淺析數學思想在高中數學教學中的運用

周章權

【摘 要】在高中數學的教學中，最核心的教學理念是數學思想，是保證學生學好數學的重要基礎保障和途徑。重視和加強數學思想在高中數學教學中的滲透，對于促進加深學生對數學知識的掌握有著重要的指導意義。本文從高中數學中最常見的三種數學思想進行分析討論，通過其應用原理的分析，進一步了解這三種數學思想在數學教學中應用價值，為高中數學的教學指導提供參考資料。

【關鍵詞】數學思想；高中數學；應用

在高中數學的教學中，數學思想的運用相當廣泛，最常見的數學思想有四種，分別是轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想。其中，函數與方程就是通過實現函數與方程的的構建，來解答數學題目，一般在數列、不等式、立體幾何、解析幾何以及概率統計中也都有應用。除了在選擇題和填空題中出現之外，在解答題中的應用更為深刻，重在研究問題中變量的運動，尋找等量關系。本文將針對前面三種數學思想進行簡單論述。

一、轉化思想

轉化思想就是實現等價轉化，該思想方式主要是通過將未知的數學問題于一定條件下轉化成已知的數學知識，來解決數學問題。教師對學生進行引導，利用已經掌握的知識和解題技巧，實現問題的簡化，從而解決數學問題。由于轉化思想的簡單、靈活性、成功率高等特點，等價轉化被教師廣泛運用于數學教學中，成為教學中最常見和實用的數學方式。另外，任何一種思想方法的運用都不是隨意、無章法使用的，在等價轉化的使用中，要以形與形、數與數、數與形之間的關聯為前提，合理根據要求進行轉化。轉化思想的運用，有助于學生思維能力的培養，促進學生對于數學解題方法的靈活運用。

例題“設a，b∈R，且，3a2+2b2=6a求a2+b2的范圍”，在這個題目中，其解題思路是：有兩個未知變量a、b，一般情況下，要進行等價轉化來消除或者是減少未知變量，設參數為k=a2+b2，此題保留主變量a，那么b2=a2-k，為了消除變量b，將題設條件代入等式，變化得到關于a的函數式之后，根據已知限定條件a、b∈R，在特定區間求值域，逐步確定的取值范圍，也就是本題所要的答案（a2+b2）∈[0，4]。

二、數形結合思想

數形結合，就是實現數字和圖形的結合使用，實現代數問題和幾何問題的轉化互助利用，達到解決數學問題的目的，是數學教學中很重要的思想方法。數量與文字以及圖形之間存在著等量關系，將數量與圖形相互轉換來解決數學問題。根據數學題目出現形式的不同，其最終應用細節就存在于兩個方面：一方面是借助圖形將這些數量或文字形象化、生動化，讓人們能夠更直觀、鮮明地了解數量關系，譬如極限函數、周期函數等。另一方面則是通過數量和文字將圖形進行準確性描述，使問題信息表達更加規范，更加具有嚴密性。數形結合的本質是將復雜的問題簡單化，通過更加清晰且準確的表達形式來體現，體現了這一數學思想具有的靈活性、多變性及嚴謹性。數字與圖形的相輔相成、互相影響，讓解題思路更加清晰、明朗，有效促進數學問題的解決效率提高，實現學習的事半功倍。

例題“若方程■=x-m，有兩個不等根，那么實數m的取值范圍是”，根據題目意思，我們可以視曲線y=■與直線y=x-m，在坐標上有交點，而且至少是兩個點，根據此信息，曲線是一個以坐標（0，0）為圓心的半圓，而且處于橫軸x上方，直線則是一條傾斜夾角45°、與縱軸y相交截距為-m，我們可以將圖作出（如下圖），要保證兩線相交的點至少有兩個，也就是要滿足條件-m∈[1，■），因此m的取值范圍是（-■，-1]。數形結合的數學思想將數字信息直觀化、簡單化，為數學問題的分析節約了時間，提高了學習效率。

三、分類討論思想

分類討論，就是將從復雜的數學問題中發現規律、總結規律，然后進行針對性分類討論和研究，以全方面多角度的進行數學問題的解決。通過歸納總結，探索出解決相關數學難題的有效方法和途徑，可以有效縮短解題時間，提高學習效率。分類討論的思想具有歸納性、總結性、邏輯條理性、探索性以及創新性等多重特點，因此，在對學生的綜合性自主性能力的培養上有著重要作用。

例題“設函數f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，要求判斷函數f（x）的奇偶性，并求f（x）的最小值。”在此題中，考慮到有絕對值符號和參數，首先就需要判斷參數a是否等于零，則

當a=0時，函數f（-x）=（-x）2+|-x|+1=f（x），則函數為偶函數，

當a≠0時，函數f（a）=a2+1，f（-a）=x2+2|a|+1。

也就是說明f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）

那么，根據函數的定義，函數就不是奇函數也不是偶函數。

求函數最小值時，要考慮去絕對值符號，要做到分類劃分區段無重復、討論遺漏。首先要考慮x與a的大小關系，當x≤a與x≥a時，列出的不同函數表達式，在不同的表達式中，參數又要根據某一個數值進行范圍討論，根據函數在某一區間的單調性進行最小值進行確定。在這一步的整個解答過程中，學生不僅要考慮分組討論，還要注意分組中的深度細分，這就要求學生有很好的歸納整理和邏輯思維能力，避免在討論解答中出現遺漏或者重復，具有條理性、標準性，保證思路清晰，解答正確。

因此，在高中數學的教學中，教師對于分類討論這一數學思想的培養要引起高度的重視。分類討論思想不僅能培養學生學習數學各方面的能力，也是對學生整個思維邏輯和思維模式的培養創造了條件，只有這樣才能更有效地培養學生探究問題的能力和思維的發展具有很重要的教育意義。

結語

綜上所述，數學思想在高中數學教學中的合理化運用，不僅可以拓展學生的數學思維，還能提高教師的教學效果，體現教師教學水平。因此，教師應該充分認識到數學思想的重要性，在教學中提高自身的數學思想意識前提下，對學生進行言傳身教，在潛移默化中引導和培養學生的數學思想習慣，形成良好的思維模式，讓學生將數學思想與實際數學課程進行有機融合，倡導和鼓勵學生進行多種數學思想的綜合性運用。在有效的數學思想運用機制中，實現知識的全面滲透、共享，有助于提高學生的數學學習思維和能力，實現數學教學的根本目的。

【參考文獻】

[1]黃多貴.淺談分類討論在高中數學中的教學[J].中國科教創新導刊，2008（9）

[2]張建虎.數列中的幾種數學思想[J].中學課程輔導（高考高三語數外），2013（5）

（作者單位：福建省連江縣文筆中學）