動態目標的電磁散射模型

周城宏，錢衛平，郭永強

（北京跟蹤與通信技術研究所空間目標測量重點實驗室，北京100094）

動態目標的電磁散射模型

周城宏，錢衛平，郭永強

（北京跟蹤與通信技術研究所空間目標測量重點實驗室，北京100094）

雷達靜態目標的電磁散射特性可用成熟的電磁計算方法精確求解，動態目標則需在準靜態原理假設下近似計算；基于Maxwell方程組和入射電磁場邊界條件在雷達參考系和目標參考系相互轉換規律，在目標參考系中構建了動態電磁散射問題的精確數學形式——非均勻邊界條件下的Maxwell方程求解問題；隨后討論了準靜態近似的理論依據，指出其適用范圍局限于非相對論速度的動態目標。

剛體運動；電磁散射；參考系轉換；準靜態原理

電磁散射［1-3］是散射體被電磁波照射產生等效激勵源并在空間場點激發散射電磁場的過程，其數學本質是在入射電磁場邊界條件和介質本構方程約束條件下對Maxwell方程求解。電磁散射是研究目標散射特性的成熟理論，一般問題可用矩量法、有限元法和時域有限差分法等通用電磁計算方法精確求解。對于雷達目標而言，其散射特性決定于目標的幾何形狀與結構、材料組成與分布、運動狀態與姿態，以及入射電磁波的頻率和極化等特征［1］。為抽象出主要特征，通常將雷達目標散射場景簡化為靜態目標的單頻平面電磁波照射，散射體與諧振電磁場構成了穩態系統。動態目標由于姿態的連續變化，激勵源與散射場均隨時間變化，系統處于非平衡態。為此可采用多個不同靜止姿態場景將運動狀態離散的方式對非穩態電磁散射進行刻畫，其基本假設是準靜態原理，即將動態目標的電磁散射強度近似等于當前姿態下靜止目標的散射強度，以多個靜態序列近似表征動態情形。

準靜態近似具有一定的合理性［4］，可從目標電磁散射弛豫時間的角度定性分析，如何從電磁散射基本原理出發刻畫其數學本質卻值得深入研究，需先對動態目標的電磁散射問題進行精確刻畫。在雷達系中，目標的時變狀態使得激勵源與散射場隨之變化，非平衡態散射系統無法以簡便的形式精確表征。如果基于Maxwell方程組和入射電磁場邊界條件在雷達參考系和目標參考系相互轉換規律，將散射問題從雷達參考系轉換到目標參考系，則動態目標電磁散射問題轉化成了時變入射邊界條件的靜態目標散射問題，再將該問題的解逆變換回雷達參考系即為最終解。立足于如上出發點，本文提出了基于參考系變換的動態目標電磁散射模型，給出了目標參考系中的電磁散射問題的數學形式，并揭示了準靜態近似的數學合理性。

1 基于參考系變換的電磁散射模型

雷達參考系中動態目標電磁散射問題只能在準靜態原理下近似求解，若將其變換到目標參考系中，理論上可以得到散射問題解的精確形式。

1.1 散射問題的參考系變換

電磁散射過程可視為一個散射體對入射電磁場邊界條件的響應，可記為EMScattering，系統輸入為入射電磁場（Ei，Hi），系統輸出為散射電磁場（Es，Hs），則該過程可表示為

（Ei，Hi）在雷達參考系和目標參考系分別記為，相應地散射場記為，若雷達系向目標系的參考系變換記為Trans，Trans-1表示目標系向雷達系的變換［5］，則

式（2）可表示為以下過程圖（圖1）：

圖1 散射問題的參考系變換

散射問題的方程、邊界條件和解的變換，均可表示為電磁場在雷達系與目標系之間的相互轉換。剛體目標的運動分為平動和轉動，與之相應的目標系相對雷達系而言分別為平動參考系和轉動參考系。在給定時刻t，瞬時平動參考系為慣性參考系，電磁場從雷達系向目標系的轉換滿足洛倫茲變換，瞬時轉動參考系為勻速轉動參考系，電磁場轉換滿足旋轉洛倫茲變換，對目標給定參考點，旋轉洛倫茲變換等效為洛倫茲變換。

