基于C-W方程的近程導引制導與控制方法

劉 勝，錢 勇，施偉璜，趙慶廣

（上海衛星工程研究所，上海 200240）

0 引言

空間交會是實現航天器各種在軌服務、空間碎片處理等的關鍵技術。航天器交會的動力學定義是追蹤航天器通過一系列軌道機動，與目標航天器在空間預定位置和時間相會。航天器空間交會一般分為遠程導引、近程導引和逼近伴飛三個階段。本文主要研究基于跟瞄系統進行自主軌道交會的近程導引段。

根據相對運動動力學方法推導的C-W方程能較準確地描述航天器的近距離相對運動，在自由運動或控制力和攝動力為常值時有解析解，因此可用于空間交會的近程導引段［1］。該交會方式也可稱為C-W交會。基于C-W方程模型的近程導引控制律目前有雙脈沖和多脈沖兩種。文獻［2］給出了空間交會對接中雙脈沖制導的算法，并給出了優化方案，分析了不同初始條件下的燃料消耗；文獻［3］描述了多脈沖制導的一般算法，通過解析獲得了多脈沖變軌的最小范數解，對雙脈沖的不可達點進行了討論，分析了雙脈沖和多脈沖的燃料消耗；文獻［4］用線性化C-W方程和極大值原理研究了兩個飛行器燃料消耗最少的計算方法，并對三脈沖進行了優化；文獻［4］利用直接優化技術，用分段多項式表示整個軌道的狀態和控制向量，將整個交會軌道分為若干個推力段和無推力段，分別進行不同的約束，將最優控制轉化為非線性規劃。

本文對基于C-W方程的近程導引制導與控制方法進行了研究。

1 航天器軌道動力學

1.1 絕對運動

航天器在軌運行時受到的外力主要有地球的中心引力、推力和軌道攝動力。假設推力器不工作，考慮J2攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動的絕對運動動力學模型為

式中：R為地心距；Re為赤道半徑；CD為大氣阻力系數，取CD＝2.2；SD／m為面質比，追蹤航天器面積SD＝9.5m2，質量m＝1 500kg，目標航天器SD＝1.9m2，m＝900kg；ρ為軌道大氣密度；vaX，vaY，vaZ為大氣相對地心的運動速度三軸分量；aSX，aSY，aSZ為光壓加速度；μ為地球引力常數；X，Y，Z為航天器三軸慣性位置。

1.2 相對運動

定義追蹤航天器軌道坐標系o-xyz：原點o為目標航天器質心，oz軸指向地心；ox軸在軌道平面內指向飛行方向；oy軸按右手法則指向軌道面法線反向。航天器赤道慣性坐標系O-XYZ與o-xyz系的關系如圖1所示。

若追蹤航天器運行于近圓軌道，兩相鄰航天器在追蹤航天器軌道坐標系中的相對運動可用C-W

圖1 相對軌道坐標系Fig.1 Relative coordinate system

方程描述為

式中：ω為追蹤星航天器平均軌道角速度；ax，ay，az為加速度三軸分量；x，y，z為兩航天器相對位置。

設各軸加速度為0，即航天器處于自由運動狀態，可得式（2）解析解的矩陣式為

2 控制律設計

2.1 雙脈沖制導

雙脈沖軌道自主交會的原理是：計算第一次交會脈沖，使追蹤航天器在給定的時間內到達指定位置，施加第二次脈沖，使追蹤航天器相對目標航天器按預定的方式伴飛。

若時刻t0＝0追蹤航天器的初始相對位置r（t0）＝［x0y0z0］T和時刻tf的目標位置r（tf）＝［xfyfzf］T已知，則在這兩個時刻的相對速度為

式中：G11＝－B－1A，G12＝B－1，G21＝C－DB－1A，G22＝DB－1；上標“－”、“＋”分別表示速度脈沖作用前和后。

以上即為經典的C-W雙脈沖制導方法。式（5）求得的第一次控制脈沖使航天器從初始位置r（t0）轉移到目標位置r（tf），它影響制導的位置精度；式（6）求得的第二次脈沖用以消除終端時刻的速度誤差，它影響制導的速度精度。

