五自由度并聯機構正解新數值算法

張永文

（廣西大學機械工程學院，廣西 南寧530004）

由于并聯機構結構的復雜性，并聯機構的位置正解的求解難度大，主要求解方法有解析法和數值法[1]。由于并聯機構正解解析法理論發展尚不成熟，數學推導過程復雜，而且通用性不高，因此一般采用數值算法求解。目前并聯機構數值求解算法主要有兩類：一類是使用Newton-Raphson法[2-5]。例如Lee、Warldron、Pfreundschum等的研究中，基于并聯機構運動學正解方程，用牛頓迭代法對并聯機構正運動學進行求解。這種數值算法需要計算機構雅克比矩陣及其逆陣，計算量大，計算時間相對較長[6]，且算法收斂性對迭代初始值比較敏感，不利于實時控制；另一類算法是基于并聯機構的逆解，但不用計算雅克比矩陣來求機構正解[7-9]。例如神經網絡算法、遺傳算法等等。這類算法避免了復雜的公式推導和編程工作，但是求解精度難以滿足并聯機構實時控制要求。對此，本文以五自由度并聯機構為研究對象，提出一種新的并聯機構正解數值算法。

1 問題描述和現有正解數值算法

1.1 問題的描述

研究的五自由度并聯機構如圖1所示，該機構由靜平臺、動平臺和五個支鏈組成。五個支鏈中有四個支鏈結構相同，由轉動副、萬向節和球副組成，其與動、靜平臺鉸接點位于以動、靜平臺中心點為中心對稱點的長方形的四個角點；另一個支鏈由一個連桿和一個四連桿串聯構成。機構所有轉動副軸線相互平行，且支鏈中萬向節的一個轉動軸線也始終與轉動副軸線平行，P點和O點分別是動、靜平臺的中心。以動平臺中心P點為原點建立右手坐標系P-XPYPZP，其中XPPYP平面與動平臺重合，XP、YP軸方向為垂直于動平臺相鄰鉸節點連線方向。以靜平臺中心點O為原點建立右手坐標系O-XOYOZO，XOOYO平面與靜平臺重合，XO軸方向與機構轉動副軸線方向平行。機構結構尺寸 Li（i=1，2，3…12）如圖 1 中所示。

圖1 五自由度并聯機構結構示意圖

設動平臺位姿由（PxPyPzαβγ）六個參數來表示，其中 Px、Py、Pz表示動平臺中心點的坐標，α、β、γ表示動坐標系相對于靜坐標系的XYZ歐拉角。

1.2 現有正解數值解法——New ton-Raphson迭代法

Newton-Raphson迭代法基于并聯機構運動學正解方程組，用牛頓迭代法對并聯機構正運動學進行求解。動平臺上一點在靜坐標系中坐標可由坐標變換求得：

式中:Pp為動平臺中心點在靜坐標系中的坐標；

由式（1）可求得bi（i=1，2，3，4）在靜坐標系boi（i=1，2，3，4）中的坐標，由 biDi桿和 FP 桿長可列方程組：

將式（2）用動平臺位姿參數表示為：

式（3）就是五自由度可控并聯機構的正解方程組，該方程組具有強非線性，很難求得解析解，利用Newton-Raphson數值迭代法可求得方程組的解，即五自由度并聯機構的正解。

2 新算法

2.1 新算法的基本思路

新算法是基于圖形相似理論[10]提出來的，其基本思路如下：

（1）初取迭代初始值。在五自由度并聯機構工作空間內任取一點作為迭代的初始值：

（3）修正P、bi（i=1，2，3，4）.由迭代初始值求出的動平臺鉸接點不一定是動平臺鉸鏈點真實位置，機構結構參數PF=L10與boiDoi=L6不一定成立，為此作如下修改：

式中：P（2）為新動平臺上的P點，M點和N點為新引入的兩個點，分別為b1與b2點的連線中點、M點與 N 點的連線中點，由點唯一的確定了一個新動平臺平面。

（5）提取新動平臺姿態參數。

根據N點和P（2）點坐標可求解新動平臺姿態參數 α（2）、γ（2）和 β（2）：

為了進一步求解 γ（2）和 β（2），先將法線向量ny，nz）繞基坐標Zo軸逆時針旋轉-α（2）角得一個中間法線向量，如下：

根據中間法向量n軋1（n1x，n1y，n1z）可直接求得γ（2）和 β（2）：

如果式（10）不成立，則以求得的新動平臺位姿參數為新的迭代初始量進入下一輪迭代，直至式（10）成立，即求得了并聯機構位置正解，其求解流程圖如下圖2所示。

圖2 新算法流程圖

2.2 數值試驗和算法性能對比

并聯機構正解數值求解過程中使用Newton-Raphson迭代法是目前比較常用的算法。本文將新算法與Newton-Raphson迭代法的性能進行對比，以總結新算法的特點和評價新算法的優劣。

五自由度并聯機構結構參數如下表1所示。利用同一臺電腦上的matlab軟件平臺用上述兩種數值解法對五自由度并聯機構正解數值求解進行編程，先后輸入機構兩個位置的驅動副輸入量，初取同一迭代初始值，進行數值試驗，并與在ProE軟件分析模塊中測得的結果作對比，試驗結果如表2至表5所示。

表1 五自由度并聯機構結構參數

表2 牛頓拉斐遜迭代法位置一計算結果

表3 新算法位置一計算結果

表4 牛頓拉斐遜迭代法位置二計算結果

表5 新算法位置二計算結果

根據數值實驗數據分析：

（1）對比表2與表3，可知Newton-Raphson迭代法在迭代初始值適當時，單步迭代收斂速度快，但單步平均迭代時間相比新算法長。而新算法相反，每次迭代收斂速度慢，幾乎每迭代80次僅相當于牛頓拉菲訊法迭代一次，但是新算法每次迭代所需時間極短，且總的來說兩種迭代法計算收斂到預定精度所需總時間對比，新算法更少；

（2）對比表1與表3可知牛頓-拉菲訊法對迭代初始值的選取比較敏感，迭代初始值沒選好很可能會導致迭代收斂速度減緩甚至迭代不收斂；而對比表2與表4可知新算法對初始值的選取并不敏感，具有良好的適應性；

3 結束語

本章以五自由度可控并聯機構為研究對象，提出一種新的五自由度并聯機構正解求解數值方法，新算法基于圖形相似理論[10]，求解思路簡單，求解過程中不需要求機構的雅克比矩陣及其逆陣。通過進行編程和數值實驗和實驗數據分析，將數值實驗所得數據與在Pro/E機構分析中測得的數據進行對比分析，驗證了所采用的這兩種數值分析方法的正確性，總結出這新算法初值敏感度低、單步迭代時間短，達到預定求解精度所需的迭代求解總時間短、編程工作量少等基本特點，有利于適時控制，且本算法可以推廣到其它相似結構的并聯機構，具有較大的應用前景。

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