1.2 目標參考系電磁散射

在目標系中，電磁場遵循基本電磁規律，用Maxwell方程組和各向同性介質本構方程D=εE，B=μH，J=σE表征，其中，ε、μ和σ分別表示介質的介電常數、磁導率和電導率，在已知入射電磁場邊界條件的情況下，可對本構介質約束下的偏微分方程組進行求解：

對于一般空間目標探測場景，雷達照射的電磁波以單頻平面電磁波表征。因此，雷達系中入射電磁場在空間均勻分布，頻率fc唯一。波在相對運動不同參考系下觀測結果不同，即呈現多普勒效應，雷達照射電磁波的頻率調制滿足電磁場在不同瞬時參考系間的洛倫茲變換［6］。若散射微元r'的雷達視向速度為v（r'），在與散射微元r'相對靜止的慣性參考系中，接收到的雷達照射頻率滿足

其中，β=v/c。因此，若空間目標各散射元的視向速度不同，則在目標參考系中接收到的電磁場的頻率不再唯一，呈現與散射元雷達視向速度相關的分布；若目標相對雷達只有平動，則各部分的入射邊界條件仍舊為均勻分布，照射電磁波的頻率為f'。利用電磁散射解析或數值方法可以對目標參考系中非均勻邊界條件的偏微分方程組進行求解。

1.3 散射場的逆變換

在目標參考系下對散射問題求解獲得空間散射場后，需將其逆變換回雷達參考系，可獲得雷達系中準確的觀測結果?？臻g場點r的散射場Es（r），Hs（r）是散射體所有微元貢獻的疊加，可用積分形式表示：

其中Es（r|r'），Hs（r|r'）表示散射體源點r'∈Ω在空間場點r的貢獻，包含強度、頻率和相位信息，積分范圍為散射問題求解域，Ω表示散射體所在區域，理想導體或均勻介質散射體的求解域退化為散射體邊界Ω。在雷達參考系中觀測結果表示為

考慮雷達系與目標系的相互變換，則有

若目標為平動，各散射元貢獻散射場頻率相等；若目標存在轉動模式，則雷達參考系觀測到的散射場存在多個頻率分量。

2 準靜態原理

依據雷達參考系和目標參考系之間電磁場的相互轉換關系，可以在理論上對任何動態目標的電磁散射問題進行精確求解。準靜態原理在一定程度上簡化了上述求解過程，本節將討論這種簡化的數學本質及其合理性和適用性。

對于動態目標與入射電磁場構成的非平衡態系統而言，系統變化的原因是目標的運動狀態。在非常小的時間尺度T，運動目標的運動狀態根據準靜態假設處于近似恒定狀態。因而，目標在運動狀態相空間中的演變可以近似表征為一系列的準靜態序列。因此，運動目標的電磁散射過程可以用一系列與運動狀態的準靜態相對應的電磁散射準靜態近似。給定時刻的電磁散射動態系統，運動散射體對入射電磁場的散射作用等于該時刻準靜態的運動狀態對散射體的調制作用。動態目標的電磁散射強度等于當前姿態下靜止目標的散射強度，動目標對于入射電磁場的頻率調制等于當前目標速度的調制結果。即