雙脈沖控制總的速度增量

式中：|Δv1|＋|Δv2|為特征速度，可反映雙脈沖燃料消耗狀況。

在雙脈沖制導律下，式（5）兩次速度增量有解取決于式（4）有解，即B（t）逆矩陣存在。但矩陣B（t）會有奇異：

a）當ωctf＝nπ（n＝0，1，2，…），即tf為半個軌道周期的整數倍時；

b）當 cos（ωctf）＝ （64－9（ωtf）2）／（64＋9（ωtf）2），且2nπ＜ωtf＜（2n＋1）π，n＝0，1，2，…時。

當軌道轉移時間tf等于這些奇異值時，無論施加多大的速度脈沖都不能使追蹤航天器到達終端狀態r（tf）。這樣的點稱為不可達點，其鄰近區域為高耗能區域。

2.2 等時間間隔多脈沖制導

C-W方程有解析解的矩陣形式為

式中：τ＝t－t0。令

式中：F（τ）為6×6維的矩陣，其作用是將狀態從S0轉移到S（t）。

多脈沖控制就是在多個時刻分別施加脈沖控制，從而使追蹤器在最終時刻到達期望位置。設在時刻ti施加控制脈沖Δvi（i＝1，2，3，…，n）（3×1維向量），則在時刻tf達到的狀態

其中S0，S（tf）可預先測量或設計。令

則式（13）可改寫為

式中：Φ為6×3m維矩陣，存在廣義逆Φ＋；v為3m×1維向量。逆解式（14），可得多脈沖控制律為

式中：ζ為任意給定的3m×1維向量；I為單位陣。當ζ＝0時，可得最小范數解，即所有脈沖分量的平方和最小。雖然最小范數解與最省燃料解存在一定差異，但最小范數解在推導過程中可直接采用解析的方法獲得。

等時間間隔多脈沖原理為：假設有m次脈沖，推力器開始工作時刻為t0，總的機動時間為tf，則第i次脈沖施加的時刻為

對等時間間隔的多脈沖控制，在確定脈沖次數m后，可直接根據式（15）獲得最小范數解。等時間間隔多脈沖制導方法算法簡單，運算量較小。

2.3 閉環多脈沖制導

式（15）為常用的多脈沖控制律，該控制律屬開環控制。為消除J2攝動和大氣攝動的影響，采用閉環控制以提高控制精度。以等間距時刻施加脈沖，則第i時刻（1≤i≤m－1）施加的脈沖大小的計算方法為：取此時刻的航天器位置、速度作為初始條件，終端位置、速度已知，變軌脈沖數量變為m－i＋1，代入式（15）算得相應的三軸脈沖向量，而當前時刻需施加的脈沖即為該向量的第一個分量。當i滿足1≤i≤m－1時，重復上述步驟計算。按施加時間的選擇，第m次脈沖的作用是在航天器到達指定位置后，將其速度也改變成期望值。因此第m次脈沖的大小相應地變為

脈沖次數為m的閉環多脈沖制導如圖2所示。

圖2 閉環多脈沖制導Fig.2 Closed loop multi-pulse

3 算例與仿真

設近程導引段兩航天器的半長軸a、偏心率e、升交點赤經Ω、傾角i、幅角ω、真近地點角f見表1。

表1 近程導引初始軌道要素Tab.1 Orbit element of the closing phases

通過計算可得追蹤器第二軌道坐標系中理想的相對運動初始條件為

近程導引終端位置和速度（追蹤器第二軌道坐標系中）分別為

空間自主交會過程中要求航天器軌道在空間保持一定的相對關系，該空間相對位置、速度關系受跟瞄設備的約束。假設跟瞄設備的測量精度為：距離r≤20m（3σ）；速度r·≤0.1m／s（3σ）；角度 ΔΦ≤0.3°（3σ）（相對x、z向夾角）。

3.1 雙脈沖制導

用4組不同計算參數條件（見表2）確定最佳轉移時間。算得不同轉移時間的燃料消耗如圖3所示。由圖3可知：對應燃料消耗最小值的轉移時間為0.6T～0.9T，大部分位于3／4個軌道周期位置。此處：T為追蹤星軌道周期。圖3中：T／2位置為不可達點，與理論值相符。

