等效載荷法在高周疲勞壽命分析中的應用

【摘 要】民機設計選材中，高周疲勞壽命是很關鍵的性能，但高周疲勞試驗存在周期長、成本高、試驗結果分散性大等特點，為保證最終擬合曲線具有足夠高的置信度（95%），使用傳統的Smax-logNf形式擬合法，通常需要進行大量試驗。在此提出新的基于等效載荷的擬合方式，在不影響置信度水平的前提下，可以使用更少的試樣獲得壽命曲線，且更有效評定應力或應力比對特定材料疲勞性能的影響，

【關鍵詞】民機選材 高周疲勞 S/N曲線 等效載荷法 Smax-logNf形式

民機設計選材中，高周疲勞壽命是很關鍵的性能，根據一般經驗，使用傳統的Smax-logNf形式擬合法獲得某一Kt、R參數下的高周疲勞曲線，通常需要進行大量試驗。傳統方法擬合結果如圖1所示，即便將曲線匯總到同一張圖表，實際上使用的仍是不同的擬合模型。

以附表1為例，數據涉及5個不同的應力比R。若使用傳統的Smax-logNf形式擬合法，需要分為5個模型進行擬合，且每個應力比所對應的曲線為滿足置信度需求，需要大量試驗（根據經驗，一般不低于45個試樣），很明顯表格中的數據量不夠，不足以生成所需的高周疲勞曲線。

為此，我們使用新的等效載荷法對數據進行分析。將同一類型試樣不同應力比的數據作為一個集合，使用統一的數學模型進行分析。該方法有效提高了樣本規模，且通過同一模型擬合，直觀反映應力比變化對特定材料高周疲勞壽命的影響。如圖2所示，針對附表1數據，使用等效載荷法進行擬合，通過一個統一的模型（式中，Seq為等效應力，Sa為根據循環應力曲線計算得到的平均應力，Sm為應力幅。Seq與R相關），僅使用少數試樣即獲得了5個不同應力比下的高周疲勞曲線。不論從節約試驗成本和周期的角度，還是從直觀表征應力比對對特定材料高周疲勞壽命影響的角度，該方法都具有極大的實用價值。

圖2 某結構鋼室溫疲勞曲線，Kt=1.0

1模型的選擇

等效載荷法通常使用以下模型：

……（1）

……（2）

通常，鋼使用公式2，鈦和鋁合金使用公式1，其中，鋁合金由于沒有明顯的疲勞極限，模型中A4取0。以附表1數據為例，該材料為結構鋼，故選擇公式2。

2模型參數計算

2.1模型選定后，首先對參數進行初始化

令A3=0.5，A4=Seq/2，將提前中止試樣數據假定為實際壽命數據列入計算，使用線性最小二乘法計算A1和A2初始值。如下：

A1=17.2，A2=-6.33，A3=0.5，A4=43.75

2.2對模型變異性進行校驗

使用以下模型計算擬合壽命的對數標準差：

；其中，Ri為擬合壽命的對數殘差，σ0≥0。

使用上一步獲得的A1～A4初始值計算Ri和對應的Seq，再用最小二乘法計算σ0和σ1及對應的90%置信區間。若σ1置信區間上界小于0，則數據可能有誤，需要進一步檢查；若σ1置信區間包含0（實踐中很少出現），則使用無加權模型對模型參數進行估算（也可繼續采用下述的加權模型進行分析）；若σ1置信區間下界高于0，則使用加權模型繼續對參數進行估算。

此處，σ0擬合值為-0.49，小于0，故將σ0置為0，重新擬合σ1=55.03，其置信區間下屆高于0。故，應當使用加權模型繼續分析。

2.3使用加權模型進行進一步估算

對模型進行加權調整，各項除以上一步計算獲得的對應各項的g（Seq）（注，因各項殘差Re不同，故g（Seq）不是常數），如下：

對上述模型進行非線性回歸（某些軟件，如Minitab可以進行該分析），計算得到A1～A4估計值如下：

A1=14.93；A2=-5.40；A3=0.47；A4=57.58

2.4對模型參數顯著性進行校驗

對上一步計算獲得的A2計算其90%置信區間。若置信區間上界為負，則說明logNf和Seq之間擬合關系顯著，否則需要進一步檢查數據源。

此處，A2置信區間上界為-3.9955，小于0，所以該模型擬合顯著性明顯，可以進行下一步分析。

2.5針對加權模型獲得的參數進一步進行修正

將上一步獲得的A3作為常數，重新計算g（Seq），并針對加權模型再次進行非線性回歸，重新估算A1、A2、A4。新的估算值如下：

A1=14.08；A2=-5.07；A3=0.47；A4=63.9

如果可能（有相應的計算軟件），還可以用極大似然法再對模型進行一次回歸，對提前中止試樣的破壞壽命進行估算，從而對模型參數進一步微調，通常使用極大似然法微調將得到稍大的A1和稍低的A2。此處，微調后的A1=14.2，A2=-5.10。

2.6計算擬合模型的標準化殘差

標準化殘差SRi=Ri/SD，其中：

；

將標準化殘差SRi與應力比R作圖，如圖3所示，若某一應力比所對應的SRi明顯偏離中線，則表明該應力比的數據嚴重偏離，擬合模型顯著性不佳。為定量表征這樣的擬合不足，可以使用Durbin-Watson校驗，使用以下統計量

，若 ，則認為擬合模型擬合不足的顯著度大于5%，應重新選擇新的擬合模型或去掉相應應力比數據再重新擬合。

此處，D=1.7179，下限為1.6407。因此，可以確定上述模型擬合顯著，如下：

圖3 標準化殘差SRi與應力比R關系圖

參考文獻：

[1]MMPDS，Metallic Materials PropertiesDevelopment and Standardization

[2]Montgomery， D.C. and Peck， E.A.， Introduction to Linear Regression Analysis， Wiley， New York （1982）

作者簡介：陳穎（1983—），男，研究生學歷，現任上海飛機設計研究院標準材料設計研究部工程師，主要工作方向為金屬材料設計用選材及金屬材料設計用許用值統計分析。