整體最小二乘理論發展及其在測量中的應用

艾強等

【摘 要】經典的測量數據處理大多以最小二乘法為估計準則，但是隨著測量儀器精度的提高，測量數據處理的模型誤差已經不能忽略了。由于儀器、觀測人員以及環境等因素影響，這些隨機元素都包含有測量誤差，系數矩陣就變成了包含測量誤差的變量矩陣。如何解決好系數陣和觀測向量同時受高斯噪聲干擾的測量EIV模型成為了研究熱點。

【關鍵詞】測量數據處理 誤差模型 整體最小二乘

1整體最小二乘原理

針對觀測向量和系數矩陣同時包含誤差的模型，許多學者提出了有效的解決思路，最后由Golub和Van Loan對其進行歸納總結，提出并稱之為整體最小二乘法（TLS）。該方法是最小二乘法的補充和延伸，與最小二乘法相似但不相同。

我們用直線擬合的模型來探討整體最小二乘的原理并與最小二乘法作比較，整體最小二乘法既要考慮設計矩陣的誤差，又要考慮觀測向量的誤差，于是直線方程 可改寫為 ，其中， 為參數a，b的估值， 為橫坐標的真值 ，e為橫坐標x的觀測誤差。則直線方程可改寫為 ，式中 。按整體最小二乘法的原理，在保證系數陣的殘差與觀測值的殘差的二范數之和達到最小的條件下，仿照最小二乘的估計準則，求解出參數a，b的估值。即

在運算準則上，最小二乘法對觀測量的誤差平方和進行最小化約束，而整體最小二乘法則要求系數矩陣的誤差平方和與觀測值向量的殘差平方和兩者之和達到最小。它們之間的理論差異可以從如下的幾何圖形看出：

（1）LS（僅考慮y的誤差） （2）LS（僅考慮x的誤差） （3）TLS（同時考慮x，y的誤差）

圖（1）和（2）反映了最小二乘法的幾何意義：分別只考慮了觀測向量x、y的誤差，圖（3）則反映了整體最小二乘法的幾何意義：同時考慮x和y兩者的誤差，在兩者殘差平方和最小時求出。

Golub 和Van Loan提出了整體最小二乘法理論，并用奇異值分解方法（SVD）進行解算。

2整體最小二乘分類

（1）混合最小二乘。同時改正系數矩陣和觀測向量的誤差是整體最小二乘的基本思想，而在有些情況下，比如在直線（曲面）擬合、直角坐標轉換等模型中系數矩陣的某些固定元素不需要修正。所以，應區別對待不同的設計矩陣，分別采取LS法和TLS法求解相應的參數，這種處理方法簡稱混合最小二乘。

（2）多元整體最小二乘（MTLS）。在一些EIV模型中系數矩陣的某些元素重復出現，而且可以將方程組的觀測向量轉換為含有兩列以上的觀測值矩陣的形式。有學者提出了多元整體最小二乘法（MTLS），把觀測向量合理分割成幾列，避免了隨機元素重復出現，減弱了隨機元素間的相關性對解算結果的影響。

（3）加權整體最小二乘（WTLS）。普通整體最小二乘法將系數矩陣的所有元素進行改正，混合最小二乘法則區別對待系數矩陣的不同列。但兩種方法都假設觀測值等權，觀測向量、設計矩陣兩者的權陣均為單位陣。然而系數陣的常數元素以列與隨機元素的形式出現，而且很多情況下觀測值的精度是不同的。用普通的整體最小二乘法、混合最小二乘法、多元整體最小二乘法都有不足，所以就產生了加權整體最小二乘法。WTLS通過加入系數矩陣和觀測向量的權陣，可以考慮隨機元素的精度和固定系數矩陣中所有不含誤差的常數元素。

（4）附有約束條件的加權整體最小二乘。在測量數據處理過程中，可能會遇到所選未知數個數多于必要觀測個數，且選取的u個參數中，有n個相互獨立，有s=u-n個限制條件。數據處理時必須列出n個觀測方程和s個限制參數間關系的條件方程才能求得唯一的參數估值。

（5）改進的加權整體最小二乘（IWTLS）。將整體最小二乘法引入測量數據處理后，在用整體最小二乘法解算直角坐標轉換參數過程中，發現系數矩陣中有不需要修正的常數，還存在某些隨機元素重復出現的問題，重復元素之間肯定存在相關性。利用Vahid Mahboub提出的協方差陣構造方法，使得重復元素的改正數相等，改進原有的加權整體最小二乘法。

3整體最小二乘在測量中的應用

作為一種新的數據處理方法，整體最小二乘法很快引起了測繪學者的關注。Davis在赫爾默特變換的基礎上利用整體最小二乘法分析了土木工程設計中常用的擬合方法。Yavuz等在電離層層析成像研究中，利用整體最小二乘法對電離層電子密度進行反演，與傳統的正則化最小二乘法相比，反演計算的復雜性和圖像重構誤差都得到了一定程度的改善。Richard和Branham把整體最小二乘法作為天文測量中許多變量回歸問題處理的理想方法。Juang提出了基于整體最小二乘法的GPS定位和接收機完好性檢測模型。Felus、 Neitzel等提出將二維直角坐標的相似變換模型轉換為EIV模型，然后用整體最小二乘法解算。所以，整體最小二乘法在測繪領域的研究將越來越深入，應用將越來越廣泛。

參考文獻：

[1]魏木生.廣義最小二乘問題的理論和計算[M].北京：科學出版社，2006.

[2]劉永輝，魏木生.TLS和L3問題的比較[J].計算數學，2003，（04）：479一492.