淺談運用變式教學培養學生的創造性思維

陸曉峰

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）21-0072-02

“創新是一個民族進步的靈魂”，創新能力培養的關鍵是培養學生的創造性思維，那么什么是創造性思維？創造性思維是指對所用的材料，從新的角度，用新的程序方法處理加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創造性思維的基礎是發散思維，變式教學具有多元化、多途徑、開放式的設問和變化， 因此在教學中發散思維培養的關鍵是變式教學，那么如何進行變式教學？

變式教學要把握“變”的切入點，可以從對知識的理解上切入、從對方法的反思上切入、從對條件的反思上切入、從問題的呈現形式上切入，變條件、變形式、變結構、變內容改變為一個新題，都是構造變式的有效方法。在教學方法上采用探究式的教學， 讓學生通過對“變”這個過程的參與、體會、實踐，培養他們發散思維的能力和挖掘創新的潛力，激發他們對問題研究的激情，形成探究意識。下面結合案例談談變式教學的實踐。

例1 已知集合A =[1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A∪B ，求實數a 的取值范圍。

變式1 A = [1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A B ， 求a 的取值范圍。

變式2 A = [1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A B ， 求a 的取值范圍。

變式3 A = [1， a） ， B = （ - ∞，4） ，若A∪B ， 求a 的取值范圍。

點評：本題從條件加以變換，屬于一般層次變題。變式1 、2 只是對集合A 、B 的包含關系進行變換，變式3則是對集合本身進行變換，這種變換有助于培養學生的探究能力和創新意識。本題還可根據解答的結果對a 的范圍進行改造，反過來求集合A 與B 的包含關系，它又是原命題的逆向改造。

例2 已知一曲線是與兩定點O （0 ，0） 、A （3 ，0） 距離的比為的點的軌跡，求曲線的軌跡方程。

變式1 已知一曲線是與兩個定點O （0 ，0） 、A （3 ，0） 距離的比為k （ k > 0） 的點的軌跡， 求此曲線的方程， 并說明是什么曲線。

（略解） 由兩點間的距離公式，點M 所適合的條件可以表示為=k，將上式兩邊平方、化簡得（1-k2）x2+（1-k2）y2-6k2x-9k2=0，易知當k = 1 時曲線為直線；當k > 0 且k ≠1 時曲線為圓。

變式2 已知一曲線是到定點A （3 ，0） 的距離與到定直線x=的距離的比為的點的軌跡， 求此曲線的方程。

（略解） 由橢圓的第二定義知道，該軌跡是橢圓。

變式3 已知一曲線是到定點A （3 ，0） 的距離與到定直線x=的距離的比為的點的軌跡， 求此曲線的方程。

（略解） 由雙曲線的第二定義易知該軌跡是雙曲線。

變式4 已知一曲線是到定點A （3，0）的距離與到定直線x = - 3 的距離的比為1的點的軌跡，求此曲線的方程。

（略解） 易知該軌跡是拋物線。

點評：挖掘條件將其一般化，是設計變式的一種重要策略，變式1將條件從特殊化為一般，對曲線的形狀判定考察了分類討論的思想，提高學生應變能力，揭示數學本質；變式2、3、4，這是從較高層次變題，形相似質不同。進一步挖掘條件，將條件中兩定點其中一點變為直線加深了學生對圓錐曲線定義的理解，使學生對知識的學習做到融會貫通。

例3 tan20O+tan40O+tan20Otan40O=的變式教學

析：改變20O、40O兩個角，等式是否成立？改變題型結構我們可以得到：

變式1 tan？+tan？+tan？tan？=

變式2 能否得到一般性的結論？將問題一般化，得到命題：

若 + 60O，則tan +tan +tan tan =tan（ + ）。

變式3 能否改變 、 與常數，等式右邊仍然為常數？

tan？+tan？+tan？tan？=常數

變式4 能否進一步推廣？

tan +tan +tan tan =tan（ + ）

變式5 在“變式4”中若 + =225O，結論如何？

（1+tan ）（1+tan ）=2

變式6 若 + + =n ，n∈z結論如何？

tan +tan +tan =tan tan tan

變式7 令a=x-y， =y-x， =z-x結論如何？

tan（x-y）+tan（y-z）+tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z）tan（z-x）

點評：本題變式采用對命題條件與結論對調，探究逆命題是否成立，將條件從特殊化為一般，改變結構等技巧。教學中，引導學生主動參與探索，運用探究教學既改善了傳統的教學方式，也培養了學生學習數學的自主性、能動性和創造性，能促進學生形成良好的認知結構，鍛煉學生的數學思維能力，提升學生的數學素養。

例4 已知數列{an}滿足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，求an。

變式1：數列{an}中，已知an+2+an+1=6an，寫出符合條件的其中一個數列的通項公式。

解：an=2n，an=（-3）n，

an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

變式2：數列{an}中，已知a2=1，an+2+an+1=6an，寫出符合條件的其中一個數列的通項公式。

解：an=2n而an=（-3）n，則不符合

an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

a2=a·22+b·（-3）2時滿足。

即只要滿足4a+9b=1時就行。如a=或b=時，滿足。

變式3：數列{an}中，已知a1=1，an+2+an+1=6an。求數列an的通項公式。

解： an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

a1=a·21+b·（-3）1時滿足。

即只要滿足2a-3b=1時就行。如當a=或b=-時，滿足。

變式4：數列{an}中，已知a1=1，an+2+an+1=6an。求數列an的通項公式。

條件an+2+an+1=6an成立，則滿足：

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

條件a1=1成立，則滿足2a-3b=1

條件a2=1成立，則滿足4a+9b=1

三個條件同時滿足，則

所以：數列an的通項公式為an=·2n-·（-3）n。

點評：本題在變式技巧上從條件入手，先放棄一部分條件，也就是將原問題轉化為一個更一般的問題。約束條件少了，降低了門檻，使學生容易上手，再增加部分條件，使原題得到擴展，由淺入深，做到起點低、目標高，小綜合，遵循“由簡單到復雜，再由復雜到簡單”，充分體現化歸的數學思想，使學生觸類旁通，舉一反三，收到事半功倍的效果。

變式教學中采用“一題多變”，不僅能加深學生基礎知識的理解和掌握，更重要的是開發學生智力、激發學生學習興趣、提高思維靈活性，增強了發散思維能力，培養了學生的創造性思維。

（責任編輯 曾 卉）