非完整矩陣的分析及其在目標定位中的應用

趙琦，胡澤鵬，湯四龍，萬群

（1.吉林省無線電監測站，長春130000；2.電子科技大學電子工程學院，成都611731；3.同方電子科技有限公司，江西九江332007）

【信息科學與控制工程】

非完整矩陣的分析及其在目標定位中的應用

趙琦1，胡澤鵬2，湯四龍3，萬群2

（1.吉林省無線電監測站，長春130000；2.電子科技大學電子工程學院，成都611731；3.同方電子科技有限公司，江西九江332007）

在高維空間中認識、分析和處理信號與數據是現代信號與信息處理的重要方法，可以將問題簡化為如何確定或優化點、線、面之間的線性關系問題，避免復雜的非線性處理帶來的性能分析、工程實現上的問題；但是，在實際應用中經常遇到信號和數據矩陣中的元素出現缺失的情況，增加了子空間分析的難度；通過幾個簡單的例子，研究了非完整矩陣的子空間方法及其在目標定位中的應用，并給出了性能優化和資源優化的處理方法。

非完整矩陣；子空間分析；目標定位

1 概述

子空間分析方法是現代信號與信息處理的基本方法之一［1］，由于在高維空間中可以將非線性參數估計問題轉化為線性參數估計問題，非線性信號處理的主要問題也就轉化為如何確定或優化點、線、面之間的關系問題，該方法不僅可以用于解決、分析線性信號處理問題，還可以用于解決、分析許多非線性信號處理問題。

以經典的頻率估計問題為例子，信號模型為x（t）=asin（ωt+φ），問題是如何利用觀測樣本x（t），t=1，2，…，T，估計信號角頻率ω。從基于時域信號波形的問題描述和處理方式上來看，該問題屬于非線性參數估計問題，x（t）是由角頻率和初相決定的關于時間的非線性函數，如圖1所示。

圖1 x（t）時域波形圖

但是，從基于高維空間的問題描述和處理方式上來看，該問題屬于非線性參數估計問題，如圖2所示，所有的三維向量（x（t），x（t+1），x（t+2））都位于一個低維的子空間平面上，換句話說，所有的三維向量（x（t），x（t+1），x（t+2））的3個元素之間都滿足一種由角頻率ω決定的線性關系。

圖2 （x（t），x（t+1），x（t+2））三維立體圖

目前，基于完整的信號或數據矩陣的子空間分析方法已經比較成熟，由于信號處理系統的信息采集、傳輸、存儲、計算處理等資源受限，加上實際應用中各種原因導致的信息缺損、不完整，需要進行子空間分析的信號或數據矩陣在實際應用中往往不是完整的，給傳統的子空間分析方法帶來了較大的挑戰［2］。

本文下面先介紹基于非完整信號或數據矩陣的子空間方法，再介紹在目標定位中的應用，最后給出結論。

2 非完整矩陣的子空間方法

以3種天線陣列為例子：8陣元均勻線陣；8陣元的非均勻線陣；由8陣元非均勻線陣通過內插、外推形成的13陣元均勻線陣，如圖3所示。這3種天線陣列的波束圖如圖4所示。

可見，8陣元均勻線陣分辨率較差，8陣元的非均勻線陣旁瓣較高，由8陣元非均勻線陣通過內插、外推形成的13陣元均勻線陣同時克服二者的缺點。

圖3 3種天線陣列

圖4 3種天線陣列的波束

由8陣元非均勻線陣通過內插、外推形成的13陣元均勻線陣的關鍵是解決如下非完整矩陣的子空間分析：

其中，

當正黑體標記的元素已知時，上述問題是經典的前后向線性預測問題［3］，容易求解，當正黑體標記的元素未知時，就是典型的非完整矩陣的子空間分析問題。

目前，主要通過迭代方法進行近似求解：先確定初始的前后向線性預測系數估計，再利用前后向線性預測系數估計通過求解如下的線性問題確定缺失的元素，然后利用上述前后向線性預測關系由補全的數據矩陣更新前后向線性預測系數估計，最后重復上述過程，直至前后向線性預測方程的擬合誤差足夠小或收斂到一個穩定的數值：

3 實例分析與應用

子空間分析方法在目標定位中的應用例子很多，包括時頻混疊的多信號高分辨率空間譜測向交叉定位、測距（距離差）定位［4-5］、多普勒頻率差定位等［6］。但是，當數據矩陣存在缺失的元素時，常規的子空間分析方法不再適用。

以測距定位為例子，在如下的由距離測量確定的測距矩陣中，rk是目標到第k個信號接收站的距離，dmn是第m個信號接收站到第n個信號接收站的距離［7-9］（k，m，n=1，2，3）：

