考慮車軌垂向耦合福州地鐵振源加速度研究*

鄭國琛， 祁　皚， 顏學淵

（1.福州大學土木工程學院 福州，350002） （2.福建省地震局福建地震災害預防中心 福州，350003）

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考慮車軌垂向耦合福州地鐵振源加速度研究*

鄭國琛1，2， 祁皚1， 顏學淵1

（1.福州大學土木工程學院 福州，350002） （2.福建省地震局福建地震災害預防中心 福州，350003）

為了研究福州地鐵振源系統加速度，進而可以直觀準確地分析土層傳播規律和衰減特性，筆者建立了車軌垂向耦合振動模型，應用了福州地鐵列車和軌道參數，計算了在一定車速下，振源系統各部的垂向加速度，并分析了車速的影響。結果表明，車體振動反映了自身的自振頻率；轉向架、輪對、支承塊和道床有一定的主頻集中區，且輪對和支承塊在高頻區還分別存在一個高頻赫茲接觸運動引起的第二主頻。振源系統的軌道扣件和塊下橡膠墊具有較好的減振能力，隨著車速的增加，垂向加速度逐漸增大，同時減振效果趨于穩定。

福州地鐵；垂向耦合；數值分析；振源加速度；振動主頻；減振效果

引 言

近年來，福州市開始興建地鐵工程，地鐵穿越城市中密集的居民區、商業中心，而且基本采用淺埋方式。隨著地鐵交通系統規模不斷擴大，地鐵隧道鄰近建筑物的情況越來越多，同時地鐵運行的總體密度逐步提高，振動的影響日益增大［1］。

地鐵振動引起的環境振動，本質上是由于地鐵列車運行時，車輪與軌道之間由于種種原因產生的相互作用而產生振動，即振源。振源加速度是誘發地面及建筑物振動的最主要因素，若能從加速度角度出發，研究車軌系統傳遞到道床的豎向加速度機制，對于進而分析土層傳播規律和衰減特性具有直觀性和準確性。縱觀國內外現有的研究成果，Chua K H等［2-4］和曹艷梅等［5-6］均從力的角度出發加以研究，即計算列車運行時，通過軌道作用于道床或路基上的動力時程，以該動力時程作為振源激勵，進而研究列車運行引起地基或結構物的振動，缺乏了對振源系統加速度和主頻變化的直觀表達。文獻［7］雖模擬了振源加速度，但是計算靜力引起的軌道和道床振源加速度，具有一定的片面性。

通過選擇福州市地鐵工程采用的列車及軌道參數，建立了具有兩個轉向架的4軸10自由度地鐵列車和彈性支承塊式無碴軌道垂向耦合的振動模型，通過載入相應的軌道不平順樣本，使用MATLAB軟件建立地鐵列車-軌道垂向耦合振動分析程序，得到了包括車體、轉向架、輪對、混凝土支承塊和道床這5個部分的垂向加速度和頻譜。另外，亦分析了列車車速對垂向加速度的影響，得到了有益的結論。

1 地鐵列車-軌道垂向耦合振動模型和振動方程的建立

一般而言，地鐵列車-軌道耦合振動可以分為垂向、橫向和縱向三個方面。由于輪軌滾動產生的縱向耦合效應較弱，常可視為準靜態作用，因此，從動力學角度而言，垂向和橫向振動是地鐵列車-軌道耦合振動的主要研究內容。又因為對于運動的列車，由于其移動軸重對下部地基的豎向激擾比橫向要大的多［7］，因此，為了突出重點，簡化計算過程，建立地鐵列車-軌道垂向系統模型進行振動分析和計算。垂向分析模型基本原則可參考文獻［8］。

1.1地鐵列車模型

由以上假定可以得出，對于地鐵列車-軌道垂向系統中的具有兩個轉向架的4軸地鐵列車客車計算自由度為10。車輛模型如圖1所示［8］。

圖中：Mc，Mt和Mw分別為車體、前后轉向架構架和輪對質量（kg）；Csz和Cpz分別為列車一系和二系懸掛阻尼（N·s/m）；Kpz和Ksz分別為列車一系和二系懸掛剛度（N/m）；βc和βt1，t2為車體和轉向架點頭角位移（rad）；Zt1，t2，Zw1～w4和Zc分別為轉向架、輪對和車體的豎向位移（m）；Jc和Jt為車體和轉向架構架點頭慣量（kg·m2）；Z01～04為4輪對下軌道不平順（m）；P1～4為4輪對的輪軌作用力（N）。

圖1　地鐵列車模型Fig.1 Model of metro train

其中：lc為車輛定距之半（m）；lt為轉向架固定軸距之半（m）；pi（t）為單側車輪的輪軌垂向作用力（i= 1～4）；F0i（t）為各輪對處激振力函數（i=1～4）。

