邊界控制系統(tǒng)的干擾解耦

李 凱， 欒小麗， 劉 飛

(江南大學(xué)自動化研究所，江蘇無錫214000)

實(shí)際工業(yè)過程中，存在很多控制作用加在控制對象邊界上的無窮維系統(tǒng)。如熱傳導(dǎo)過程和橡膠工業(yè)中輪胎硫化的過程，熱量是從邊界傳遞到內(nèi)部的。1968 年，F(xiàn)attorini［1］首次提出邊界控制系統(tǒng)概念，此后，邊界控制系統(tǒng)被人們廣泛關(guān)注。Glowlnski R［2］討論了波方程和熱方程在邊界控制下的能控性問題，給出邊界控制下系統(tǒng)精確能控和近似可控問題的解;Doubova A等［3］針對邊界控制下非線性熱方程能控性問題，給出了系統(tǒng)能控的充分條件。進(jìn)而，Seidman T I［4］針對橢圓型方程邊界反饋條件下系統(tǒng)可鎮(zhèn)定問題進(jìn)行了研究，給出解指數(shù)趨于零的代數(shù)條件。最近，Mohamed B G［5］研究無窮階時滯雙曲線型系統(tǒng)的邊界控制問題，給出系統(tǒng)的最優(yōu)控制的充要條件;Deutscher J［6］給出了線性邊界控制系統(tǒng)的有限維對偶狀態(tài)反饋律。

已有的邊界控制系統(tǒng)研究成果，從線性到非線性，從系統(tǒng)分析到控制器設(shè)計，主要集中在能控性、最優(yōu)控制、反饋鎮(zhèn)定等方面，均未考慮邊界控制系統(tǒng)的干擾解耦問題。然而，干擾解耦在控制系統(tǒng)分析與設(shè)計中占有很重要的位置。文獻(xiàn)［7-10］給出了解決一般線性和非線性系統(tǒng)的干擾解耦問題的方法。

文獻(xiàn)［11-13］針對無窮維系統(tǒng)進(jìn)行干擾解耦問題的研究。目前，對于邊界控制系統(tǒng)控制問題，通常將偏微分方程改成狀態(tài)方程。但是，得到的狀態(tài)方程中控制算子是無界的［14］。然而，在干擾解耦問題研究中，無界控制算子會導(dǎo)致輸出算子的最大子空間不存在［15］，難以給出系統(tǒng)可干擾解耦的充分條件;此外，在無窮維系統(tǒng)中計算子空間需要嚴(yán)格的假設(shè)條件，且相對于在有限維系統(tǒng)中計算子空間，計算過程復(fù)雜繁瑣［10，15-17］。

針對上述問題，文中基于有界控制算子轉(zhuǎn)換技術(shù)［18］和希爾伯特空間射影法，對邊界控制系統(tǒng)進(jìn)行干擾解耦研究。先利用有界控制算子轉(zhuǎn)換技術(shù)將邊界控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成等價有界系統(tǒng)，再應(yīng)用希爾伯特空間射影法對等價有界系統(tǒng)進(jìn)行處理，將邊界控制系統(tǒng)的干擾解耦轉(zhuǎn)化為有限維等價有界系統(tǒng)的干擾解耦問題。基于幾何子空間理論［19］，推導(dǎo)出有限維等價有界系統(tǒng)可干擾解耦的充分條件。進(jìn)一步證明，若有限維等價有界系統(tǒng)可干擾解耦，則邊界控制系統(tǒng)也可干擾解耦。

1 有界算子轉(zhuǎn)換

文中使用的符號說明如下:

D(A)為算子A的定義域;L(X，Y)為從線性空間X到線性空間Y的線性有界算子空間;⊕為直和;T:X→Y為線性映射;‖‖表示范數(shù);Im E為算子E的象空間;Ker D為算子 D零空間;〈·，·〉為內(nèi)積。

