基于Copula-GARCH-M的開放式基金投資組合風險分析

曹文彬， 施麗云， 胡培玲

(江南大學商學院，江蘇 無錫214122)

開放式基金是一種風險共擔、惠益共享的集合投資工具。開放式基金雖然具有分散風險、專業理財的作用，但它無法規避市場風險、流動性風險和其他風險。我國開放式基金相對于世界其他國家而言起步較晚，發展不完善，但隨著我國經濟的發展，基金業規模迅速擴大。到目前為止，基金的總份額為48 316．53億元，從絕對金額來看仍處于世界第三階梯?；饦I發展不僅需要以國民經濟發展為基礎，而且還需要以金融市場尤其是股票市場為依托。

開放式基金凈值受股票和債券價格波動的影響，因此股票和債券價格的波動將對開放式基金投資帶來嚴重的市場風險。因為金融市場中資產收益具有非正態、非對稱和厚尾的特點，所以參照傳統理論對風險進行計算一定會存在誤差。對于投資者而言，高收益、低風險的基金是最佳選擇，因此如何更加有效地衡量開放式基金的風險成為風險管理的關鍵。

目前VaR方法是在金融實務界使用最廣泛的風險管理方法，VaR值在表示風險大小時簡明直觀。VaR是指在一定持有期內，在給定的概率置信水平下，某一金融資產所面臨的潛在的最大損失。按照傳統方法計算投資組合VaR值，均以金融資產收益線性相關且服從正態分布為前提，但實際上金融資產的收益往往呈現出“尖峰厚尾”的特征，同時又存在非線性相依結構，因此在假設與實際不符的情況下，計算出的投資組合風險值存在一定的誤差。于是在投資組合風險研究中必須引入新的理論。1959 年Sklar提出了Copula函數［1］，該函數不僅可以有效、全面地捕捉多個序列之間的非線性結構，還可以將邊緣分布和相依性分開研究;同時不要求具有同樣分布形式的邊緣分布，消除了對邊緣分布和聯合分布正態性假設的依賴。但當時并未將其理論引入到金融領域，只是用于簡單描述多個隨機變量之間的非線性相依結構。直到1999年Copula理論才被Embrechs引入到金融領域［2］，進而把金融風險分析推向一個新的臺階。

2002年張堯庭［3］將Copula引入國內金融風險研究中。2003年韋艷華等［4］探討了Copula在金融領域的應用。Copula函數彌補傳統技術的不足，用以刻畫變量之間的相依性，如童中文、何建敏［5］、劉瓊芳［6］、Anne-Laure Delatte［7］陸續用 Copula 模型對不同的相依性進行研究。而且Copula函數是將多個一元分布連接起來構成聯合分布的連接函數，在估算風險值時，一維邊緣分布函數的準確刻畫也是至關重要的［8］。因為投資組合風險值大小的估算直接受一維邊緣分布函數對單項金融資產刻畫精確程度的影響，所以單個金融資產收益的描述成為眾多學者關注的焦點。金融資產收益具有波動長記憶性、持續性及尖峰厚尾等特征，現階段GARCH族模型是用以刻畫金融時間序列最常用的波動模型。吳振翔等［9］在研究Copula和GARCH兩個函數優勢的基礎上，建立了新的投資組合風險分析模型(即Copula-GARCH模型)，利用該模型對我國股票市場投資組合問題進行更精準地風險分析;Fangxia Lin［10］用Copula-AR-GARCH模型研究股票指數收益率和外匯收益率的尾部相關性;Jaghoubi Salma［11］又以Copula-GARCH模型研究了外匯市場和股票市場的相依結構;劉桂梅等［12］用其研究和分析金融股及上證地產股指數的收益率相關性問題。

盡管GARCH模型能夠有效地刻畫投資組合中單個金融資產收益邊緣分布，但對于單個金融資產收益與風險關系的描述卻顯得無能為力。資產組合的風險不僅與投資組合的風險息息相關，還與單一資產的風險密切相關。Copula函數能夠有效地刻畫投資組合的風險，但單個資產的風險則需要由邊緣分布表示，因此需要新的工具更好地刻畫單個金融資產收益的邊緣分布。GARCH-M模型中的均值等式里加入了與風險具有相同量綱的條件方差［13-15］，能夠有效衡量單個金融資產收益和風險之間的關系。所以在研究投資組合風險時，若將GARCH-M模型與 Copula理論聯合起來，建立一個新的Copula-GARCH-M模型，不僅可以描述單個金融資產的收益分布，而且能夠有效刻畫投資組合的相依性，確保風險估計更加精準。

