看似崎嶇最尋常成如艱辛卻容易
——數(shù)列中一類不定方程通解探秘

●孫小龍(如皋市第一中學(xué)江蘇如皋226500)

看似崎嶇最尋常成如艱辛卻容易
——數(shù)列中一類不定方程通解探秘

●孫小龍(如皋市第一中學(xué)江蘇如皋226500)

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

例1各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，設(shè)Sn= a1+a2+…+an，，且(2－ Sn)(1+Tn)=2，n∈N*.

1)設(shè)bn=2－Sn，證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;

(2014年江蘇省南通市三模試題第20題)

1)略.

由cm+cr=2ck，得

①當(dāng)m≥2時(shí)，若k－m≥2，則

此時(shí)式(1)不成立，故k－m=1，即k=m+1.令r= m+1+i(其中i∈N*)，則

因此r=2i+1，即存在滿足題設(shè)的數(shù)組{(2i+1－i－1，2i+1－i，2i+1)}(i∈N*).

②當(dāng)m=1時(shí)，若k=2，則r不存在;若k=3，則r=4;若k≥4，則，式(1)不成立.

綜上所述，所求集合為{(1，3，4)，(2i+1－i－1，2i+1－i，2i+1)}(其中i∈N*).

學(xué)生普遍反映:第2)小題較難，方程中含有3個(gè)字母，具有很多的不確定性，沒(méi)有明確的思路和化簡(jiǎn)方向，無(wú)從下手，只能選擇放棄.甚至有些教師評(píng)講時(shí)也覺(jué)得無(wú)從下手，認(rèn)為參考答案看得懂卻想不到，尤其是與平時(shí)同類試題的解題方法有很大不同，于是也選擇了放棄.是否果真如此?讓我們從常見(jiàn)的同類試題的解題方法中來(lái)分析、探秘、追尋答案.

2 舊題反思

例2設(shè)m，n，p∈N*，m＜n＜p，an=2n，問(wèn):數(shù)列{an}中是否存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列?如果存在，求出這3項(xiàng);如果不存在，說(shuō)明理由.

解假設(shè)存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，可得

等式2邊同除以2m可得

因?yàn)閚+1－m∈N，p－m∈N*，所以2n+1－m為偶數(shù)，而1+2p－m為奇數(shù)，式(2)不成立，故不存在3項(xiàng)am，an，ap成等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)本題是數(shù)列中不定方程求解的典型試題.上述解法是解決此題最常用的方法，也是學(xué)生和教師解題時(shí)的首選方法.這種方法是根據(jù)題中數(shù)字特點(diǎn)加以巧妙判斷，但局限性較大，數(shù)字稍作變動(dòng)，就行不通了.因此，此種方法雖妙，但不是通性通法，無(wú)法進(jìn)行推廣與平移.筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)此題的解法有很多，大同小異，但有一種解法與眾不同.

另解假設(shè)存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，可得

由于p＞n，即p≥n+1，從而2p≥2n+1，又2m＞0，得

因此式(3)不成立，故不存在3項(xiàng)am，an，ap成等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)“另解”根據(jù)2個(gè)不等的正整數(shù)之間至少相差1的特點(diǎn)，利用等式右邊較大的一項(xiàng)，對(duì)等式2邊的大小作了比較.這種方法思路清晰，層次分明.是否具有一般性?可否推廣?能否合理遷移?下面讓我們用試題來(lái)檢驗(yàn).

3 牛刀小試

例3設(shè)m，n，p∈N*，m＜n＜p，，問(wèn):數(shù)列{an}中是否存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列?如果存在，求出這3項(xiàng);如果不存在，說(shuō)明理由.

解假設(shè)存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，可得

因?yàn)閙＜n，即m≤n－1，所以

從而式(4)不成立，故不存在3項(xiàng)am，an，ap成等差數(shù)列.

