掌握對應的基本知識，運用常規的解題思想，更應充分挖掘題目的信息，綜合運用各種方法，迅速地做到小題巧做，因此“通”“巧”并舉是高考數學選擇題解答的良策之一.

［1］曾家鵬.提倡運用通法，建議淡化特技［J］.數學通報，1992(8):16-17.

［2］甘大旺.通法特技的相對性及啟示［J］.數學通報，1997(2):11-12.