該測距矩陣又可以寫成：

其中（xk，yk）是第k個信號接收站的位置坐標，k=1，2，3，（x0，y0）是目標的未知位置坐標?？梢姡鲜鰷y距矩陣是一個低秩矩陣，有：

其中（s1，s2，s3）是測距矩陣的零特征值對應的特征向量。因此，由測距矩陣的子空間分析即可確定其零特征值對應的特征向量，由此代入上式即可確定目標位置。

考慮到每個距離測量都要消耗信號帶寬、信息傳輸、計算處理、能量等資源，在資源受限、信號受到干擾、信號傳播條件被破壞等情況下，測距矩陣中將存在缺失的元素，難以直接利用非完整的測距矩陣快速提取目標位置信息。

常規處理方法是先利用完整的測距矩陣的低秩特性恢復缺失的數據，再采用現有的子空間分析方法進行定位估計［10］。這種方法是在走彎路，實際上可以利用完整的測距矩陣的低秩特性直接確定目標的位置參數，而不需要恢復缺失的數據。當缺失的數據較多時，直接估計參數的方法可以滿足實時定位理的要求。

4 結論

信號或數據矩陣的子空間分析為我們在高維空間中認識、分析和處理信號與數據提供了一種重要的工具，當實際應用中遇到信號和數據矩陣中的元素出現缺失的情況時，需要發展非完整矩陣的子空間分析方法，在實現性能優化的同時，滿足資源優化的需要。

［1］游鴻，黃建國.子空間投影DOA估計算法分析及合成空間譜［J］.航空學報，2008，29（5）:1334-1339.

［2］朱翠.具有非完整信息系統的濾波和數據融合算法研究［D］.北京:北京理工大學，2014.

［3］史杰，鐘雄虎，宋叔飚，等.基于前后向線性預測的時變參數估計方法研究［J］.計算機測量與控制，2006，14（11）:1515-1518.

［4］Huang J Y，Wan Q，Wang P.Minimum mean square error estimator for mobile location using time-difference-of-arrival measurements［J］.IET Radar，Sonar&Navigation，2011，5（2）:137-143.

［5］He-Wen Wei，RongPeng，Qun Wan，et al.Multidimensional Scaling Analysis for Passive Moving Target Localization with TDOA and FDOA Measurements［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58（3）:1677-1688.

［6］肖尚輝，江毅.基于頻域子空間的UWB信道時延估計算法研究［J］.西南民族大學學報自然科學版，2007，33（3）:563-567.

［7］Qin S，Wan Q，Duan L F.Fast and efficient multidimensional scaling algorithm for mobile positioning［J］.IET Signal Processing，2012，6（9）:857-861.

［8］Qin S，Wan Q，Chen Z X.A Fast Multidimensional Scaling Analysis for Mobile Positioning［J］.IET Signal Processing，2011，5（1）:81-84.

［9］Qin S Q.Wan Z X.Fast subspace approach for mobile positioning with time-of-arrival measurements［J］.IET Communications，2011，5（14）:2035-2039.

［10］Fei Wen，Qun Wan，Hewen Wei，et al.Improved MUSIC Algorithm for Multiple Noncoherent Subarrays［J］.IEEE Signal Processing Letters，2014，21（5）:527-530.

（責任編輯楊繼森）

Incomplete Matrix Analysis and Its Application to Target Localization

ZHAO Qi1，HU Ze-peng2，TANG Si-long3，WAN Qun2
（1.Radio Monitoring Station of Jilin Province，Changchun130000，China；2.School of Electronic Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China；3.Tongfang Electronic Science and Technology Co.，Ltd.，Jiujiang 332007，China）

Understanding，analyzing and processing signals and data in high-dimensional space is an important method of modern signal and information processing.In this way，we can simplify the original problem to how to either determine or optimize linear relationship between dots，line and surface，and to overcome the problems such as performance analysis and practical implementation caused by nonlinear processing.However，we are often encountered with the absence of a part of signal and matrix elements in practice，which increases the difficulty of the subspace analysis.In this paper，we studied the subspace method of incomplete matrix and its applications to target localization through a few simple examples and provided the methods of performance optimization and resource optimization.

incomplete matrix；subspace analysis；target localization

趙琦，胡澤鵬，湯四龍，等.非完整矩陣的分析及其在目標定位中的應用［J］.四川兵工學報，2015（11）：95-97.

format：ZHAO Qi，HU Ze-peng，TANG Si-long，et al.Incomplete Matrix Analysis and Its Application to Target Localization［J］.Journal of Sichuan Ordnance，2015（11）：95-97.

TN957

A

1006-0707（2015）11-0095-03

10.11809/scbgxb2015.11.025

2015-05-04

國家自然科學基金（61172140）

趙琦（1972—），男，高級工程師，主要從事無線通信及信號監測研究。