例4設(shè)m，n，p∈N*，m＜n＜p，，問(wèn):數(shù)列{an}中是否存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列?如果存在，求出這3項(xiàng);如果不存在，說(shuō)明理由.

解假設(shè)存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，可得2an=am+ap，即

從而式(5)式不成立，即不存在3項(xiàng)am，an，ap成等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)例3、例4中運(yùn)用上述方法能夠快速準(zhǔn)確地突破難點(diǎn)、解決問(wèn)題，進(jìn)一步說(shuō)明例2中的“另解”具有推廣價(jià)值，方法具有一般性.

4 提煉完善

例5設(shè)m，n，p∈N*，m＜n＜p，，問(wèn):數(shù)列{an}中是否存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列?如果存在，求出這3項(xiàng);如果不存在，說(shuō)明理由.

解假設(shè)存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，可得

由于m＜n，即m≤n－1.

1)若m≤n－2，則

故式(6)不成立;

2)若m=n－1，則式(6)可化為

可知此式無(wú)解.

綜上所述，不存在3項(xiàng)am，an，ap成等差數(shù)列.

例6設(shè)m，n，p∈N*，m＜n＜p，，問(wèn):數(shù)列{an}中是否存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列?如果存在，求出這3項(xiàng);如果不存在，說(shuō)明理由.

解假設(shè)存在3項(xiàng)am，an，ap，使數(shù)列am，an，ap是等差數(shù)列，可得

從而式(7)不成立.

綜上所述，存在3項(xiàng)a1，a2，a3成等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)1)若利用2個(gè)不相等的正整數(shù)之間至少相差1不能解決問(wèn)題，則可將2個(gè)不等的正整數(shù)之間的差合理擴(kuò)大，直至等式不成立，從而使等式成立的2個(gè)不等的正整數(shù)之差只有有限種可能，再一一列舉解決.

2)若利用2個(gè)不相等的正整數(shù)之間至少相差1解決問(wèn)題時(shí)，受到其中一個(gè)字母范圍的影響，則可將此字母的范圍合理擴(kuò)大，直至等式不成立，從而使等式成立的該字母的取值只有有限種可能，再一一列舉解決.

5 考題再現(xiàn)

有了上面解題方法的提煉完善，筆者對(duì)本文例1第2)小題重新解答如下:

解2)由第1)小題知

由cm+cr=2ck可得

②若m=k－1，等式(8)可化為

由于r＞k，令r=k+i(其中i∈N+)，代入式(9)可得k=2i+1－i，從而r=2i+1，m=2i+1－i－1，故存在滿足題意的數(shù)組{(2i+1－i－1，2i+1－i，2i+1)}(其中i∈N+).

綜上所述，所求集合為{(1，3，4)，(2i+1－i－1，2i+1－i，2i+1)}(其中i∈N*).

點(diǎn)評(píng)再次對(duì)照可以發(fā)現(xiàn)，參考答案所用的方法其實(shí)與上面提煉完善的通性通法是一致的，只不過(guò)處理的手段不同而已.真是“看似崎嶇最尋常，成如艱辛卻容易”.

6 感悟至深

“通性通法”是解決某類問(wèn)題的基本方法，具有普遍的指導(dǎo)意義，能揭示一類問(wèn)題本質(zhì)，反映其內(nèi)在聯(lián)系，能夠在一類問(wèn)題中進(jìn)行遷移與推廣.教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中要仔細(xì)分辨，淡化抓住題目“個(gè)性”特質(zhì)的專用方法，要盡量挖掘解決問(wèn)題最本質(zhì)、最基本的方法，即要提倡和重視“通性通法”，這樣也易于消除多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼心理，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.如果主次顛倒，那么學(xué)生看到題目時(shí)，首先考慮的不是通性通法，解題一旦遇阻，就毫無(wú)章法，甚至無(wú)從下手，不能從容得分.從近幾年數(shù)學(xué)高考試題中可以看出，高考重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和通性通法的考查，最大程度地遏制了特殊技巧生存的空間，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.