針對投資組合風險管理，文中采用GARCH-M模型以刻畫金融資產收益的邊緣分布，結合描述金融資產間相依結構的 Copula函數，建立Copula-GARCH-M模型研究和分析投資組合風險。最后利用蒙特卡洛對投資組合的VaR值進行模擬估計，實例分析該模型對投資風險度量是否有效。

1 基于Copula-GARCH-M的風險計算

文中在利用Copula函數對多維資產投資收益與風險正確估算的前提下，對資產組合中單個金融資產收益分布進行估計?；趩蝹€金融資產投資收益與風險之間的關系，需要先采用CARCH-M模型刻畫投資組合中的邊緣分布，然后與Copula函數進行組合得出聯合分布Copula-GARCH-M模型，最后采用蒙特卡洛對VaR值模擬估計。

1．1 GARCH-M 模型

投資組合的風險采用聯合分布Copula函數度量時，每項資產收益率的邊緣分布首先要確認。大量研究表明，金融資產收益具有自相關性和異方差性。由于GARCH族模型預測的是被解釋變量的方差，資產收益自相關性和異方差性的影響可以用該模型消除。

假設投資組合中有 n個金融資產，采用GARCH(1，1)模型對資產i(i=1，2，…n)的近T期歷史數據yt(t=1，2，…T)進行建模，具體如下:

假設投資組合中有 n個金融資產，采用GARCH(1，1)-M模型對資產i(i=1，2，…n)的近T期歷史數據 yt(t=1，2，…T)進行建模，具體如下:

其中:yt為金融資產收益率;σ2t為收益率的條件異方差;隨機擾動項 μt服從正態分布 N(0，σ2t);α0，α1，β1為待估計的參數。在均值等式中，加入條件方差因素，收益率與風險之間的關系通過其系數ω衡量。如果ω＞0，則表示該金融資產的風險與收益率成正比;如果ω＜0，則表示資產風險與收益率成反比。

1．2 計算Copula-GARCH-M聯合分布函數

假設金融資產組合中存在n個資產，已有樣本收益r=(rt1，rt2，…，rtn)t=1，2，…，T，依據式(2)對GARCH-M模型中參數的估計，每項資產收益率的邊緣分布Fi(ri)i=1，2，…，n基本可以確定。由于每種資產的收益和風險的關系是不同的，而且資產之間具有非線性相關。當投資比例一定時，可以采用Copula聯合分布函數描述其間的相依結構。

多個金融資產的相關關系可以通過阿基米德Copula函數和橢圓Copula函數描述。文中采用橢圓Copula函數，其中橢圓Copula函數包括正態Copula函數和t-Copula函數。

n元正態Copula函數表達式

式中:ρ為n元正態分布中的相關系數矩陣;Φρ為相關系數為ρ的多元正態分布函數;Φ－1為一元標準正態分布函數的反函數。

令u1=F1(r1)u2=F2(r2)，…，un=Fn(rn)，計算出正態Copula下的相關系數矩陣ρ，并將其帶入式(1)可中得到正態copula的估計。

n元t-Copula函數表達式

令 u1=F1(r1)，u2=F2(r2)，…，un=Fn(rn)，計算出t-Copula下的相關系數矩陣ρ和自由度k，并將其帶入式(2)可中得到t-Copula的估計。

1．3 利用蒙特卡洛模擬VaR值

在實際應用中，一定置信水平下的金融資產損失或超額平均損失通常采用VaR描述。目前，VaR有3種不同的計算方法:方差-協方差法、歷史模擬法、蒙特卡洛模擬法。由于投資組合的VaR解析式在Copula-GARCH-M模型中不易求出，因此文中采用蒙特卡洛仿真計算。蒙特卡洛仿真是利用原始數據市場因子和資產價值的映射反復模擬，得出多個資產價值。最終通過模擬得到的分布情況，估算出一定置信水平下的VaR值。

1．3．1 正態Copula-GARCH-M模型

1)把相關系數ρ進行Cholesky分解，ρ=AAT。

2)產生n個獨立同分布的隨機向量

其中，F－1為單個金融資產的邊緣分布函數的反函數;Φ為一元標準正態分布函數。

4)假定投資組合中資產的權重

可計算出投資組合的收益值Z=wz'。

5)投資組合未來收益的1 000種模擬情形，可以通過重復以上2)～4)1 000次得到;投資組合損失的經驗分布通過模擬的情景集得到。在置信度為1－α的情況下，由P(V≤VaR)=α求出其投資組合VaR值。

