挖掘隱含圖形條件，強化數形結合思想

馬玉紅

一、問題的提出

聚焦高考，歷年來解析幾何都是高考考查的重要內容，因此，也是高考命題的重點、熱點。客觀題以中、低檔題為主，主觀題以中、高檔題為主，難度較大。一般學生都感覺計算量大且復雜，費時費力卻不易得出結果。

究其原因，解析幾何是建立在坐標系的基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線，通過代數運算處理幾何問題的一門學科。基本思想就是通過坐標將幾何圖形轉化為方程，通過對方程的研究達到研究幾何圖形性質的目的，坐標法將形與數統一起來，從而達到定性定量的研究。但是一味強調解析幾何中的定量計算，有時會導致大量的繁瑣解題過程，學生在進行大量的計算以后而得不出結果。如果在進行計算的同時恰當地應用平面幾何的一些相關知識，則可以往往產生一些意想不到的效果。

如2013年江蘇高考數學第17題第（2）問：在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線I：y=2x-4。設圓的半徑為1，圓心在l上。若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍。

本題第（2）問中，如果先利用幾何條件MA=2MO得出點M的軌跡是圓P，由題意得同時點M在圓C上，則問題轉化為圓與圓有公共點，即轉化為為兩圓的位置關系，利用圓心距和半徑列出不等式就可求出答案。而部分學生設P點利用方程組恒有解，則計算繁難，不易得出結果。

這道題在用解析幾何方法解題時，如果充分結合圓的有關幾何知識則問題馬上解決，且計算比較簡單。

本文試著探索平面幾何與解析幾何之間的依存關系。如何將兩種幾何存在的客觀事實由幾何問題向代數問題轉化，實現形與數的高度統一，又結合幾何性質約束簡化代數計算問題，以“圓”為例加以分析說明。

二、具體的做法

（一）抓住變形方程代表特定曲線挖掘幾何圖形

解析幾何主要運用代數方法解決幾何問題，反之，如代數問題解決困難時，也可以用幾何問題處理。如：若直線y=x+b與曲線y=3- 有公共點，則b的取值范圍為____。本題若用代數方法處理x+b=3- 在x∈[0，4]有解的話，需要分類討論，運算量較大，不易解出正確答案。如細心觀察，善于挖掘，不難發現曲線y=3- 是以（2，3）為圓心，2為半徑的圓的下半圓，轉化為直線與半圓有公共點問題，得到b∈[-1-2 ]

（二）從題目蘊涵幾何定義挖掘幾何圖形

幾何定義是解析幾何的基礎，對學生來說尤為重要，但學生在學習時不善于把握定義，不能準確給出定義，做題目時就發現不了幾何圖形。如：若圓（x-2）2+y2=1上存在兩個點P，O，它們到直線y=kx+1的距離都等于1，則實數k的取值范圍為____。如對平面幾何知識掌握的比較好，善于發現，會得到到直線距離等于1的點，在與這條直線距離為1的兩條平行線上，題目轉化為兩直線與圓有兩個公共點問題。如：若與點A（2，2）距離為1，且與點B（m，0）距離為3的直線恰有兩條，則m的取值范圍是____。本題結合圓的定義，借助兩圓公切線問題轉化為兩圓的位置關系，用圓心距和半徑比較，圖形語言向代數語言轉化即可得到結果。如：已知圓C：（x-a）2+（y-a）2=9，在圓C上總存在兩點到原點的距離等于1，則實數a的取值范圍是____。如能發現到原點的距離等于1的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓O，題目就轉化為圓O與圓C相交，列出2

（三）從圖形中挖掘滿足幾何性質的幾何圖形

解析幾何雖然提倡用代數方法解題，但屬于幾何范疇，如把握好幾何圖形及性質，數形結合，會更有效解決問題。

如：定理：已知圓C中弦AB的中點為M，則CM垂直平分AB即CM⊥AB，AM=BM利用該定理，構造直角三角形，可以解決一類軌跡方程問題，減少大量的代數計算。

如：已知圓C：x2+y2=a2，點A為圓內任一點，過點A作互相垂直的兩條射線分別交圓C于P，Q，以AP，AQ為邊作矩形APDQ，則點D的軌跡是什么？

此題可設AC=b，作CE⊥DP交DP于E，AQ于F，作CG⊥AP令

所以點D的軌跡是以C為圓心， 為半徑的圓。

應用1：已知圓O：x2+y2=16內的一點M（1，2）過M作互相垂直的兩條射線分別交圓于P，O，兩點，且 = + ，求 的范圍。

由問題1結論得D的軌跡是以O為圓心， = 為半徑的圓，即圓D：x2+y2=27，而 的范圍轉化為圓D上任一點與定點M間兩點間距離的取值范圍，所以3 -OM≤MD≤OM+3 即 ∈[3 - ，3 + ]若問題延伸為兩個同心圓問題，則可得如下結論：

如圖，已知小圓半徑為R1，大圓半徑為R2，過定點A作互相垂直的兩條射線分別交小圓，大圓于P，Q兩點，則矩形APDQ的頂點D的軌跡是以O為圓心，半徑為 的圓。

應用2：已知兩圓x2+y2=4，x2+y2=16，M（1，0），過點M作MP⊥MQ分別與兩圓交于P，Q兩點，求PQ的取值范圍。由上述結論，得矩形MPDQ的頂點D的軌跡是以O為圓心， = 為半徑的圓，即x2+y2=19，所以MD的范圍是[ -1， +1]

解析幾何雖然注重用代數方法處理幾何問題，但過于繁雜也不是考查的要點，不能過于強調死算，處理解析幾何的有關問題時，要善于挖掘圖形中所隱含的幾何因素，利用有關的平面幾何知識使解題過程變得簡潔優美。

（責編 田彩霞）