考慮如下邊界控制系統(tǒng)［1］

其中，a在Hilbert空間X中是線性閉算子;τ為一個線性邊界算子，τ:X→Y1，其定義域D(a)?D(τ)，y∈Y，u∈U，x0∈X，q∈Q，a:X→X，E∈L(Q，X)，G∈L(U，Y1)，D:X→Y;X，Y，Y1，Q為可分實(shí)Hilbert空間，U∈Rm。

進(jìn)一步地，定義算子A為空間X中強(qiáng)連續(xù)C0半群無窮小生成元，A的定義域?yàn)?/p>

且在定義域D(A)中，滿足Ax=ax。

注1 a為偏微分算子，τ為微分算子。在D(a)范數(shù)下，τ/D(a)是連續(xù)的。

邊界控制系統(tǒng)的干擾解耦問題就是當(dāng)q為干擾輸入時，設(shè)計一個反饋控制律u，使得輸出y與干擾q無關(guān)。

為對邊界控制系統(tǒng)的干擾解耦問題進(jìn)行分析，首先，對系統(tǒng)式(1)進(jìn)行有界算子轉(zhuǎn)換，進(jìn)行如下假設(shè):

1)存在有界算子B，B∈L(U，X)，u∈U，滿足Bu∈D(a)和

2)N=aB，N ∈ L(U，X)，N 是有界的。

令x=v+Bux(0)=v(0)+Bu(0)，綜合上述假設(shè)條件以及式(1)，可得方程

對式(1)和式(3)進(jìn)行增廣變換，得到邊界控制系統(tǒng)在狀態(tài)空間?X=X⊕Rm下的有界拓展形式

其中

對式(4)進(jìn)一步處理，可得

其中

注2 對于邊界控制系統(tǒng)控制問題，由于控制算子是無界的。如果將其改寫成狀態(tài)方程系統(tǒng)，進(jìn)行處理時，過程比較復(fù)雜，且難以被應(yīng)用。文中采用有界控制算子轉(zhuǎn)換技術(shù)，通過尋找有界算子對式(1)進(jìn)行增廣處理，得到一個有界拓展系統(tǒng)。綜合比較式(1)和式(5)的輸出，式(1)中輸出y=Dx，式(5)中輸出y=D(IB)x。可以明顯得到，若式(5)中系統(tǒng)輸出y=D(IB)x與干擾q無關(guān)，則式(1)中輸出y=Dx也與干擾q無關(guān)，從而說明了將式(1)的干擾解耦問題轉(zhuǎn)換為式(5)的干擾解耦問題的有效性。

2 干擾解耦分析

以有限近似方法為主要技術(shù)手段，進(jìn)一步對式(5)進(jìn)行射影處理，得到一個有限維等價有界系統(tǒng)，并推導(dǎo)出有限維等價有界系統(tǒng)可干擾解耦的充分條件;同時給出證明，當(dāng)有限維等價有界系統(tǒng)可干擾解耦，原邊界控制系統(tǒng)也可干擾解耦。

針對式(5)，采用希爾伯特空間射影法進(jìn)行近似處理。

注3 利用希爾伯特射影法對等價有界系統(tǒng)進(jìn)行近似處理，對有限維等價系統(tǒng)的干擾解耦問題進(jìn)行研究。定理1給出了有限維近似系統(tǒng)可干擾解耦的充分條件;給出定理2，結(jié)合兩個假設(shè)條件證明了有限維系統(tǒng)系可干擾解耦，等價有界系統(tǒng)也可干擾解耦，說明了希爾伯特空間射影法的有效性;給出定理3，證明了等價有界系統(tǒng)可干擾解耦，邊界控制系統(tǒng)也可干擾解耦，說明了有界算子轉(zhuǎn)換技術(shù)在文中的有效性。