1．3．2 t-Copula-GARCH-M 模型

1)把相關系數ρ進行Cholesky分解，ρ=AAT。

2)產生n個獨立同分布的隨機向量

3)令y=Ax，再產生一個與x獨立、自由度為k的卡方分布隨機變量S，令

其中，F－1為單個金融資產的邊緣分布函數的反函數;t為一元標準t分布函數。

4)假定投資組合中資產的權重 w=(w1，w2，…，wn)，可計算出投資組合的收益值Z=wz'。

5)投資組合未來收益的1 000種模擬情形，可以通過重復2)、3)、4)1 000次得到，投資組合損失的經驗分布通過模擬的情景集得到。在置信度1－α的情況下，由P(V≤VaR)=α求出其投資組合VaR值。

2 實證分析

2．1 數據的選取與處理

文中在研究華夏滬深300交易型開放式指數證券投資基金2013年年度報告的基礎上，優先選取華夏滬深300基金中具有代表性的前10名股票為考察對象。即中國平安(601318)、招商銀行(600036)、民生銀行(600016)、海通證券(600837)、興業銀行(601166)、浦發銀行(600000)、格力電器(000651)、萬科A(000002)、農業銀行(601288)、交通銀行(601328)等10支股票。2013年樣本股票所占基金資產凈值比例見表1。以此10支股票2010年9月2日至2014年3月25日785個交易日的收盤價(去除10支股票中任何一支股票不開盤的交易日)為原始數據。這些股票的日收益率是通過上述收盤價為基礎計算得出的，

其中，rt為日對數收益率;pt為每日收盤價。通過對數據的基本信息進行統計分析，得到10支股票收益率的描述性統計(見表2)。

由表2可以看出，在樣本觀察期內，投資組合收益率10支股票中有正有負。就偏度而言，左偏是中國平安、興業銀行、交通銀行這3支股票的收益率，其中興業銀行的偏度統計值大于3，這意味著興業銀行的收益存在著巨幅下跌的可能;對于偏度為正值的剩余7支股票而言，它們的收益率為呈現右偏的現象。從峰度觀察，10支股票的峰度值均大于4，說明10支股票的收益率都存在著厚尾的尾部特征。由J-B檢驗統計量可知，各支股票的J-B檢驗值遠遠大于臨界值，說明投資組合中各支股票的收益率均不服從正態分布。

表1 2013年華夏滬深300基金Top 10股票Tab．1 Top 10 stock of the 2013 Huaxia csi 300 fund

表2 股票收益序列的基本統計性質Tab．2 Basic statistical properties of the stock returns series

2．2 邊緣分布模型的參數估計

利用Eviews軟件得出中國平安收益率的自相關、偏相關系數，結果見表3。由表3可以看出，Q統計量的收尾概率在各期都不為0，表明在1%的顯著水平下，不拒絕原假設“不存在自相關性”，即樣本數據不存在相關性。當運用ARCH-LM方法檢驗序列的條件異方差性時，其檢驗統計量LM值為20，給定顯著水平0．01 時 χ2為18．48，LM ＞ χ2，說明收益的誤差序列存在條件異方差，因此股票收益率序列可以通過GARCH族模型描述。同理，可檢驗出其他9支股票收益率同樣存在著條件異方差。文中選取GARCH(1，1)-M模型對投資組合的邊緣分布進行描述。將數據代入模型，模型中的估計參數可用Eviews求出(見表4)。

表3 中國平安收益率的自相關、偏相關系數表Tab．3 Autocorrelation and partial correlation coefficients of the Ping An's yields

表4 GARCH(1，1)-M模型的參數估計Tab．4 Estimatse of the parameters in the GARCH(1，1)-M Model

由表4可以看出，當各支股票的邊緣分布利用GARCH(1，1)-M 模型描述時，GARCH(1，1)-M 模型的均值等式中加入了與風險等量綱的條件方差，明顯可以從等式系數中看出風險與收益的關系。在正常情況下，投資的收益與風險一般都是呈現出正相關性，即收益隨著的風險的增加而增加;但是在這10支股票中，有7支股票收益率的方程等式風險系數為負值，即風險越小，收益越大。說明投資該基金組合中某些單個支股票的風險與收益成反比。

以中國平安為例，通過對原收益率序列進行概率積分轉換，從而得到如圖1所示的服從(0，1)均勻分布的新數列。

圖1 Q-Q圖檢驗中國平安收益率分布數列Fig．1 Q-Q diagram test yields distribution

由圖1可以看出，新序列能夠較好地擬合(0，1)上的均勻分布，故可對變化后的新序列進行Copula函數模擬。利用此方法檢驗剩余9支股票發現，它們的收益率進行概率積分轉換后同樣能夠較好的擬合(0，1)上的均勻分布。

