基于蒙特卡羅方法的小衛星偏心分離動力學分析

沈曉鳳，肖余之，杜三虎，張 華

（1.上海市空間飛行器機構重點實驗室，上海 201109；2.上海宇航系統工程研究所，上海 201109；3.上海航天技術研究院 空間安全與維護總體技術研究中心，上海 201109）

0 引言

1961年蘇聯航天員手動在軌釋放了頂點偵查衛星，并成功對美國本土進行了拍攝，這是小衛星在軌分離技術的首次應用。隨著小衛星技術以及空間站的迅速發展，利用機動平臺（上面級）在軌釋放與在軌部署小衛星作為一種更經濟的方式受到青睞。由于多星釋放，必然存在偏心安裝，因此必須對小衛星偏心分離動力學進行研究。

國內對在軌分離小衛星技術進行了研究。文獻［1］考慮近地軌道攝動力影響，基于HILL方程對小衛星的分離速度進行了分析和推導；文獻［2］對采用彈簧推桿式分離機構的空間飛行器的對接分離過程進行研究，并由地面試驗結果得到較好的驗證；文獻［3］類比平移副約束的分離問題，對筒式偏心在軌分離小衛星展開動力學分析；文獻［4］對多星二次分離展開研究，對同時釋放和依次釋放各子星的影響因素進行了探討。上述研究多側重于小衛星分離過程的動力學分析，對其分離機構、分離性能的優化和可靠性分析尚未全面展開。

由于小衛星和分離平臺間安裝和連接方式的多樣性，不同的簡化模型和初始狀態對分離過程和最終精度的影響較大，有時候甚至是決定性的。研究其中的主要因素并分析其影響規律，對偏心在軌分離小衛星的研究具有重大的指導意義。本文對基于蒙特卡羅方法的小衛星偏心分離動力學進行了研究。

1 偏心在軌分離模型

設小衛星分離前安裝在釋放筒內部，底部作用分離彈簧，釋放筒偏心安裝在主平臺上，其相對主平臺的安裝位置和坐標系定義如圖1所示。小衛星上分別設置了三個上支撐和三個下支撐與釋放筒上的三根導軌配合，上下支撐內部均裝有壓緊彈簧，與導軌間的壓力可根據需要進行調節，三方向設置如圖2所示。

圖1 偏心在軌分離模型Fig.1 Eccentric sub－satellite model

圖2 三方向支撐分布Fig.2 Supporter distribution

下支撐出筒后，小衛星無外力作用，其分離姿態已確定，故定義其出筒時刻為下支撐出筒時刻。

2 分離動力學仿真

建立如圖1所示的坐標系，其中O－XYZ為軌道慣性坐標系，o1－x1y1z1為主平臺本體坐標系，o2－x2y2z2為小衛星本體坐標系。建立分離動力學模型時，采用以下假設：

a）小衛星為剛體，并將釋放筒與主平臺視為同一剛體，分離過程可考慮為兩剛體運動過程。

b）將支撐活塞與導軌兩者間的接觸關系簡化為非線性彈簧阻尼模型［5－6］。

c）分析所得的轉動角度及轉動角速度均為相對分離時刻的瞬時軌道坐標系。

d）在真空零重力條件下進行分離過程數學建模，不考慮攝動力影響［3］。

2.1 分離動力學理論

為避免奇異點的出現，在數學模型推導過程中采用3－1－2坐標轉換順序，把握分離過程中各矢量的關系，對小衛星與主平臺進行受力分析。

數學模型推導中，重點是接觸位移和接觸力的建模，上支撐與導軌的接觸力可表示為

式中：F′ui為各支撐坐標系中的接觸力；F′uix，F′uiy，F′uiz分別為三方向接觸力，Kc為等效接觸剛度；μc為阻尼系數；Fn為初始預緊力；Arci為各支撐坐標系至軌道慣性坐標系的坐標轉換矩陣。下支撐與導軌的接觸力表示類同。

建立牛頓歐拉方程，通過四階龍格庫塔法求解可得小衛星與主平臺的分離姿態［7］。有

式中：Ω24×24為狀態矩陣；ri分別為慣性坐標系中的平臺和小衛星質心位置；φi，θi，ψi分別為偏航、滾轉和俯仰角，且Θi＝［φiθiψi］T；ωix，ωiy，ωiz分別為平臺在小衛星本體坐標系中的角速度，且ωi＝［ωixωiyωiz］T；符號～表示反對稱矩陣；