1.2軌道模型

在模型中，鋼軌用Euler梁來模擬，混凝土支承塊簡化成質量塊單元，扣件提供了軌下垂向彈性和阻尼（即Kp和Cp）；支承塊下橡膠墊提供了支承塊下垂向彈性和阻尼（即Kb和Cb），如圖2所示。

圖2　彈性支承塊式無碴軌道模型Fig.2 Model of low vibration track（LVT）

圖中：mr為單位長度鋼軌質量（kg/m）；EI為鋼軌抗彎剛度（N/m2）；Cp，Cb，Cbw和Cf分別為軌下膠墊、塊下膠墊、道床塊和路基的垂向阻尼（N ·s/m）；Kp，Kb，Kbw和Kf分別為軌下膠墊、塊下膠墊、道床塊和路基的垂向剛度（N/m）；Cpz和Kpz分別為列車一系懸掛阻尼和剛度；Mb和Ms分別為道床塊和支承塊的質量（kg）；Zsi和Zr分別為第i號支承塊和鋼軌的垂向位移（m）；P1～4為輪軌接受四輪對作用力（N）。

（1）鋼軌的振動方程

將鋼軌視為簡支Euler梁，設軌道結構的振動位移變量為Zr（x，t），鋼軌的彈性模量為E，截面慣性量為I，則其振動微分方程為

其中：xi為i號支承塊的坐標，設支承塊間距為ls，

2 地鐵列車-軌道垂向耦合作用

在垂向平面內，車輛子系統與軌道子系統之間的耦合作用，是通過輪軌垂向接觸而實現的，具體表現為輪軌之間的垂向相互作用力［9］。而確定兩個彈性體（車輪和鋼軌）之間作用力的經典有效的方法是Hertz非線性彈性接觸模型。故應用Hertz非線性彈性接觸理論，可確定輪軌之間的垂向作用力［7］：

式中：G為輪軌接觸常數（m/N2/3）；δZ（t）為輪軌間的彈性壓縮量（m）。

輪軌間彈性壓縮量包括車輪靜壓縮量在內，可由輪軌接觸點處車輪和鋼軌的位移確定：

其中：Zwj（t）為t時刻第j位車輪的位移（m）；Zr（xwj，t）為t時刻第j位車輪下軌道結構位移（m）。

為了方便在頻域內的求解，可將輪軌接觸彈簧簡化為線性彈簧。可以定義Hertz接觸剛度［10］為

假定輪軌始終接觸，則式（17）在時域內的表達可簡化為

3 福州市地鐵振源加速度分析

3.1參數取值

依據《福州市地鐵1號線工程可行性研究報告-7車輛》和《福州市地鐵1號線工程可行性研究報告-12軌道》可知：福州地鐵使用B型地鐵列車，軌道參數如表1所示。

表1　地鐵軌道計算參數Tab.1 Design Conditions of Metro Track

福州地鐵大部擬采用DTⅥ2型扣件，其剛度和阻尼系數為

3.2垂向耦合系統隨機振動加速度特征分析

根據前文介紹的垂向振動理論，采用福州地鐵所使用的車廂參數和軌道參數，選用美國第六級軌道不平順功率譜。在80 km/h的車輛最高持續運行速度下，根據功率譜求出頻譜的幅值和隨機相位，然后通過傅里葉逆變換（IFFT）得到軌道不平順的時域模擬樣本，參與計算后得到以下各振動響應時程曲線，而后通過傅里葉變換（FFT）得出與時域相對應的頻域（頻譜）。時域內分析加速度振級的變化，頻域內分析加速度的頻率分布［11-12］。

由于考慮到鋼軌的計算范圍和車廂長度的限制，在列車運行1 s左右后各部分振動才可以達到穩定，因此在選擇了地鐵運行1～10 s這一段相對穩定的時間給出地鐵列車車體、構架和輪對垂向加速度時域和頻譜曲線，如圖3～5；由于地鐵列車編組通過時，對于每個單位荷載，支承塊具有大致相同的加速度激勵反應，為了凸顯加速度激勵過程，因此給出了單位荷載通過時的支承塊和道床振動加速度的時域曲線，如圖6～7。

圖3　車體垂向加速度反應曲線（80 km/h）Fig.3 Vertical acceleration response of carriages（80 km/ h）

圖4　轉向架垂向加速度反應曲線（80 km/h）Fig.4 Vertical acceleration response of bogies（80 km/h）

從圖中可以得到以下結論：

（1）從圖3中看出，車體垂向振動加速度最大值約為0.2 m/s2，通過時域轉化成頻譜分析，車體垂向振動主頻峰值1.05 Hz，與車體的自振頻率相同。

（2）從圖4～5中看出，轉向架和輪對垂向振動加速度最大值約為1.4和5.62 m/s2，兩者主頻集中分布在30 Hz左右，均以低頻振動為主；在1 Hz左右兩者均存在一個低頻起跳處，是由于車體振動激勵所引起的；轉向架高頻振動不明顯，而輪對高頻振動更為強烈，在高頻區（300～600 Hz）存在一個振動的反彈區，這是由于輪軌高頻赫茲接觸運動引起的，

