開拓解題途徑 活躍解題思維

許占輝

小學數學教學中經常應用到一題多解的教學方式。一題多解是指運用不同的思維方式，從多種角度來解答同一道題目的解題方法。一題多解是屬于解題的策略問題。數學教學中，進行一題多解的訓練，能較好地拓寬學生的解題思路，加深學生對所學知識的理解和掌握，訓練學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，達到舉一反三、融匯貫通的目的，從而培養(yǎng)了學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維能力。下面筆者就多年來的教學感受結合一些優(yōu)秀教師的教學設計或教學實錄，對小學數學“一題多解”策略談談一些見解。

一、活用題型特點，促進解題多樣化

在分析題目時，把一道習題根據不同的思路，轉化成不同類型的典型題目，運用各類典型習題的特點進行解題，不僅可以幫助學生掌握知識之間的內在聯系，培養(yǎng)學生綜合運用數學知識的能力，還可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，提高學生創(chuàng)新能力，真正提高課堂教學的實效性。

例1：甲乙兩筐水果共有88千克，甲筐比乙筐多 ，兩筐水果各有多少千克？

解法1（看成是按比例分配的題型）：

（1）1+ = =6：5 （2） 6+5=11 （3）88÷11=8（千克） （4） 8×6=48（千克） （5）8×5=40（千克）

解法2（看成是一般分數應用題的題型）：

（1）1+= = （2）88÷（1+ ）=40（千克） （3）88-40=48（千克）

例2：一個工程隊原計劃每天修路200米，24天修完。實際3天修了720元，照這樣的速度，修完這段路共需要多少天？（用比例解）

這道題目通過分析，可以根據不同題型特點（正比例和反比例的定義），用正比例和反比例兩種解法進行解答。

解：設修完這段路共需要X天。

解法1（用正比例解）：

200×24：X=720：3 ? ? ? 解得X=20

解法2（用反比例解）：

（720÷3）×X=200×24 ? 同樣解得X=20

二、活用解題方法，提高解題靈活性

解決問題就是尋找解題的思路，針對不同問題采取相應的對策，根據問題的性質，采用相應策略有的放矢地進行解決。教師在平時教學中，有意識給學生滲透一些必要的解決問題的策略，引導學生靈活地掌握知識之間的聯系，培養(yǎng)和發(fā)揮學生的創(chuàng)造性。

在小學階段，常用的解題策略有：對比法、枚舉法、還原法（逆推法）、假設法、列表法、圖示法、排除法等，而一題多解則是諸多解題策略的綜合運用。

例題1：在一次聯歡會上，有7個老朋友見面，每兩個人都要握手一次，共握了多少次手？

解法1：用枚舉法，我們可以把這這7位同學編號為1至7號，則由1號到7號分析他們分別和其他同學握手的情況（次數）：1號和其他六位同學握手6次;2號和除1號同學外的五位同學握手 5次;3號和除1、2號同學外的其他4位同學握手4次;以此類推，4號握手3次，5號握手2次，6號握手1次;因此，7位同學共握手6+5+4+3+2+1=21次;

解法2：用排除法：可以這樣分析，每個同學要和其他6位同學握手，要握手6次，7位同學共握手6×7=42次，而這樣計算時，每兩位同學是互相握手2次的，因此42次有一半是重復的，所以握手次數共為42÷2=21次。

三、理清解題思路，實現解題有效性

數學課堂教學中，當學生用多種解題方法解出之后，教師不要馬上進行小結，應讓學生相互討論、進行分析比較，找出最佳的解題方法。這是一題多解訓練的一個重要的環(huán)節(jié)。教師要引導學生在自主探究和合作學習的基礎上進一步思考：得出的解題方法是否正確？分析解題的過程是否恰當？是一般的解法，還是自己的獨創(chuàng)？哪種解法簡便？……只有通過引導學生自己對得出的各種解題方法進行逐一比較，展開熱烈的討論，才能真正把握最佳的解題方法，鍛煉學生的思維能力和創(chuàng)新精神。

例如：比較 和 的大小，有下面幾種解題方法：

（1）分母通分： = = ，所以 < 。

（2）化為小數： ≈0.59 ≈0.63， 所以 < 。

（3）化為同分子分數： = ， = ，所以 < 。

（4）根據“一個真分數的分子和分母同時加上一個相同的數（零除外），這個真分數的分數值變小”這一性質，所以 < （ 的分母17和分子10同時加上2就成了 ）。

通過比較，討論，可以知道第四種解法最簡捷。

又如：客車和貨車同時從甲、乙兩地相向開出，8小時相遇，相遇后又行了6小時，這時客車到達乙地，問貨車還要幾小時才能到甲地？（出示線段圖）

解法1： ?以全程為單位“1”

（1）8+6=14【客車行完全程要多少小時或已經行駛了多少小時】，

（2） - = 【貨車的速度】，

（3）1÷ =18 （小時）【貨車行完全程需要多少時間】，

（4）18 -14=4 （小時）

解法2：用對比法

（1）8+6=14【客車行完全程要多少小時或已經行駛了多少小時】，

（2）8÷6= 【同樣一段路程，貨車所用的時間是客車多少倍】，

（3）14× =18 ?【貨車行完全程需要多少時間】，

（4）18 -14=4 （小時）【貨車還要幾小時才能到甲地】。

解法3：對比法2

（1）8÷6= 【同樣一段路程，貨車所用的時間是客車多少倍】，

（2）8× = （小時）【客車原來前8小時所行路程，貨車需要多少小時】，

（3） -6=4 （小時）【貨車還要幾小時才能到甲地】。

通過比較、討論，可以知道解法1是一般的解法，解法3是最佳的解法。

四、巧用解題標準，實現解題多向性

由于學生認知發(fā)展水平和已有的知識經驗不一樣，學生對同樣的問題考慮的標準也不一樣，解題思路也就不一樣，有時就會得到多種解題結果。這些結果，教師要引導學生結合不同的情境和結合生活實際，加以評價，以確定各種解題結果的正確性。

例如：老王、老李和老趙三位好朋友合乘一輛出租車，大家商定，出租車費一定要合理分攤。老王在全程三分之一處下車，老李到了全程的三分之二處也下了車。最后老趙一個人坐到終點，他們一共付出90元車費。他們三人如何承擔車費比較合理？

思路一：按三人乘車的路程比是： ： ：1=1：2：3，1+2+3=6

老王：90× =15（元）; ?老李：90× =30 （元）

老趙：90× =45（元）;

思路2：按分段考慮承擔車費（因為出租車不分人數多少，以路程計費），分為三段，每段路程30元，然后按每段乘車的人數平分車費，列表如下：

這兩種解題思路合理，都有其算理依據，值得肯定。但同時應告訴學生，根據現在出租車的收費方法，第二種解題思路比較符合現實情況。

當然，進行一題多解訓練要有科學的安排，進行一題多解的教學要有明確的目的要求，必須根據教學的目標和學生實際進行開展，要通過一題多解訓練，達到拓寬學生的解題思路，培養(yǎng)和提高學生創(chuàng)新思維能力這個教學目的。

（責編 金 東）