Ji為平臺和小衛星的慣量張量而非單純物理上的轉動慣量［8］。其對角元素為剛體的慣量矩，非對角元素為剛體的慣量積，

2.2 ADAMS分離動力學仿真

ADAMS軟件提供了參數化建模平臺，可參數化定義幾何尺寸、位置、力以及自定義函數等。分離動力學建模時，需對小衛星與主平臺進行參數化處理，以便后續優化。

初步建模分析，由于偏心影響，導致三個下支撐出筒時刻不一致，下支撐預緊力越大，小衛星出筒時刻角速度突變越大。后續仿真分析中，設上支撐預緊力200N，下支撐預緊力為0N，分離彈簧行程200mm，分離力過質心，質量特性為

2.3 分離結果分析比較

基于Matlab平臺利用數值算法得分離動力學理論結果，與ADAMS仿真結果曲線比較，結果如圖3～5所示。由圖可知：ADAMS仿真模型與數學模型的出筒姿態兩者最大誤差＜0.15%，見表1。數學模型分析結果較好地驗證了ADAMS的計算結果，說明后續利用ADAMS模型對小衛星偏心分離過程進行優化分析是可行的。

圖3 小衛星三軸角速度Fig.3 Satellite’s angular velocity

2.4 分離過程力學現象與機理

分離過程中的力學現象為：在上支撐出筒前，小衛星跟隨主平臺運動；上支撐出筒以后，小衛星三軸角速度反向增加，主平臺的三軸角速度基本維持不變。

圖4 小衛星三軸速度Fig.4 Satellite’s velocity

圖5 上支撐C2向接觸力Fig.5 Contact force on C2supporter

分離過程機理是：偏心分離過程可看成類似平動與轉動牽連運動的組合運動過程。圖中：A處分離彈簧作用結束；B處上支撐出筒；C處下支撐出筒。整個分離過程可簡單劃分為三個工作時段（如圖6所示）：分離彈簧作用行程；上支撐作用行程；下支撐作用行程。小衛星質心介于上下支撐間，當小衛星的上下支撐與釋放筒上的導軌同時作用，可近似等效為小衛星與釋放筒間為平動副作用，小衛星與主平臺有相同的角速度；上支撐出筒后，單獨在下支撐作用下，根據轉動牽連運動原理將使小衛星產生一個與主平臺方向相反的角加速度（科氏加速度），小衛星的角速度反向增長。

表1 ADAMS仿真與理論結果Tab.1 Simulation results of ADAMS and theory

圖6 小衛星與主平臺分離角速度Fig.6 Angular velocity of satellite and platform

3 設計空間探索

設計空間探索，是從眾多設計變量中找出對目標函數影響較大的設計變量及其組合方式，確定這些設計變量的初值，并估計出可能取得的目標函數值。設計空間的探索方法主要有近似建模、試驗設計、魯棒性設計、經典最優化方法和全局最優化方法等。

基于ADAMS仿真模型，考慮實際產品中可能出現推力偏斜、主平臺與小衛星的慣量偏差、小衛星質心偏移等因素，把握設計變量與目標函數的變化關系，對其分離動力學性能進行優化，并提出優化措施。

3.1 試驗設計

在進行蒙特卡羅分析前，先對各設計變量進行單因素多水平的試驗設計，暫不考慮其他因素的耦合影響。

試驗設計的變量主要有支撐彈簧預緊力、彈簧剛度、分離彈簧剛度等。設上支撐預緊力為0～450N，考慮三方向預緊力不均勻度，上支撐預緊力（100±10）N；下支撐預緊力0～10N，支撐彈簧剛度5～50N／mm，分離彈簧剛度在4.2～4.6N／mm范圍內波動。設計目標為小衛星分離角速度和分離速度（合值）。

