車輛引起的地面振動衰減計算方法

趙　銳， 張毅剛

（1.新疆大學建筑工程學院 新疆烏魯木齊，830047；2.北京工業大學空間結構研究中心 北京，100124）

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車輛引起的地面振動衰減計算方法

趙銳1，2， 張毅剛2，3

（1.新疆大學建筑工程學院 新疆烏魯木齊，830047；2.北京工業大學空間結構研究中心 北京，100124）

車輛對環境產生的振動主要是由于車輛在不平整路面上行駛時，將車輛由于各種因素產生的振動通過路面結構及土介質傳給構筑物基礎，進而傳給其上部結構產生的。分析車輛振動對環境影響的關鍵是如何得到車輛激勵下構筑物基礎的振動響應。首先利用MATLAB求解考慮路面不平度影響的車輛振動微分方程，然后利用文克爾彈性地基梁模型模擬路面土體，建立車輛及所在地面的振動計算模型，最后借助動力機械振動沿地面傳播的衰減公式提出車輛通行引起構筑物基礎加速度的計算公式，最終建立車輛引起地面振動衰減的計算方法，并用實測數據進行了驗證，用算例對該方法的應用進行了說明。該方法物理意義明確，原理清晰，實用合理，簡單方便，只要輸入車輛和道路的基本信息利用MATLAB程序求解即可。

車輛；振動響應；計算方法；振動衰減；路面不平度

引 言

隨著我國交通事業的快速發展，道路交通振動對周圍環境的影響越來越引起人們的關注。當車輛在路面行駛時，因路面的不平整、車速、發動機、汽車輪胎表面的花紋與路面的摩擦及汽車加減速等因素都會引發車輛產生振動，這種振動通過路面結構傳遞到四周的土層中，再由土介質向周圍構筑物的基礎傳播，進而引發構筑物上部結構的二次振動［1］。這種振動直接影響到人們的生活、工作及構筑物的結構特性，而且經研究表明，路面不平整是產生車輛振動的主要因素［2］。目前對這方面的研究大多都是用現場實測的方法，對其理論方法的研究還在不斷探索。如茅玉泉［3］在監測數據基礎上得出振幅與速度關系的地面振動衰減經驗公式，并用此公式研究公路車輛對精密儀器的影響。袁新敏等［4］研究交通荷載產生的地面振動時，將實測數據與日本鐵路規范線性擬合得出地面振級與測點到道路中線的距離間的計算公式。盛曄等［5］通過對交通干線兩側的實測，得到了振動衰減量與距離的函數方程。韓舟輪［6］研究車輛通過減速帶時跳車情況下帶來的路面振動問題，經過實測得出其產生的振動影響很大。常樂等［7］通過實測研究了高架路交通誘發地面振動在土層中的振動特性與傳播規律。甘泉等［8］就高架交通系統誘發地面環境振動進行了實測分析，得出考慮局部振動放大的環境振動振級經驗衰減公式。周云［9］根據國外己有監測數據及振動能量的傳播規律提出了一種經驗預測模型，該模型參數較少，應用較簡便，但只考慮了瑞利波對地面振動的貢獻，在分析振動頻率成分方面存在著明顯的不足，所以只能對地面振動進行粗略的預測。楊先健［10］基于理論同時考慮瑞麗波和體波的影響，提出了動力機械的振動衰減公式，并將該公式應用到《動力機械基礎設計規范GB50040-96》和移動的車輛中，但高廣遠［11］經過實測得出該公式僅適用于1 000 m遠的長距離地面振動衰減中，近距離時該公式誤差較大。

在此基礎上，筆者首先將路面位移功率譜密度數用傅里葉逆變換得到的路面不平度數據作為輸入激勵加到1/2車輛模型上，用MATLAB求解考慮路面不平度的車輛振動微分方程；然后利用文克爾彈性地基梁模型模擬路面土體，根據動力學原理建立車輛及所在位置地面共同作用的振動計算模型，借助動力機械的振動衰減公式提出車輛通行引起構筑物基礎加速度的計算公式；最終建立車輛引起地面振動衰減的計算方法，并通過現場實測進行驗證，用算例說明其計算步驟。利用文中計算方法可直接計算構筑物輸入激勵，然后對結構進行振動響應分析。

1 路面不平度

路面不平整是引起車輛振動的主要因素。大量研究表明，路面不平度是具有零均值、各態歷經的平穩Gauss隨機過程［12］，故可用功率譜密度來描述路面的統計特性，文中采用GB/T 7031-2005［13］建議的公路路面位移功率譜密度擬合表達式，即

其中：n0為參考空間頻率（=0.1m-1）；Gd（n0）為參考空間頻率n0下的路面位移功率譜密度值，稱為路面不平度系數/［m2·m-1］，取決于公路的路面等級，其值見表1；w為擬合功率譜密度的指數，取為2；n為空間頻率/m-1，其上限nh=2.83，下限nl= 0.011，車速v=10～30 m/s時適用［14］。

