2014年安徽省中考壓軸題的解法探究、思考、追尋與推廣

●韓敬 唐家周 謝宗彬(定遠縣第一初級中學安徽定遠233200)

2014年安徽省中考壓軸題的解法探究、思考、追尋與推廣

●韓敬 唐家周 謝宗彬(定遠縣第一初級中學安徽定遠233200)

中考試題對教學具有導向性，研究中考試題對教學有著重要的指導意義，多角度對中考試卷壓軸題的研究，能挖掘其內(nèi)涵，追尋命題者的足跡，既有意義，也有價值，為今后的教學指明方向.

1 試題呈現(xiàn)與解析

題目如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上一動點，過點P作PM∥AB交AF于點M，作PN∥CD交DE于點N.

1)①求∠MPN;②求證:PM+PN=3a.

2)如圖2，點O是AD的中點，聯(lián)結OM，ON，求證:OM=ON.

3)如圖3，點O是AD的中點，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形?并說明理由.

(2014年安徽省數(shù)學中考試題第23題)

圖1

圖2

圖3

分析1)①易知∠MPN=180°－∠BPM－∠NPC=180°－60°－60°=60°.

②聯(lián)結BE交MP于點H(如圖1).在正六邊形ABCDEF中，因為PN∥CD，又BE∥CD∥AF，所以BE∥PN∥AF.又因為PM∥AB，所以四邊形AMHB，HENP均為平行四邊形，且△BPH是等邊三角形，從而

于是PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE= AB+BE=a+2a=3a.

圖4

圖5

圖6

點評此問第①小題主要考查正多邊形相關知識、平行線的性質、平角定義等基本知識點;第②小題實際上考查了等腰梯形的相關知識.解決梯形的基本方法有作高線構成雙直角三角形與矩形(如圖4)、作腰平行線構成平行四邊形與三角形(如圖5)、延長2條腰構造三角形(如圖6).當識別出等腰梯形時，自然會想到這些解法，此問尊重了學生的個性，真正把“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的理念融入考題之中.

2)解法1如圖2，聯(lián)結OE，因為PC=DN，所以BP=EN，又BP=AM，得AM=EN.因為∠MAO=∠NEO=60°，OA=OE，可得△OMA≌△ONE，所以OM=ON.

解法2如圖7，因為正六邊形是軸對稱圖形，且對稱軸是過正六邊形中心與邊垂直的直線，所以可過點O作AB的垂線OG，與AB交于點G，可知OG是AB的中垂線.易知四邊形ABPM是等腰梯形，從而OG也是PM的中垂線，可得OM=OP，同理可得ON=OP，故OM=ON.

圖7

點評此問考查的是全等模型思想.所證結論已暗示我們可以從三角形全等角度來考慮，嘗試找OM，ON這2條線段所在的2個三角形全等，聯(lián)結OE或OF都能構造出全等三角形，這是第一種方法.除此之外，還可以考慮用垂直平分線定理來證，于是便有了文中的解法2.“求出解答并繼續(xù)前進”(舍費爾德語)，從這一解法可知點P，M，N在以O為圓心的圓上，由圓周角定理得∠MON= 2∠MPN=120°.從圓的角度來考慮，輕松突破解決第3)小題中所需的“∠MON=120°”這一關鍵角度.新課標修訂中突出強調了數(shù)學抽象的思想、推理的思想、模型的思想這3種基本思想，此問是全等模型思想的運用，體現(xiàn)了四基之“基本思想”.

3)解法1如圖3，聯(lián)結OE，由第2)小題得△OMA≌△ONE，于是∠MOA=∠EON，易知EF∥AO，且EF=AO(正六邊形的邊長等于半徑)，故四邊形AOEF是平行四邊形，從而

解法2聯(lián)結OE，OP(如圖8)，由第2)小題知OM=ON= OP，可知點P，M，N在以O為圓心的同一圓上，從而

∠MON=2∠MPN=120°，下同解法1(略).

圖8

點評此問考查了平行四邊形、三角形全等、等邊三角形、菱形等相關知識，突出考查新課標中倡導的“猜想與驗證”能力.此問難度大，拉開了學生的檔次，從抽樣統(tǒng)計的結果來看，這一問得分率極低，達到了選拔的目的.

此問難在哪里?從解法1可以發(fā)現(xiàn):難在“∠MON=120°”的確定，學生完全能猜出是菱形，但不知道如何驗證.這里可作如下思考:假如四邊形OMGN是菱形，就有OM=MG=GN=ON，將動點P移至點B位置時，可知點M與點A重合、點N與點E重合，由正六邊形半徑與邊長相等，可知OM(OA)=GN=EF，從而點G與點F重合，此時易知AOEF是平行四邊形，而∠F=120°，根據(jù)平行四邊形對角相等，可得∠MON=120°，關鍵角度突破，問題得證.該思路告訴我們:在遇到動點問題時，將動點移至特殊位置，往往就能找到解題路徑.這就是波利亞《怎樣解題》中第2步(擬定計劃)環(huán)節(jié)里所說的“先解決一個特例試試”.也就是說學生解答不好或無從下手的原因是缺少解答這類問題的方法與經(jīng)驗.解法2從圓的角度來思考，“∠MON=120°”來得雖容易，但它依賴于第2)小題中解法2的反思“成果”，沒有該“成果”，這種解法就難以出現(xiàn).這一問將幾何直觀與猜想、驗證進行了很好的融合，是一大亮點.