因此，基于準靜態假設近似，即將運動散射元的散射強度和靜止散射元的散射強度等同，等價于將如下兩個電磁散射問題的解等同，問題A在雷達參考系中，入射電磁場邊界條件為（Ei，Hi），準靜態散射體的散射場，；問題B在目標參考系中，入射電磁場邊界條件為（Ei（r'），Hi（r'）），散射體的散射場。A和B滿足相同的電磁學規律，可用相同的數學形式刻畫，其區別在于邊界條件的形式差異。因此，準靜態假設的實質是將電磁散射偏微分方程（或其等價積分方程）的邊界條件入射電磁場，從（Ei（r'），Hi（r'））空間分布形式近似為（Ei，Hi）的均勻分布形式。入射場的偏差為（δEi（r'），δHi（r'）），其中δEi（r'）=Ei（r'）-Ei，δHi（r'）=Hi（r'）-Hi。散射場［Es（r），Hs（r）］，為入射場［Ei（r'），Hi（r'）］的泛函，表示在給定邊界條件對電磁散射的偏微分方程的求解，電磁散射的精確解為EMScattering（Ei（r'），Hi（r'））類似地，準靜態近似解為EMScattering（Ei，Hi），偏差［δEs（r），δHs（r）］= EMScattering［δEi（r'），δHi（r'）］。若（δEi（r'），δHi（r'））為小量，即為小量，則由此引發的散射場偏差也為小量［7］。對于雷達目標而言，其運動均處于非相對論層面，電磁散射入射場的精確形式與近似形式主要體現在微小的多普勒頻移上，多普勒頻移相對雷達信號的載頻及其微小，因而可以認為入射場準靜態近似是小量近似，從而可得散射場的近似解與精確解的偏差為小量，因而雷達目標的準靜態近似合理的。

3 結束語

本文從電磁場在雷達參考系和目標參考系的相互轉換關系出發，構建了適用于動態目標的精確電磁散射模型，模型立足于目標參考系中非均勻邊界條件電磁散射問題的求解，化解了雷達參考系中的非穩態電磁系統的復雜表征，具有一定的普適性，適用于任何幾何、材料和運動形式的空間目標。在對模型分析的基礎上，討論了基于準靜態原理的動態目標電磁散射計算的合理性和適用范圍。

［1］盛新慶.計算電磁學要論［M］.中國科學技術大學出版社，2008.

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［4］向道樸.微多普勒回波模擬與微動特征提取技術研究［D］.長沙:國防科學技術大學，2010.

［5］趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程:電磁學［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［6］鐘珊珊.沖擊線性信號的神經網絡仿真［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2014，31（1）:69-73.

［7］Chen V.The micro-Doppler effect in radar［M］.Artech House，2011.

［8］Dieudonné J.History of Functional Analysis［M］.North-Holland，1983.

（責任編輯楊繼森）

EM Scattering Model of Dynamic Rigid Target

ZHOU Cheng-hong，QIAN Wei-ping，GUO Yong-qiang
（Key Laboratory for Space Target Measurements，Beijing Institute of Tracking and Telecommunications Technology，Beijing 100094，China）

The EM scattering properties of static radar targets can be calculated accurately with mature computational EM methods，while dynamic targets are approximated under the quasi-static principle. Based on the transformation of Maxwell's equations and electromagnetic field boundary condition between radar reference frame and target reference frame，a mathematical of dynamic EM scattering problem，the so-called Maxwell's equations problems with non-uniform boundary condition，was put forward in target reference frame.Besides，the theoretical basis of quasi-static approximation was discussed，and we pointed out that it is appropriate for target with sub-relativistic velocity.

rigid motion；EM scattering；reference frame transformation；quasi-static principle

周城宏，錢衛平，郭永強.動態目標的電磁散射模型［J］.四川兵工學報，2015（11）：138-140.

format：ZHOU Cheng-hong，QIAN Wei-ping，GUO Yong-qiang.EM Scattering Model of Dynamic Rigid Target［J］. Journal of Sichuan Ordnance，2015（11）：138-140.

TM15

A

1006-0707（2015）11-0138-03

10.11809/scbgxb2015.11.037

2015-06-02

周城宏（1989—），男，助理研究員，主要從事認知雷達、雷達目標特性研究。