淺議教師如何進行類比教學的研究

張小剛

【摘 要】類比思想是中學數學教學中一種較為常見的數學思想，類比教學恰成為中學數學教學常常使用的一種教學手段。本文以圓和橢圓的類比研究為例，談一談利用類比思想挖掘數學教學的研究.

【關鍵詞】類比思想;數學;圓;橢圓;類比教學

數學思想一直是中學數學教學的魁寶，是數學教學三重境界的最高境界。從新課程實施更多的自主學習、積極建構的理念來說，數學思想成為指導學生進一步前進的階梯.筆者認為，數學思想有不同的種類區分，對于學生而言比較重要的思想如數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想等在初中后期教學階段已經開始積極滲透，這些對于學生解決數學問題有著較為重要的作用，可以稱之為知識型思想方法。

另一方面來說，數學思想方法還有下面這些，如特殊與一般、具體與抽象、轉化與化歸、類比等等，這些思想方法明顯比上述知識型的思想方法來得更為高端。為什么這么說？筆者以為，知識型的思想方法固然重要，但其依舊只解決了就題論題的層面，無法給予學生更多的學習能力上的提高，而特殊與一般、具體與抽象、轉化與化歸、類比等等思想方法卻在更高的層面引領學生進行思維的開發，比如：從特殊到一般的思想可以幫助學生認識抽象問題的具體解決，可以采用先嘗試特殊進而總結歸納一般的探索之路;類比思想可以用來將未知范疇內的問題通過已經所掌握知識比較解決，這是一種思想、意識形態上的提高.因此，本文將從類比思想的視角去審視教學的一些探索，以圓與橢圓的類比進行嘗試，與大家交流。

1.圓和橢圓類比伸縮的認識

眾所周知橢圓 + =1（a>b>0）可以看作是圓x2+y2=a2在縱向均勻壓縮為原來的 倍，橫向不變得到的——這就是“縱向伸縮變換”。（本文研究的橢圓均為焦點在x軸，焦點在y軸的類似）記：已知圓上點P（x，y）變換成P′（x′，y′），縱向變換為f：x=x′y= y′，顯然這是一個一一映射（可逆的），且由于P，P′橫坐標相等，因此PP′連線必垂直x軸。同理：有橫向伸縮變換。

2.圓和橢圓類比伸縮的性質

性質1：f將直線變換為直線，且變換后直線斜率為原來直線斜率的 倍。

簡證：設原直線斜為y=kx+m，經過變換后直線為 y′=kx′+m，即斜率k′= k。

說明：由此可知，變換前后兩直線平行性保持不變。

性質2：f將分線段AB為定比λ的點P變換成分線段A′B′為同一分比的點P′。

說明：由定比分點公式可知證明易，不贅述.此性質說明變換前后同一直線上的點分線段所成的比是不會改變的。

性質3：一個面積為的三角形經變換后的三角形面積S′= S。

簡證：設△A1A2A3三個頂點坐標分別為Ai（xi，yi），則xi=xi′，yi=yi′（i=1，2，3），所以：

S′= x1 ?y1 1x2 ?y2 1x3 ?y3 1= · x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= S。

說明：此性質可以推廣到多邊形的面積，即變換前后兩個多邊形面積之比為 = 。

3.圓和橢圓類比伸縮的運用

例1：已知橢圓 + =1（a>b>0），A，B分別為橢圓左右頂點，P為橢圓上任意異于A，B的點.求證：KAP·KBP是定值。

圖1

證明：把縱坐標變換為原來的 倍，則橢圓變成半徑為a的圓，如圖1，已知圓中KAP·KBP=-1，由性質1得：kAP·kBP= KAP· KBP=- 。（本性質可以再橢圓中進行證明，但是運算量比通過伸縮變換證明稍顯復雜一些。）

例2：已知橢圓 + =1（a>b>0），P為橢圓上任意異于橢圓頂點的點，過P作傾斜角互補的兩直線PA，PB交橢圓于A，B兩點，求證：只要P點給定，則kAB為定值。

證明：把縱坐標變換為原來的 倍，則橢圓變成半徑為a的圓，如圖2，經過同樣的伸縮變換，圓中

圖2

兩直線斜率KPA+KPB=0，在圓中作P關于x軸對稱點D（恰在圓O上），則∠APD=∠BPD，故 = ，連接AB，OD，易知OD⊥AB，顯然KAB=- ，只要P點給定，即可知KAB為定值，由性質1，橢圓中kAB= KAB為定值。

