非完整矩陣的分析及其在目標(biāo)定位中的應(yīng)用

趙琦，胡澤鵬，湯四龍，萬(wàn)群

（1.吉林省無(wú)線電監(jiān)測(cè)站，長(zhǎng)春130000；2.電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，成都611731；3.同方電子科技有限公司，江西九江332007）

【信息科學(xué)與控制工程】

非完整矩陣的分析及其在目標(biāo)定位中的應(yīng)用

趙琦1，胡澤鵬2，湯四龍3，萬(wàn)群2

（1.吉林省無(wú)線電監(jiān)測(cè)站，長(zhǎng)春130000；2.電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，成都611731；3.同方電子科技有限公司，江西九江332007）

在高維空間中認(rèn)識(shí)、分析和處理信號(hào)與數(shù)據(jù)是現(xiàn)代信號(hào)與信息處理的重要方法，可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化為如何確定或優(yōu)化點(diǎn)、線、面之間的線性關(guān)系問(wèn)題，避免復(fù)雜的非線性處理帶來(lái)的性能分析、工程實(shí)現(xiàn)上的問(wèn)題；但是，在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到信號(hào)和數(shù)據(jù)矩陣中的元素出現(xiàn)缺失的情況，增加了子空間分析的難度；通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，研究了非完整矩陣的子空間方法及其在目標(biāo)定位中的應(yīng)用，并給出了性能優(yōu)化和資源優(yōu)化的處理方法。

非完整矩陣；子空間分析；目標(biāo)定位

1 概述

子空間分析方法是現(xiàn)代信號(hào)與信息處理的基本方法之一［1］，由于在高維空間中可以將非線性參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，非線性信號(hào)處理的主要問(wèn)題也就轉(zhuǎn)化為如何確定或優(yōu)化點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系問(wèn)題，該方法不僅可以用于解決、分析線性信號(hào)處理問(wèn)題，還可以用于解決、分析許多非線性信號(hào)處理問(wèn)題。

以經(jīng)典的頻率估計(jì)問(wèn)題為例子，信號(hào)模型為x（t）=asin（ωt+φ），問(wèn)題是如何利用觀測(cè)樣本x（t），t=1，2，…，T，估計(jì)信號(hào)角頻率ω。從基于時(shí)域信號(hào)波形的問(wèn)題描述和處理方式上來(lái)看，該問(wèn)題屬于非線性參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，x（t）是由角頻率和初相決定的關(guān)于時(shí)間的非線性函數(shù)，如圖1所示。

圖1 x（t）時(shí)域波形圖

但是，從基于高維空間的問(wèn)題描述和處理方式上來(lái)看，該問(wèn)題屬于非線性參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，如圖2所示，所有的三維向量（x（t），x（t+1），x（t+2））都位于一個(gè)低維的子空間平面上，換句話說(shuō)，所有的三維向量（x（t），x（t+1），x（t+2））的3個(gè)元素之間都滿足一種由角頻率ω決定的線性關(guān)系。

圖2 （x（t），x（t+1），x（t+2））三維立體圖

目前，基于完整的信號(hào)或數(shù)據(jù)矩陣的子空間分析方法已經(jīng)比較成熟，由于信號(hào)處理系統(tǒng)的信息采集、傳輸、存儲(chǔ)、計(jì)算處理等資源受限，加上實(shí)際應(yīng)用中各種原因?qū)е碌男畔⑷睋p、不完整，需要進(jìn)行子空間分析的信號(hào)或數(shù)據(jù)矩陣在實(shí)際應(yīng)用中往往不是完整的，給傳統(tǒng)的子空間分析方法帶來(lái)了較大的挑戰(zhàn)［2］。

本文下面先介紹基于非完整信號(hào)或數(shù)據(jù)矩陣的子空間方法，再介紹在目標(biāo)定位中的應(yīng)用，最后給出結(jié)論。

2 非完整矩陣的子空間方法

以3種天線陣列為例子：8陣元均勻線陣；8陣元的非均勻線陣；由8陣元非均勻線陣通過(guò)內(nèi)插、外推形成的13陣元均勻線陣，如圖3所示。這3種天線陣列的波束圖如圖4所示。

可見(jiàn)，8陣元均勻線陣分辨率較差，8陣元的非均勻線陣旁瓣較高，由8陣元非均勻線陣通過(guò)內(nèi)插、外推形成的13陣元均勻線陣同時(shí)克服二者的缺點(diǎn)。

圖3 3種天線陣列

圖4 3種天線陣列的波束

由8陣元非均勻線陣通過(guò)內(nèi)插、外推形成的13陣元均勻線陣的關(guān)鍵是解決如下非完整矩陣的子空間分析：

其中，

當(dāng)正黑體標(biāo)記的元素已知時(shí)，上述問(wèn)題是經(jīng)典的前后向線性預(yù)測(cè)問(wèn)題［3］，容易求解，當(dāng)正黑體標(biāo)記的元素未知時(shí)，就是典型的非完整矩陣的子空間分析問(wèn)題。

目前，主要通過(guò)迭代方法進(jìn)行近似求解：先確定初始的前后向線性預(yù)測(cè)系數(shù)估計(jì)，再利用前后向線性預(yù)測(cè)系數(shù)估計(jì)通過(guò)求解如下的線性問(wèn)題確定缺失的元素，然后利用上述前后向線性預(yù)測(cè)關(guān)系由補(bǔ)全的數(shù)據(jù)矩陣更新前后向線性預(yù)測(cè)系數(shù)估計(jì)，最后重復(fù)上述過(guò)程，直至前后向線性預(yù)測(cè)方程的擬合誤差足夠小或收斂到一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值：