軌道轉移時間tf＝0.75T時，雙脈沖制導仿真結果見表3。

由表3可知：雙脈沖制導有較大誤差。主要原因是：軌道模型中包括J2攝動、大氣阻力和太陽光壓三種攝動力，控制過程中所需的兩次速度增量不能瞬時獲得；C-W方程描述的線性化軌道與真實軌道存在差異，當航天器的偏心率較大時，這種差異更明顯。

表2 計算參數Tab.2 Computation parameters

圖3 燃料消耗與轉移時間的關系Fig.3 Relative of time and fuel consuming

表3 雙脈沖制導仿真結果Tab.3 Emulation result of double-pulse guidance

雙脈沖制導仿真結果如圖4～7所示。

圖4 雙脈沖制導x-z平面Fig.4x-zcurve of double-pulse guidance

圖5 雙脈沖制導y-z平面Fig.5y-zcurve of double-pulse guidance

圖6 方位角αFig.6 Azimuth angle

圖7 俯仰角βFig.7 Pitching angle

3.2 等時間間隔多脈沖制導

利用等時間間隔的多脈沖控制法，脈沖次數m分別為3，4，6，10，轉移時間tf＝0.75T時的燃料消耗和控制精度見表4。

由表4可知：多脈沖燃料消耗少于雙脈沖，因開環控制未作修正，脈沖次數增加后誤差反有增大趨勢。

表4 等時間間隔多脈沖制導仿真結果Tab.4 Emulation result of multi-pulse guidance which being equated

3.3 閉環多脈沖制導

轉移時間tf＝0.75T時，閉環多脈沖制導仿真結果見表5。

運用閉環多脈沖控制律雖不能完全消除控制誤差，但可將精度提高數十米，且燃料消耗增幅較小，因而閉環多脈沖是一種簡單有效的優化控制律。由表5可知：閉環6脈沖控制精度35.6m，與閉環10脈沖相當，在50m以內，但燃料消耗較少。根據航天器軌控時對姿態的影響越小越好的原則，閉環6脈沖制導是近程導引段較優的控制方案。

表5 閉環多脈沖制導仿真結果Tab.5 Simulation result of closed loop multi-pulse guidance

轉移時間tf＝0.75T時，閉環6脈沖制導仿真結果如圖8～11所示。

圖8 閉環6脈沖制導x-z平面Fig.8x-zcurve of closed loop six-pulse

圖9 閉環6脈沖制導y-z平面Fig.9y-zcurve of closed loop six-pulse

圖10 方位角Fig.10 Azimuth angle

圖11 俯仰角Fig.11 Pitching angle

4 結束語

本文在建立航天器軌道自主交會絕對運動與相對運動動力學模型的基礎上，設計了近程導引段制導與控制律。研究了基于C-W方程的雙脈沖制導方法，提出了雙脈沖變軌條件下的不可達點及其附近的高耗能區域概念，導出了基于C-W方程的多脈沖變軌的一般算法，并進而研究了等時間間隔多脈沖制導方法，重點研究了可提高控制精度的閉環多脈沖控制方法，并對具體的近程導引飛行任務進行了仿真計算。仿真結果表明，閉環6脈沖制導可用于近程導引段，且具有一定的工程應用價值。

［1］ CLOHESSY W H，WILTSHIRE R S，Terminal guidance system for satellite rendezvous［J］.Joumal of the Aerospace Sciences，1960，27：653-658，647.

［2］ 林來興，王立新.空間交會對接雙脈沖最優控制［J］.中國空間科學技術，1995，15（6）：28-34.

［3］ 向開恒，肖業倫.空間交會中脈沖變軌燃料消耗研究［J］.中國空間科學技術，1999，19（3）：9-15.

［4］ 齊映紅，曹喜濱.三脈沖最優交會問題的解法［J］.吉林大學學報（工學版），2006，36（4）：608-612.

［5］ 王 華，唐國金.用非線性規劃求解有限推力最優交會［J］.國防科技大學學報，2003，25（5）：9-13.

［6］ 李晨光，肖業倫.多脈沖C-W交會的優化方法［J］.宇航學報，2006，27（2）：172-176.