轉化的魅力

●何衛華 陳碧文(鄞州區正始中學浙江寧波315100)

轉化的魅力

●何衛華 陳碧文(鄞州區正始中學浙江寧波315100)

引例(文獻［1］中例題)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c圖像過點(－1，0)，問是否存在常數a，b，c，使不等式對一切x∈R都成立?

文獻［1］中指出解題教學不能只展示好的解法，也要介紹自己備課時一些失敗的思維痕跡，更要展示學生的想法，追求解法的自然.文獻［1］中也認為例題解法中令x=1不易想到，筆者針對這一問題談些自己的看法.

圖1

上述問題通過轉化思想，從代數角度得到f(1)=1很自然，從幾何角度得到巧解.可見轉化思想無處不在.接下來通過幾個例子讓我們一起來看看轉化在解題中的應用.

1 基于對數學本質理解的轉化

例1已知t為常數，函數y=|x2－2x－t|在區間［0，3］上的最大值為2，則t=______.

(2008年浙江省數學高考理科試題)

解令f(x)=x2－2x，x∈［0，3］，其值域是［－1，3］.問題轉化為在數軸上尋找一個數t，使得它與［－1，3］中的任意一個數的距離不超過2.易得t=1.

這樣的處理將原本的含絕對值函數的最值問題轉化為絕對值的幾何意義，體現了降維思想，避免了分類討論.

2 基于對數學方法深刻理解的轉化

例2求數列{n2·2n}的前n項和.

這里Tn求和就是我們熟悉的“等差乘等比型”數列求和(解略).

“錯位相減法”的本質是化歸.例2利用“錯位”和“相減”產生有規律(通常為等比或常數數列)的n－1項.有人認為“錯位相減法”除了推導等比數列前n項和公式以及用它來求解“等差乘等比型”數列前n項和外別無它用.例2雖不是“等差乘等比型”，但這里用“錯位相減法”卻將其化歸為“等差乘等比型”，這樣的處理是理解了“錯位相減法”的本質的.

著名的數學家，莫斯科大學教授雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表“什么叫解題”的演講中提出:“解題就是把要解的題轉化為已經解過的題”.數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程.

3 基于對一類命題方法探究的轉化

例3拋物線C的頂點是(0，0)，焦點為F(0，1).

1)求拋物線C的方程;

2)過點F的直線交拋物線C于點A，B，若直線AO，BO分別交l:y=x－2于點M，N，求|MN|的最小值.

(2013年浙江省數學高考文科試題)

我們先來看一個引例:拋物線x2=2py(其中p＞0)，坐標原點記為O，過焦點的直線與拋物線交于點A，B，求證:

簡證設A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知

設點C(x1，2y1)，D(x2，2y2)，則OC⊥OD，即△OCD是直角三角形.構造壓縮變換:則在坐標系O'x'y'中，直線y=x－2變換成2x'－y'－4=0.取線段CD的中點E，欲使線段長|CD|取得最小值，只需中線長|OE|取得最小值，此時只需OE⊥CD即可，即

這樣的處理將一個較為復雜的問題轉化為直角三角形的中線最短問題，亦即點到直線距離垂線段最短這么一個簡單的事實.簡單美是數學美的一種，該題解答的探求實質上是對數學美的追求.

4 基于對數學試題運算簡化的轉化

例4已知集合A={y|y=－2x，x∈［2，3］}，B={x|x2+3x－a2－3a＞0}，

1)當a=4時，求A∩B;

2)若A?B，求實數a的取值范圍.

分析1)略.

2)一般解法是

接下去就是利用a和－a－3的大小和子集關系分類討論列出不等式組求解，可得－4＜a＜1.

事實上，第2)小題可以轉化成對任意x∈A(其中A=［－8，－4］)，x2+3x－a2－3a＞0恒成立.進一步轉化成f(x)=x2+3x－a2－3a在x∈［－8，－4］的最小值f(x)min＞0，易得－4＜a＜1.

這樣的處理體現了不等式、函數、方程之間的轉化，避免了討論，簡化了運算.

結束語轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練學生自覺的轉化意識，這樣將有利于強化解決數學問題的應變能力，提高思維能力和技能、技巧.每當我們思考一個問題時，要考慮該問題是否可以繼續轉化，轉化成熟悉的、簡單的或已經解決的問題.華羅庚先生也曾講過，復雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.這里講的“退”，實際上就是轉化思想.

課堂是教師培養學生的主要陣地.學生在課堂上要有所得，主要的途徑不是告知，而是學生通過自己的主動參與，自主探索，從而達到對知識的掌握，思想方法的領悟.在數學的天地里，重要的不是知道什么，而是我們是怎么知道的，而這個怎么知道的過程正是課堂中最重要的東西——生成.也就是說，轉化能力的培養一定要有學生的主體參與.

轉化思想的形成是一個較漫長的、螺旋上升的過程.這就需要教師在上課時將轉化的意識貫穿于高中整個教學過程，站在系統的高度，引導學生用聯系的觀點看問題.轉化思想也是一個人學習、工作所必須的一種能力，這就需要教師將轉化能力的培養滲透到平時教學的點點滴滴之中.用各種不同的知識作為載體培養學生轉化的能力，通過量的積累促使學生達到質的變化，真正體現數學培養人的意義和價值.

［1］王峰.解題教學應是“想法”展示的教學［J］.中學數學研究，2014(1):封二.

［2］何衛華.還數學以本質的教學——以等比數列前n項和為例［J］.中學數學月刊，2014(6):42-45.

［3］何衛華，陳碧文.定義解題新說［J］.上海中學數學，2014(5):17-20.