（3）從圖6中看出，混凝土支承塊在列車車廂通過時有強烈的豎向振動，垂向振動加速度最大值為1.56 m/s2，和輪對的垂向振動加速度比，下降了2. 5倍，這說明采用的DTⅥ2扣件具有較好的減振效果。通過頻譜分析，支承塊的振動主頻集中在32～80 Hz之間，在250～500 Hz的高頻區段亦存在輪軌局部變形的赫茲接觸高頻振動，1 Hz左右的低頻起跳區已經消失，即車體振動已經被過濾。

（4）從圖7中看出，混凝土支承塊下方的道床延續了列車車廂通過時的豎向振動，垂向振動加速度最大值為1.31 m/s2，較支承塊垂向振動加速度下降了15.0％，是由于具有一定的減振能力的塊下膠墊所致。通過頻譜分析，道床的振動主頻集中在30～100 Hz，高頻區段不存在反彈區，應當是輪軌局部變形的赫茲接觸高頻振動被塊下橡膠墊過濾所致。

圖5　輪對垂向加速度反應曲線（80 km/h）Fig.5 Vertical Acceleration Response of Wheelset（80 km/h）

圖6　支承塊垂向加速度反應曲線（80 km/h）Fig.6 Vertical Acceleration Response of Supporting Blocks（80 km/h）

圖7　道床垂向加速度反應曲線（80 km/h）Fig.7 Vertical acceleration response of track Bed（80 km/h）

3.3地鐵列車車速影響分析

為了了解福州地鐵列車車速對各個部位垂向加速度的影響，在最高車速為80 km/h的限制下，文中選取了20，40，60 km/h和80 km/h四種車速，分別計算在車體、轉向架、輪對、支承塊和道床的垂向加速度最大值，計算的結果如圖8所示，為了凸顯輪軌扣件和塊下橡膠墊的減振效果，支承塊和道床的垂向加速度和減振效果如表2所示。

圖8　不同車速的垂向加速度最大值反應曲線Fig.8 Maximum vertical acceleration under different speed

表2　支承塊和道床減振效果Tab.2 Damping effect of supporting blocks and track bed

（1）從圖8中看出，車體、轉向架、輪對、支承塊和道床的垂向加速度隨著地鐵列車車速的增加而增大，增加幅度逐漸變緩；輪對的垂向加速度最大，說明在不同車速下，軌道扣件和塊下膠墊均具有較好的減振效果；車體的垂向加速度最小，且隨著車速增加幅度不明顯，說明車體的減振能力較強，乘坐的舒適型能得到保證。

（2）從表2和圖8中看出，當車速較低時（車速≤20 km/h），輪對和支承塊的垂向加速度基本一致，減振效果不明顯；隨著車速的提高，支承塊的垂向加速度較輪對有明顯的降低，扣件的減振效果逐漸提高，當車速≥40 km/h后，減振效果穩定在72％左右。

（3）從表2和圖8中看出，塊下膠墊在不同的車速下均有良好的減振效果，較低車速時，減振效果能達到50％左右；隨著車速增大，減振效果呈逐漸減小態勢，當車速≥60 km/h后，減振效果穩定在15％左右。

（4）從圖3～7及表2中看出，影響振源系統減振效果的關鍵參數為軌道扣件和塊下膠墊，隨著車速的增加，軌道扣件的減振效果逐漸增加，而塊下膠墊的減振效果逐漸減小，形成互補；若采用高彈性減振扣件（例如科隆蛋等）或優化塊下膠墊的阻尼和剛度，減振效果會有一定幅度的提升空間。

4 結 論

1）車體垂向加速度頻譜反應了車體的自振頻率；轉向架和輪對的低頻主頻集中在30 Hz左右，輪對在300～600 Hz的高頻區存在一個輪軌高頻赫茲接觸運動引起的第二主頻；混凝土支承塊由于軌道扣件的減振效果，垂向振動加速度最大值較輪對下降了2.4倍，其振動主頻集中在32～80 Hz和250～500 Hz，高頻區段亦存在輪軌局部變形的赫茲接觸高頻振動；道床的振動主頻集中在30～100 Hz之間，赫茲接觸高頻振動已被濾過。

2）車體、轉向架、輪對、支承塊和道床的垂向加速度隨著地鐵列車車速的增加而增大，隨著車速的增長，支承塊、道床的垂向加速度的減振效果逐漸穩定在72％和15％左右。

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U260.11+1

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.005

鄭國琛，男，1981年12月生，博士生，工程師。主要研究方向為地鐵及結構的減隔振控制。曾發表《福建省農村民居抗震能力現狀調查與分析》《地震工程與工程振動》2014年第34卷（第3期）等論文。

Email：44138911@qq.com

*國家自然科學基金資助項目（51108092）

2013-02-24；

2013-06-27