由目標函數的變化幅值，可得關鍵設計變量有上支撐預緊力、分離彈簧剛度和支撐預緊力的不均勻度。試驗設計結果：

a）分離角速度、分離速度隨上支撐預緊力的增加而降低；

b）考慮上支撐預緊力的不均勻性，隨任一方向預緊力的增大，分離角速度降低，分離速度降低，C1向支撐預緊力對降低分離角速度最敏感；

c）支撐彈簧剛度對分離角速度、分離速度基本無影響；

d）預緊力一致，分離角速度、分離速度隨分離彈簧剛度的增大而減小。

3.2 蒙特卡羅分析

設小衛星分離性能的主要因素及偏差值為：主平臺質心偏差，本體坐標系｛ΔX，ΔY，ΔZ｝＝±30mm；主平臺慣量偏差±15%；小衛星質心偏差，本體坐標系｛ΔX，ΔY，ΔZ｝＝±5mm；小衛星慣量偏差±10%；分離彈簧推力偏斜±0.2°；三個下支撐壓力0～10N；三個上輔助壓力（200±10）N；分離彈簧剛度4.2～4.6N／mm。基于ADAMS參數化仿真模型，用蒙特卡羅法對分離動力學過程進行可靠性與魯棒性分析，得到在偏差范圍內的目標最大值和概率分布。考慮初始偏差為正態分布，觀察偏心分離后的分離角速度與分離速度的概率分布。輸出結果分布如圖7所示，數值見表2。

圖7 初始設計下分離姿態概率分布Fig.7 Probability distribution of release attitude at initial iuput

表2 蒙特卡羅分析結果Tab.2 Results of Monte－Carlo method

基于蒙特卡羅分析結果，可生成輸入參數及其組合對目標函數的敏感度分布。

前十階敏感度最高的參數組合如圖8、9所示。可知各參數對角速度影響的敏感度量級差別不大，其中右側為正作用，左側為反作用；影響分離速度的主要因素為分離彈簧剛度以及上下支撐預緊力，其中分離彈簧剛度貢獻量最大（26%）。

4 分離動力學性能優化措施

基于上述仿真結果與設計空間探索的結論，提出優化措施，優化的目的是在保證足夠大分離速度的前提下（暫取2.0m／s），盡可能降低小衛星的分離角速度。

a）方案一：縮短下支撐行程。

圖8 各參數的分離角速度敏感度Fig.8 Sensitivity distribution of parameters on release angular velocity

圖9 各參數的分離速度敏感度Fig.9 Sensitivity distribution of parameters on release velocity

根據分離過程的力學現象與機理可知，在單獨下支撐作用下，小衛星角速度反向增大；在單獨上支撐作用下，小衛星角速度同向增大，可得不等式分離彈簧作用行程≤上支撐作用行程≤下支撐的作用行程成立。

滿足不等式，適當縮短下支撐行程，不改變分離速度，使小衛星提前出筒，即將圖6中C點作用時間提前，可有效降低分離角速度。具體措施包括上移下支撐位置、改變導軌截面設置等。

b）方案二：同步提高上支撐彈簧預緊力。

根據試驗設計已知分離角速度、分離速度隨上支撐預緊力的增大而減小。提高上支撐預緊力至300N，將表2的參數輸入進行蒙特卡羅分析，結果見表3，其分離角速度落在3σ內的最大值為3.266（°）／s，明 顯 小 于 200N 預 緊 力 時 的3.484（°）／s。

c）方案三：僅提高C1向上支撐彈簧預緊力。

提高C1向上支撐預緊力，分離過程中，對小衛星施加與主平臺反向的角加速度，降低了分離角速度。C1向上支撐預緊力分別為200，300，400，500N下的分離角速度如圖10所示。由圖可知：當C1向上支撐預緊力增大時，分離角速度降低。提高C1向上支撐預緊力至400N，將表2的參數輸入進行蒙特卡羅分析，結果見表4。

表3 蒙特卡羅分析結果Tab.3 Results of Monte Carlo method

表4 蒙特卡羅分析結果Tab.4 Results of Monte Carlo method

圖10 不同C1向上支撐預緊力的分離角速度Fig.10 Angular velocity with different preload on C1supporter

比較僅提高C1向預緊力至400N和同步提高三向預緊力至300N的優化效果，提高C1向預緊力能更有效地降低分離角速度。

除上述優化方法外，提高分離彈簧剛度等亦可有效降低分離角速度，但都需權衡速度與角速度的關系。

5 結束語

本文對偏心安裝在主平臺上的小衛星分離釋放過程的動力學進行了研究，并進行設計空間探索與可靠性分析，優化分離裝置，使其得以有效偏心分離。研究表明：基于多體動力學理論與ADAMS的計算結果基本一致，可用ADAMS分析此類小衛星偏心分離；考慮加工誤差，以提高分離性能的魯棒性，對仿真模型進行蒙特卡羅分析，可作為工程設計的可靠性分析；分離彈簧剛度以及上下支撐預緊力對出筒姿態最敏感，提高分離彈簧剛度和上支撐預緊力可有效降低分離角速度，但須權衡對分離速度的影響；在改動最少的前提下，僅提高C1向上支撐預緊力至400N對降低分離角速度最有效。

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