3 實(shí)例

通過這個實(shí)例，給出其可干擾解耦的充分條件，驗(yàn)證了文中方法是有效的。

4 結(jié)語

文中討論了邊界控制系統(tǒng)下的干擾解耦問題，給出了邊界控制系統(tǒng)可干擾解耦的充分條件。使用有限維近似方法，轉(zhuǎn)換到在有限維系統(tǒng)中計算幾何子空間，避免了在無窮維系統(tǒng)中計算幾何子空間不存在或者計算過程很復(fù)雜等問題。有界控制算子轉(zhuǎn)換技術(shù)，是對邊界控制系統(tǒng)處理的一種特殊方法。如何得到邊界控制系統(tǒng)在含有無界控制算子的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程下干擾解耦的解，還需要進(jìn)一步研究。

［1］Fattorini H O．Boundary control systems［J］．SIAM Journal on Control and Optimization，1968，6(3):349-385．

［2］Glowlnski R．Boundary controllability problems for the waveand heat equation［J］．Lecture Notes in Control and Information Sciences，1992，178:221-237．

［3］Doubova A，F(xiàn)ernández-Cara E，González-Burgos M．On the controllability of the heat equation with nonlinear boundary fourier conditions［J］．Journal of Differential Equations，2004，196(2):385-417．

［4］Seidman T I．Boundary feedback stabilization of a parabolic equation［J］．Analysis and Optimization of Systems，1984，62:385-392．

［5］Mohamed B G．Boundary control problem of infinite order distributed hyperbolic systems involving time lags［J］．Intelligent Control and Automation，2012，3(3):211-221．

［6］Deutscher J．Finite dimensional dual state feedback control of linear boundary control systems［J］．International Journal of Control，2013，86(1):41-53．

［7］CHEN B M．Solvability conditions for the disturbance decoupling problems with static measurement feedback［J］．International Journal of Control，1997，68(1):51-60．

［8］王曉華，劉曉平．非線性廣義時變系統(tǒng)的干擾解耦［J］．自動化學(xué)報，2000，26(6):798-802．WANG Xiaohua，LIU Xiaoping．Disturbance decoupling of nonlinear generalized time-varying systems［J］．Acta Automatica Sinica，2000，26(6):798-802．(in Chinese)

［9］ZOU Runmin，Malabre M．Almost disturbance decoupling and pole placement［J］．Automatica，2009，26(11):2685-2691．

［10］ZOU Runmin，Malabre M．Solution of the almost disturbance decoupling problem by state feedback［C］//Proceedings of the 31stChinese Control Conference．Hefei:IEEE，2012:273-278．

［11］Curtain R F．Decoupling in infinite dimensional［J］．System and Control Letters，1985，5(4):249-254．

［12］Curtain R F．Disturbance decoupling by measurement feedback with stability for infinite dimensional systems［J］．International Journal of Control，1986，43(6):1723-1743．

［13］ZHOU Xiuxiang．Approximations of infinite dimensional disturbance decoupling and almost disturbance decoupling problems［J］．Mathematical Control and Related Fields，2014，4(3):381-399．

［14］Emirsjlow Z，Townley S．From PDEs with boundary control to the abstract state equation with an unbounded input operator:a tutorial［J］．European Journal of Control，2000，6(1):27-49．

［15］Zwart H J．Geometric Theory for Infinite Dimensional Systems．Lecture Notes in Control and Information Sciences［M］．Berlin:Springer-Verlag，1989．

［16］Curtain R F．Invariance concept in infinite dimensions［J］．SIAM Journal on Control and Optimization，1986，24(5):1009-1030．

［17］Zwart H J．Equivalence between open-loop and closed-loop invariance for infinite dimensional systems:a frequency domain approach［J］．SIAM Journal on Control and Optimization，1988，26(5):1175-1199．

［18］Curtain R F．On semigroup formulations of unbounded observations and control action for distributed systems［J］．Mathematical Theory of Networks and Systems，1984，58:183-193．

［19］Wonham W M．Linear Multivariable Control:A Geometric Approach［M］．New York:Springer-Verlag，1979．