3 實(shí)例分析與應(yīng)用

子空間分析方法在目標(biāo)定位中的應(yīng)用例子很多，包括時(shí)頻混疊的多信號(hào)高分辨率空間譜測(cè)向交叉定位、測(cè)距（距離差）定位［4-5］、多普勒頻率差定位等［6］。但是，當(dāng)數(shù)據(jù)矩陣存在缺失的元素時(shí)，常規(guī)的子空間分析方法不再適用。

以測(cè)距定位為例子，在如下的由距離測(cè)量確定的測(cè)距矩陣中，rk是目標(biāo)到第k個(gè)信號(hào)接收站的距離，dmn是第m個(gè)信號(hào)接收站到第n個(gè)信號(hào)接收站的距離［7-9］（k，m，n=1，2，3）：

該測(cè)距矩陣又可以寫(xiě)成：

其中（xk，yk）是第k個(gè)信號(hào)接收站的位置坐標(biāo)，k=1，2，3，（x0，y0）是目標(biāo)的未知位置坐標(biāo)?？梢?jiàn)，上述測(cè)距矩陣是一個(gè)低秩矩陣，有：

其中（s1，s2，s3）是測(cè)距矩陣的零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。因此，由測(cè)距矩陣的子空間分析即可確定其零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，由此代入上式即可確定目標(biāo)位置。

考慮到每個(gè)距離測(cè)量都要消耗信號(hào)帶寬、信息傳輸、計(jì)算處理、能量等資源，在資源受限、信號(hào)受到干擾、信號(hào)傳播條件被破壞等情況下，測(cè)距矩陣中將存在缺失的元素，難以直接利用非完整的測(cè)距矩陣快速提取目標(biāo)位置信息。

常規(guī)處理方法是先利用完整的測(cè)距矩陣的低秩特性恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)，再采用現(xiàn)有的子空間分析方法進(jìn)行定位估計(jì)［10］。這種方法是在走彎路，實(shí)際上可以利用完整的測(cè)距矩陣的低秩特性直接確定目標(biāo)的位置參數(shù)，而不需要恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)。當(dāng)缺失的數(shù)據(jù)較多時(shí)，直接估計(jì)參數(shù)的方法可以滿足實(shí)時(shí)定位理的要求。

4 結(jié)論

信號(hào)或數(shù)據(jù)矩陣的子空間分析為我們?cè)诟呔S空間中認(rèn)識(shí)、分析和處理信號(hào)與數(shù)據(jù)提供了一種重要的工具，當(dāng)實(shí)際應(yīng)用中遇到信號(hào)和數(shù)據(jù)矩陣中的元素出現(xiàn)缺失的情況時(shí)，需要發(fā)展非完整矩陣的子空間分析方法，在實(shí)現(xiàn)性能優(yōu)化的同時(shí)，滿足資源優(yōu)化的需要。

［1］游鴻，黃建國(guó).子空間投影DOA估計(jì)算法分析及合成空間譜［J］.航空學(xué)報(bào)，2008，29（5）:1334-1339.

［2］朱翠.具有非完整信息系統(tǒng)的濾波和數(shù)據(jù)融合算法研究［D］.北京:北京理工大學(xué)，2014.

［3］史杰，鐘雄虎，宋叔飚，等.基于前后向線性預(yù)測(cè)的時(shí)變參數(shù)估計(jì)方法研究［J］.計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2006，14（11）:1515-1518.

［4］Huang J Y，Wan Q，Wang P.Minimum mean square error estimator for mobile location using time-difference-of-arrival measurements［J］.IET Radar，Sonar&Navigation，2011，5（2）:137-143.

［5］He-Wen Wei，RongPeng，Qun Wan，et al.Multidimensional Scaling Analysis for Passive Moving Target Localization with TDOA and FDOA Measurements［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58（3）:1677-1688.

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［7］Qin S，Wan Q，Duan L F.Fast and efficient multidimensional scaling algorithm for mobile positioning［J］.IET Signal Processing，2012，6（9）:857-861.

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［9］Qin S Q.Wan Z X.Fast subspace approach for mobile positioning with time-of-arrival measurements［J］.IET Communications，2011，5（14）:2035-2039.

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（責(zé)任編輯楊繼森）

Incomplete Matrix Analysis and Its Application to Target Localization

ZHAO Qi1，HU Ze-peng2，TANG Si-long3，WAN Qun2
（1.Radio Monitoring Station of Jilin Province，Changchun130000，China；2.School of Electronic Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China；3.Tongfang Electronic Science and Technology Co.，Ltd.，Jiujiang 332007，China）

Understanding，analyzing and processing signals and data in high-dimensional space is an important method of modern signal and information processing.In this way，we can simplify the original problem to how to either determine or optimize linear relationship between dots，line and surface，and to overcome the problems such as performance analysis and practical implementation caused by nonlinear processing.However，we are often encountered with the absence of a part of signal and matrix elements in practice，which increases the difficulty of the subspace analysis.In this paper，we studied the subspace method of incomplete matrix and its applications to target localization through a few simple examples and provided the methods of performance optimization and resource optimization.

incomplete matrix；subspace analysis；target localization

趙琦，胡澤鵬，湯四龍，等.非完整矩陣的分析及其在目標(biāo)定位中的應(yīng)用［J］.四川兵工學(xué)報(bào)，2015（11）：95-97.

format：ZHAO Qi，HU Ze-peng，TANG Si-long，et al.Incomplete Matrix Analysis and Its Application to Target Localization［J］.Journal of Sichuan Ordnance，2015（11）：95-97.

TN957

A

1006-0707（2015）11-0095-03

10.11809/scbgxb2015.11.025

2015-05-04

國(guó)家自然科學(xué)基金（61172140）

趙琦（1972—），男，高級(jí)工程師，主要從事無(wú)線通信及信號(hào)監(jiān)測(cè)研究。