2 思考與追尋

著名的教學教育家波利亞曾形象地指出:“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”我們再來探索在第2)小題的條件下，當點P在BC上時，△AOM與△DON面積之間有何關系?五邊形MONEF面積是變還是不變?

如圖9，聯(lián)結OE，OF，則

由第2)小題的解法知

圖9

由此得結論:點P在運動過程中，△AOM與△DON面積之和總等于原正六邊形面積的，五邊形MONEF的面積總等于原正六邊形面積的也就說，△AOM與△DON面積之和、五邊形MONEF的面積都是定值.

由第3)小題的解法知∠MON=120°，結合第2)小題的結論OM=ON，易構造出如圖10所示的一個模型，也就是構造一個與正六邊形ABCDEF全等的正六邊形A'B'C'D'E'O，使它繞正六邊形ABCDEF的中心O旋轉，這樣題中的由點P的運動而帶動的點M、點N運動就可以看成正六邊形A'B'C'D'E'O繞點O旋轉的特例.顯然，此時OM= ON始終不變，五邊形MONEF的面積也不變.

當構造出這樣的模型時，容易讓我們聯(lián)想到常見的一道題:如圖11所示，已知正方形ABCD的對角線交于點O，O是正方形A'B'C'O的1個頂點，2個正方形的邊長都為a(可變量).若正方形A'B'C'O繞點O任意轉動.1)求證:OE=OF;2)試求重疊部分OEBF的面積.

(結論:OE=OF且重疊部分OEBF的面積總等于正方形ABCD面積的.)

圖10

圖11

顯然，從形式上來探索，就能推廣到一般.即有2個相似正n邊形，若較大的正n邊形頂點置于較小的1個正n邊形的中心，繞其中心旋轉，那么重疊部分的面積始終不變.

探究至此，筆者大膽追尋命題者的足跡:這道大家熟悉的正方形問題也許就是這道壓軸題的“母題”.不管筆者的猜測正確與否，都將啟示我們要重視對試題的拓展教學.

圖12

由上面的經(jīng)驗，還可編制類似的模擬試題，如:

如圖12，已知正八邊形ABCDEFGH與正八邊形A'B'C'D'E'F'G'O，O是正八邊形ABCDEFGH的中心，把正八邊形A'B'C'D'E'F'G'O繞點O任意轉動，那么重疊部分(陰影部分)的面積與正八邊形ABCDEFGH的面積有何關系?說明你的理由.

(結論:重疊部分的面積總等于正八邊形ABCDEFGH面積的.)

到這里可發(fā)現(xiàn)，只要是相似的2個正2n邊形，結論都成立，于是推廣到一般，即:

2個相似的正2n邊形，若較大的正2n邊形頂點置于較小的正2n邊形的中心，繞其中心旋轉，那么重疊部分的面積始終不變，其重疊部分的面積總等于較小正2n邊形面積的(其中n≥2).

3 教學啟示

3.1 以課本為本，重視數(shù)學思想方法的歸納、總結

古希臘哲學家亞里士多德就主張，教師不應直接地把“思想成衣”交給學生，而是需要引導他們自己學會“思想服裝”的裁剪.在解題中，我們會遇到很多“相似”問題，尤其是幾何圖形類問題，一線教師常常會說，這一道與那一道相似，之前也講過的，于是反問學生:你們怎么又不會了呢?造成學生做不好同類問題的根本原因就是缺少對同類問題的反思、總結.因此，在教學中，要以教材為本，引導學生去思考，幫助學生反思、總結，培養(yǎng)學生良好的反思習慣;教會學生如何去總結，讓學生在探索與反思中來真正獲得經(jīng)驗，獲得思想方法.如第2)小題，如果學生掌握了證明2條線段相等的常用思想方法:直接法與構造法(即證2條線相等，當不能直接證明時，可構造全等形或中垂線)，那么問題迅速得解.

3.2 注重模型化教學，提高解題能力

羅增儒教授在《數(shù)學解題學引論》中指出:“學習數(shù)學的過程中，所積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工，會得出有長久保存或基本重要性的典型結構與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來.當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決.”對于幾何圖形類問題，這個模式實際上就是基本形，當學生問到圖形類問題時，教師高瞻遠矚，一看便知，因為教師的基本形識別意識已經(jīng)確立了.而學生在解較常見的圖形類問題時，為什么不能識別出基本形?筆者認為，最根本原因是學生沒有指向性的意識去記憶基本形.最初學生可能想到這個圖形在哪里見過，但因沒有經(jīng)過提煉，很難在短時間內(nèi)回憶起，也許學生在多次反復練習中會悟出其中的基本形，如果這樣，學生仍在題海中，那么教師的價值何在?作為一線老師，在平常的教學中，也應注重對典型例、習題的模式化教學，培養(yǎng)學生模式化意識，學會提煉基本形，為我所用.讓學生有意識地積累了一些基本模型，逐步養(yǎng)成由一點想一類、悟一片的思維習慣.這樣做既能把學生從題海中解放出來，也能提高學生解決問題的能力.

［1］鄭毓信.《數(shù)學課程標準(2011)》的“另類解讀”［J］.數(shù)學教育學報，2013(1):1-7.

［2］韓敬.由一道中考試題的多證引發(fā)的結論及應用［J］.中國數(shù)學教育，2014(4):38-41.