注： 高三復習卷中時常出現為定點，求kAB為定值的試題，筆者將試題改編為只要P點坐標可知的任意點，均可求證kAB為定值.可以想象，任意的點P代數計算較繁瑣，利用橢圓和圓的伸縮變換達到了簡化計算的效果。

例3：點P（x0，y0）在橢圓 + =1（a>b>0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ（0<β< ），直線l2與直線l1： + =1垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為α，直線l2的傾斜角為γ。

求證：點是橢圓 + =1與直線l1的唯一交點。（安徽高考數學09年理科20）

分析：問題的實質就是證明直線l1是橢圓在點P的切線方程。由過圓x2+y2=a2上一點（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=a2，可知利用伸縮變換得到直線l1： + =1即為過點P的橢圓切線。

證明：把縱坐標變換為原來的 倍，則橢圓變成半徑為a的圓，則過圓上點Q（X0，Y0）（Q為P的一一對應點）的切線方程為：X0x+Y0y=a2，又伸縮變換f：X=xY= y，代入得x0x+ y0 y=a2，整理得： + =1即為直線l1的方程.因此，l1就是橢圓在點P的切線方程。證畢。

例4 求橢圓 + =1（a>b>0）內接n邊形面積的最大值.

解析：把縱坐標變換為原來的 倍，則橢圓變成半徑為a的圓，如圖3，可知在圓中：

圖3

記∠AiOAi+1=θ（1≤i≤n-1），∠AnOA1=θn，且 θi=2π，S=SA A …A = a2（ sinθi）…（*），因為f（θ）=sinθ在（0，π）上為凸函數，由琴聲不等式（*）≤ a2（n·sin ）= a2·sin （當且僅當θ1=θ2=…θn= 等號成立），由性質3，橢圓中內接n邊形面積S′= ·S≤ ·sin ，即為橢圓中內接n邊形面積最大值。

4.類比教學探索的思考

上述運用類比性質進行的圓和橢圓問題的探索，是筆者教學中一些數學問題積累的總結。通過研究，筆者發現橢圓是圓的更為一般化的形態和情形。用一個形象的比喻來說，對于圓的研究是最基本、最為對稱的圖形深入思考，猶如三角函數中最基本的函數模型，那么類比研究經過伸縮變換的三角函數模型恰如橢圓般的圖形，這種變換關系存在于數學知識的很多知識之中。

本文所闡述的是圓和橢圓的類比伸縮教學研究，其實從更高的角度而言，筆者思考了一個問題：從圓錐曲線第二定義的角度來說，橢圓、雙曲線、拋物線本質是一個統一體，只不過是其到定點的距離與到定直線距離比值不同的曲線形態，那么圓既然可以類比到橢圓，那么圓應該也可以突破更高的限制（諸如曲線不需要封閉之類特性），類比得到相對應的雙曲線、拋物線中去，得到相應的數學性質和更高的研究突破能力，值得有興趣的教師做進一步的思考。

通過類比教學研究，筆者也有幾點不成熟的思考與大家交流：

（1）上述幾個例題，有少數來自學生的提出和探索，筆者覺得學生對于感興趣的數學問題研究興趣和熱情遠遠在教師之上。教師的作用更在于進行良好的引導，給予這樣的學生更寬松的學習環境，既提高了學生學習的興趣，也有助于學生研究問題能力的提高。

（2）意識類的思想方法教學要更注重在教學中的滲透，尤其是特殊與一般、類比思想、轉化與化歸思想等等。這些思想看似無形， 卻每時每刻出現在學生待解決的數學問題中，通過引導學生利用學過的指數類比解決未知范疇內的知識，這正是努力培養學生自主探索和積極建構的有效途徑，而且從一定程度上對于教師的專業化水平提高有較為明顯的幫助。

【參考文獻】

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[2]張琴竽.活用伸縮變換巧解橢圓問題[J].中國數學教育（高中版），2009.10

[3]劉瑞美.對2009年高考中一道圓錐曲線問題的探究[J].中學數學雜志（高中版），2009.6

（作者單位：江蘇省泰興中學）