2．3 Copula-GARCH-M模型的參數估計

依據上一步得到的各樣本收益序列的邊緣分布，與正態Copula函數和t-Copula函數分別聯合起來，可以估量得到正態Copula函數與t-Copula函數的相關系數矩陣。根據GARCH(1，1)-M的邊緣分布聯合正態Copula函數和t-Copula函數估計得到如圖2所示的相關系數矩陣。

圖2 正態Copula-GARCH-M和t-Copula-GARCH-M函數的相關系數矩陣的估計Fig．2 Estimates of correlation matrix in normal Copula-GARCH-M and t-Copula-GARCH-M

由圖2可以看出，各支股票的相關性通過t-Copula-GARCH-M模型比正態Copula-GARCH-M模型更能直觀的體現出來。

2．4 VaR 值計算

根據表1中各股票的投資比例，假設資產持有期的置信度為(0．01，0．05，0．1)，通過估計得到的Copula-GARCH(1，1)-M模型，使用蒙特卡洛模擬技術，模擬1 000次，模擬投資組合中每支股票的收益率序列，從而計算得出10支股票的損失序列。在置信度給定的前提下，持有期內相應的投資組合的VaR值可以通過得到的投資組合損失經驗分布得出(見表5)。

表5 正態Copula-GARCH-M和t-Copula-GARCH-M模型下的VaR值估計Tab．5 VaR values under normal Copula-GARCH-M and t-Copula-GARCH-M model

由表5可以看出，t-Copula方法下計算得到的VaR值比正態Copula方法下得到的值小。這是因為通過t-Copula函數比正態Copula函數能更好地反映出這10支股票間的尾部相依性。另外，組合中各支股票極端事件相互抵消的概率隨著尾部相依程度的提高會大幅度提高，從而大大的降低了組合的風險。同時由表5可以看出，投資組合的風險可以通過t-Copula-GARCH-M模型進行有效度量。同樣以滬深300開放式基金的前10名股票作為投資組合的樣本， 對投資組合的 VaR值采用t-Copula-GARCH模型進行度量，通過比較對t-Copula-GARCH-M模型的精度進行進一步檢驗，具體結果見表6。

表6 t-Copula-GARCH和t-Copula-GARCH-M模型的VaR值Tab．6 VaR value of the t-Copula-GARCH and the t-Copula-GARCH-M model

由表6可以看出，在不同置信水平下，t-Copula-GARCH-M模型下計算出的VaR都比t-Copula-GARCH模型估計得到的VaR值小，說明投資組合風險的計算精度相對較高的模型是t-Copula-GARCH-M模型。因為，在GARCH-M模型將條件方差引入到均值方程中，使得收益與風險聯系在一起，與GARCH模型相比，GARCH-M模型刻畫金融金融資產的波動性的具有更高的擬合度。在波動性擬合優度更高的基礎上，結合t-Copula模型描述開放式基金投資組合聯合分布情況，從而估計出的VaR值更為精確，效果更好，參考價值越高。

3 結語

資產組合的風險即包括投資組合的風險也包括單一資產的風險，兩種風險分別由投資組合相依性和單個資產收益分布描述。考慮到單個金融資產收益的非對稱和厚尾性、資產收益與風險的關系以及投資組合資產間的非線性關系，單個資產收益的分布可以通過采用GARCH-M模型描述，同時結合描述多個金融資產之間相依結構的t-Copula聯合分布函數，運用蒙特卡洛模擬估計投資組合風險VaR值。從對滬深300基金風險的實證結果可以得出以下結論:當投資總額一定時，投資組合風險降低的程度與置信度成正比;通過與t-Copula-GARCH模型對比發現，t-Copula-GARCH-M模型度量風險的能力更強。通過采用GARCH-M模型來刻畫投資組合中單個資產邊緣分布的實證表明，該模型不僅能夠很好的反映金融資產與風險的關系，而且能更加有效的刻畫資產收益的尖峰厚尾的特征，因此可以將GARCH-M模型作為刻畫投資組合邊緣分布的強有力的工具。

同時必須指出，文中是運用靜態Copula函數刻畫各支股票的收益率，沒有考慮時變的因素。動態Copula函數能夠描述組合中各資產收益隨時間變化而產生不同關聯程度的變動，反映在當時政策或外在金融事件對投資組合中各股票收益關聯程度的影響下，收益的實際變動情況，而靜態copula函數卻無法及時反應外在環境的變化。在今后可以以動態Copula函數作為重點進行研究。

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