產(chǎn)品最優(yōu)求解問題中運籌學方法的應用

張青等

【關鍵詞】運籌學；最優(yōu)利潤；最優(yōu)產(chǎn)量；線性規(guī)劃；動態(tài)規(guī)劃；決策

“韓信點兵，多多益善”，“運籌”本意是算籌，后引伸為謀略，最早出于漢高祖劉邦對張良的一句評價：“運籌帷幄之中，決勝千里之外。”現(xiàn)代運籌學的起源可追溯到某些機構的管理中最先試用的科學手段 ，現(xiàn)在普遍認為，運籌學是從第二次世界上大戰(zhàn)初期的軍事任務開始的。所謂運籌學，是應用于數(shù)學的和形式科學的跨領域研究，利用統(tǒng)計學、數(shù)學模型等方法去尋找復雜問題的最佳答案。韓信點兵，并不僅僅是多多益善的問題，而更重要的卻是“運籌帷幄”問題，否則將難以發(fā)揮一個組織系統(tǒng)的效率和作用。運籌學作為一門新興科學，貫穿著效率和資源最優(yōu)化的原則，在社會生活的廣泛領域有著實用和科學的價值。對現(xiàn)實中的復雜問題，都可以用運籌學的方法進行解決，并改善和優(yōu)化現(xiàn)有系統(tǒng)的效率。本文意圖從運籌學在經(jīng)濟管理中的廣泛運用這一方面出發(fā)，分析、論證其對經(jīng)濟管理系統(tǒng)進行定量分析和決策，以及對經(jīng)濟管理系統(tǒng)中人力、物力、財力等資源進行系統(tǒng)安排的過程，進而得出運籌學具有實現(xiàn)科學管理，為決策者提供最佳方案，取得最優(yōu)經(jīng)濟效益的實效性和科學性的結論。

1 產(chǎn)品最優(yōu)求解問題中運籌方法運用的一般步驟

在產(chǎn)品最優(yōu)求解問題中，經(jīng)常用到的是運籌學里的兩個分支：線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃，用它們來求產(chǎn)品最優(yōu)求解問題時的主要步驟如下：

1.1 在運用線性規(guī)劃和單純形法解決實際問題時建立數(shù)學模型一般有以下三個步驟：

（1） 提出來需要解決的問題并建立變量；

（2） 確定目標函數(shù)；

（3）分析問題所處的環(huán)境以及約束條件。

1.2 動態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟

設計一個標準的動態(tài)規(guī)劃算法，通常可按以下幾個步驟進行：

（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻畫其結構特征。

（2）遞歸的定義最優(yōu)解。

（3）以自底向上或自頂向下的記憶化方式計算出最優(yōu)值。

（4）根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構造問題的最優(yōu)解。

2 產(chǎn)品最優(yōu)利潤求解問題中運籌方法的運用

應用學科的科學性體現(xiàn)在其具備有效的科學方法上，運籌學在經(jīng)濟管理中的方法主要有線性規(guī)劃。在經(jīng)濟管理中，線性規(guī)劃是目前應用最廣泛的、比較成熟的一種優(yōu)化法，它經(jīng)常運用在生產(chǎn)計劃、物資調(diào)用、資源優(yōu)化配置等方面。作為生產(chǎn)經(jīng)營管理者，常常會遇到的這類問題：一是如何有效協(xié)調(diào)、解決勞動力、資金等資源條件之間矛盾，爭取資源最大效益化；二是針對某一特定的工作目標時，如何合理組織生產(chǎn)，安排工藝流程，調(diào)整產(chǎn)品的成份，以使資源消耗最少。

例1：多品種多步驟產(chǎn)品最優(yōu)利潤求解模型研究

某生產(chǎn)車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品都要經(jīng)過兩道工序，即在設備A和設備B上加工，但兩種產(chǎn)品的單位利潤卻不相同。已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的有效時間（單位：小時）及利潤見表1。問生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，才能使所獲利潤最大。

分析：該問題所需確定的是甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，先建立其數(shù)學模型。

設x1，x2分別表示產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙的產(chǎn)量，x1，x2稱為決策變量，根據(jù)問題所給的條件有

