《角的度量》教學中的兩大問題及其解決辦法

劉昌銀

《角的度量》的教學，是一個公認的老大難問題。北京教育學院的劉加霞教授對《角的度量》的多次前測發現，約80%的學生存在各種擺放量角器的錯誤。這是量角的首要問題，這個問題不解決，后續的問題不可能解決。劉教授還指出：“學生理解角的度量的本質有兩方面的困難：一方面，學生看不到量角器上的‘角……另一方面，即使看到了量角器上的‘角，也不知道怎樣才能使量角器上的‘角與所測量的‘角重合。”

我對錯誤擺放量角器的學生代表作“為什么這樣擺放量角器”的個別訪談，他們都說不知道？我用阿德勒心理學中的潛意識揭示法揭示，發現原來高達80%的學生錯誤擺放量角器，是潛意識的原因，這個原因導致“學生看不到量角器上的‘角”和“不知道怎樣才能使量角器上的‘角與所測量的‘角重合”。從這里看，劉教授講的“角的度量的本質”是指用量角器上有度數的角去重合所測量的角，這種描述有利于引導學生正確擺放量角器。華應龍老師的做法就是：先用量角器上有度數的角去重合要量的角，并把它作為引導學生正確擺放量角器的整體思路。那具體的擺放方法應是“用量角器上的角的頂點（即中心點）去重合要量的角的頂點，用量角器上的0°刻度線去重合角的一條邊，用量角器上的角的終邊去重合角的另一條邊。”簡單地說，就是“三重合”，傳統說法的“兩合”，不一定是正確的擺放，有時還是錯誤的擺放，如蘇教版教材P20.6第三圖。可見，傳統的“兩合”的說法不利于學生正確擺放量角器。為了方便學生“三重合”，也有利于學生提升潛意識，很快看到量角器上的‘角，從而“使量角器上的‘角與所測量的‘角重合”，我還在量角器上面設計了可大可小的紅角，用這個紅角容易與要量的角完全重合（同時也蘊育“重合——相等”的邏輯思維），“擺放難”的問題就這樣解決了。因為學生的量角器上，這個紅角是由紅色的0°刻度線和活動邊紅線組成的，所以深圳市大勘小學的陳柏汝同學用后寫道：要是量角器“中間的東東（指活動邊紅線）拆了后，好像就不可以量角了。”這說明學生看到了紅角引導他們正確擺放量角器的重要的不可替代的作用。

下面我們來看《角的度量》教學中的第二個大問題：兩圈刻度量角器的讀度數問題。在我的課堂上，好不容易有幾個聰慧的學生學會了擺放量角器，但讀度數時，大多數都讀錯了。如往往將40°的角讀成140°，將115°的角讀成65°或者75°，或者讀成125°。我剛開始看到這些問題，感到亂雜無章，因此常常錯誤地判斷學情，導致兩節課教下來，學會量角的學生很少。因這些倒霉的課沒有錄像，無法讓大家看到真實的情景，好在我現在發現了一個與我完全一樣的片斷：量一個開口向下的55°的角，老師點一個讀65°的男生上前，老師把他的紙放在投影儀上，他把紙旋轉了幾十度，角的開口方向變成了基本向左，他擺放好了量角器，用手指著外圈的55°處，說：“我就看數字，是這個位置。”老師看他指的，問：“哪個位置？”男生又用手指55°處。老師用教鞭的一端點指著55°處，問：“多少度？”學生齊答55°。老師說：“我發現了幾個問題”，并花了約6分鐘具體講了幾個與這類錯誤（把55°的角讀成65°）無關的問題。學生一開始就用手指角的終邊是55°的位置，老師還追問：“哪個位置？”學生第二次用手指55°處，老師才最后用教鞭指著55°處，還講了延長角的邊。可見老師的判斷是，學生把角的終邊位置看錯了或者是因為要量的角的邊短了，導致該生把55°的角讀成65°。老師為什么會作出這種錯誤判斷？因為沒有掌握把55°的角讀成65°，“是從同一圈的180°讀起”這一基本規律，因而做了很多無用功，最后還是沒有解決該生的錯誤。

我有了這樣的教訓后，便開始一個一個地仔細問學生是怎么讀數的，最后終于發現了以上亂雜現象的基本規律：

1. 40°的角讀成140°，是最簡單的兩圈刻度讀混。

2. 115°的角讀成65°，是從另一圈的0°讀起。

3. 115°的角讀成75°，是從另一圈的180°讀起。

4. 115°的角讀成125°，是從同一圈的180°讀起。

我掌握了這四條基本規律后，又引導學生在紙量角器的外圈畫順時針箭頭，在內圈畫逆時針箭頭，以明確矢量的方向，以利于糾正以上四類問題，但結果還是不好。我后來才發現，用兩圈刻度的量角器，在實際教學中，還有許多派生問題：如全國賽課中的一個視頻中，量一個開口向上的45°的角，一位男生答是“45°，我讀的內圈刻度。”老師問：“為什么要讀內圈刻度？”一位女生答：“因為它是銳角。”又如量一個開口向左的45°的角，第一個學生說是45°，第二個學生說：“讀外圈刻度，因為它是從右往左啊！”這位學生顯然是把外圈刻度的方向說反了。再如，課接近尾聲量一個開口向右的角（應是一個最容易量的角）時，第一位學生說得很正確，而第二位學生說：“把角的內圈零刻度線對準量角器……”角有“內圈零刻度線”嗎？可見學生是把“角的一條邊”與“量角器的內圈零度刻度線”搞混了。正是因為兩圈刻度本身存在的以上四大類基本問題和種種派生問題，并交雜在一起，所以使兩圈刻度的讀數問題，成為一個死結。要徹底解決這個問題，必須另覓新途。

簡約教學的劉正松和劉春老師用改進成的一圈刻度的量角器實驗后，學生認為一圈刻度的量角器“一目了然”。在《遵循概念 化解難點》一文中，作者也寫道：“在關于兩個‘0刻度優缺點的討論中，有的學生認為只要一個‘0刻度就可以了，多了容易看錯。”可見，“一圈刻度”是符合學生心理的。那么，0°刻度線是在右好，還是在左好呢？心理學家研究發現，人認識左右，是以右手為標準，因為右手是優勢手。同理，人認識角，是以開口向右的角為標準，其他開口方向不同的角，都可以看成開口向右的角旋轉而成的。那怎么旋轉形成的角學生容易理解呢？數學家的研究表明，逆時針方向旋轉形成的角，是一個正角，學生容易理解它的大小。根據這兩條科學結論，當然是0°刻度線在右為好。0°刻度線在右的一圈刻度量角器中的紅角，其實是一個活動角，逆時針旋轉活動邊形成的所有角，都是正角，便于學生理解角的大小。用這樣的量角器教學，先讓學生在說明書中的量角器圖（或紙量角器）的半圓弧邊，從0°到180°畫逆時針箭頭（教學時，還可以加上師生一起從0°到180°旋轉右手臂），這些措施可以完全預防學生從180°讀起的問題。深圳市一些學校選用0°刻度線在右的一圈刻度量角器教新課，90%以上的學生都學會了量角。

責任編輯羅峰