上述問題要確定的目標是：如何確定產(chǎn)量x1和x2，才能使所獲利潤為最大。利潤的獲取和x1，x2密切相關，以f表示利潤，則得到一個線性函數(shù)式

所給問題的目標是要使線性函數(shù)f取得最大值，即目標函數(shù)是

以上是決策變量x1，x2受限的條件，把它們合起來稱之為約束條件。

則本例的數(shù)學模型可歸結為：

引入松馳變量x3，x4，將問題化為標準形式：

目標函數(shù)改寫為

將約束條件的增廣矩陣和改寫后的目標函數(shù)的系數(shù)填入下表中，得到的表稱為單純形表：

因表1中檢驗數(shù)非正，得最優(yōu)解，除去松馳變量后得；它表示：甲產(chǎn)品生產(chǎn)10件，乙產(chǎn)品生產(chǎn)15件時，最大利潤為1100元。

3 產(chǎn)品最優(yōu)產(chǎn)量求解問題中運籌放得運用

事物的發(fā)展往往復雜的、多變的，線性規(guī)劃和單純形法不能解決一些復雜問題，因此動態(tài)規(guī)劃逐漸發(fā)展成為運籌學的一個分支。動態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解。對于經(jīng)濟管理中法最短路線、資源分配、設備更新、庫存管理、裝載等問題，用動態(tài)規(guī)劃方法可以很方便地求解。當然，動態(tài)規(guī)劃也不是萬能的，有它的局限性，適合用動態(tài)規(guī)劃解決問題必須滿足最優(yōu)化原理和無后效性法的條件。

例2：不同產(chǎn)品負荷下最優(yōu)產(chǎn)量動態(tài)規(guī)劃研究

某工廠購進1000臺機床，每臺機床都可在高、低兩種不同的負荷下進行生產(chǎn)，在高負荷下生產(chǎn)的產(chǎn)量函數(shù)為g（x）=10x（單位：百件），其中x為投入生產(chǎn)的機床數(shù)量，年完好率為；在低負荷下生產(chǎn)的產(chǎn)量函數(shù)為h（y）=6y（單位：百件），其中y為投人生產(chǎn)的機床數(shù)量，年完好率為b=0.9。計劃連續(xù)使用5年，試問每年如何安排機床在高、低負荷下的生產(chǎn)計劃，使在五年內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品總產(chǎn)量達到最高。

分析：狀態(tài)變量sk取為第k年度度初具有的完好機床臺數(shù)。

決策變量xk為第k年度中分配在高負荷下生產(chǎn)的機器臺數(shù)，則為第k年度中分配在低負荷下生產(chǎn)的機器臺數(shù)（假定xk、sk皆為連續(xù)變量）。

狀態(tài)轉移方方程為：

第k年度的產(chǎn)量為：

最優(yōu)值函數(shù)表示擁有機床數(shù)為sk時，從第k年度至第五年度采取最優(yōu)分配方案進行生產(chǎn)時所獲得的最大總產(chǎn)量。

則動態(tài)規(guī)劃的基本方程為：

再從第5年度開始，用逆推歸納法進行計算。

計算結果表明：最優(yōu)策略為

。

即頭兩年應該把年初全部機床投入低負荷生產(chǎn)，后三年應該把年初全部機床投入高負荷生產(chǎn)。這樣會使產(chǎn)量最高，最高產(chǎn)量為29139百件產(chǎn)品。而且，從求解的過程中反過來就能確定每年年初的狀態(tài)，即每年年初所擁有的完好機器臺數(shù)。已知s1=1000，于是可得如下結論：第一年將1000臺機器全部投入到低負荷下進行生產(chǎn)，第一年末機床完好數(shù)是900臺，第二年將900臺機器繼續(xù)投入到低負荷下進行生產(chǎn)，第二年末機床完好數(shù)是810臺，第三年將810臺機床全部投入到高負荷下進行生產(chǎn)，第三年末機床完好數(shù)是567臺，第四年將567臺機床全部投入到高負荷下進行生產(chǎn)，第四年末機床完好數(shù)是397臺，第五年將397臺機床投入到高負荷下進行生產(chǎn)，這樣第五年末剩下的完好機床數(shù)是278臺，五年生產(chǎn)產(chǎn)品總數(shù)為29139（百件）。

隨著科學和經(jīng)濟的發(fā)展和進步，運籌學也不斷的發(fā)展完善成為近代應用數(shù)學的一個重要分支，它將生產(chǎn)經(jīng)營中的一些難以解決的問題模型化，然后用運籌學的方法加以解決，為決策者提供定量、定性分析，幫助決策者做出最優(yōu)決策。

參考文獻

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