表1　路面不平度系數Tab.1 Coefficients of pavement roughness

時間頻率與空間頻率間的關系：

其中：f為車輛振動的固有頻率，范圍為（fl，fh）。

令路面不平度的采樣數據為xm（m=0，1，2，…，N-1），其離散傅里葉變換為

根據文［15］得出Xk與路面不平度Gd（nk）的關系：

其中：nk=k Be′；復數Xk的相角φk在［0，2π］內隨機選取。

在統計前需有兩個設定：采樣空間頻率ns和采樣點數N，由此確定下列相關參數：為避免頻率混淆，nh≤ns/2；采樣間隔ΔL=1/ns；總采樣距離L′=N/ns；空間頻率分辨率Be′=1/L′。

由式（3）和（4）可知，路面不平度的采樣數據是N個，而計算其功率譜密度時只需其離散傅里葉變換的前N/2+1個，所以要得到離散數據xm，必須將離散傅里葉變換的后半部分補齊。由式（3）可知，Xk是N個復數，當k=0時是實數，若離散數據經過零均值化處理，X0=0，X1與XN-1， X2與分別互成共軛，離散傅里葉變換對應的最大頻率為N/2Δf（Δf為時間頻率分辨率）為不發生頻率混淆現象，常使所以有由此特性，可將式（4）進行補齊，得到Xk（k=0，1，2，…，N/2，N/2+1，…，N-1），對其進行傅里葉逆變換，最終得到路面不平度xm，公式為

該方法是計算其功率譜密度的逆過程，所以理論上保證結果的準確性。現將這種方法基于MATLAB平臺編寫了一個程序，只要輸入采樣頻率、采樣點數和由路面等級得到的路面不平度系數，即可繪制出路面不平度曲線。

2 車輛的振動響應

2.1建立微分方程

沿車長方向取1/2車輛模型，將其簡化為四自由度的彈簧-阻尼-質量系統，如圖1所示。

圖1　1/2車輛振動模型Fig.1 1/2 vehicle vibration model

圖1中：M為車體質量；m1，m2分別為前后輪胎及懸架質量；ks1，cs1分別為前懸裝置的彈簧剛度和減振阻尼系數；kt1，ct1分別為前輪輪胎剛度和阻尼系數；ks2，cs2分別為后懸裝置的彈簧剛度和減振阻尼系數；kt2，ct2分別為后輪輪胎剛度和阻尼系數；Ia為車體點頭剛度；b1，b2為比例常數；lv為車體長度；z1′，z2′分別為前后懸架豎向位移；z1，z2分別為前后輪胎豎向位移［16］。

文［16］根據廣義虛功原理，得到考慮路面不平度的車輛振動系統微分方程，如式（6）所示。

矩陣化后，得

其中：x1，x2分別為車輛前后輪胎處的路面不平度值；Mv為質量矩陣；Cv為阻尼矩陣；Kv為剛度矩陣；Zv為位移列向量；Gv為重力列向量；Fbv為路面與輪胎相互作用力列向量分別為相應的速度為相應的加速度；g為重力加速度。

2.2求解微分方程組

當車輛行駛時，各輪對的位置不斷變化，微分方程中的系數也不斷變化，使得整個系統成為一個時變系數的二階線性微分方程，求解這種微分方程最常用的方法是逐步積分法，文中采用其中的一種Wilson-θ法來進行求解，取θ=1.4。利用MATLAB軟件編寫車輛振動系統微分方程的求解程序。

3 振源地面處的振動響應

以車輛作為振源，通過懸架和輪胎減震后，將振動傳給地面土體。由于欲得到車輛正下方地面的振動響應，而且路面最上層一般為瀝青混凝土路面，所以可以不考慮土體的變形連續性，將其簡化為文克爾地基梁模型，即把土體模擬為剛性底座上一系列獨立的彈簧。其振動計算模型如圖2所示。

圖2　振動計算模型Fig.2 vibration calculation model

圖2中：M，Md分別為車體和瀝青混凝土的質量，Md的表面積一般取M的100倍；k1，c1分別為車輛輪胎的剛度和阻尼系數，其中k1=kt1=kt2，c1=ct1=ct2；k2為彈性地基梁的彈簧剛度系數，k2= kbl，k為地基反力系數，b為地基梁寬度，一般取車體寬度的10倍，l為地基梁跨度，一般取車體長度的10倍。

利用ANSYS對該振動計算模型進行建模求解。其中車體和瀝青混凝土采用MASS21二維質量單元，彈簧采用COMBIN14單自由度彈簧單元，地面固接。將2.2節得到的車輛前后懸裝置的振動響應平均值加到車體的質量單元上，對結構進行瞬態分析，即可得到振源地面處的振動響應。

4 構筑物基礎加速度計算公式

文［10］中建立了以車輛為振源的地面振動衰減公式，如式（8）所示。

其中：ar為距振源中心r處的地面加速度，m/s2；a0為振源加速度，m/s2；r為距振源中心的距離，m；r0為波源當量半徑，道路柔性路面r0=3.25 m，道路剛性路面r0=3 m［17］；f0為波源擾動頻率，Hz；ξ0為與波源狀態有關的無量綱系數，鐵路ξ0=0.35，道路ξ0=0.3［17］；βt為土壤衰減系數，s/m［10］見表2。

表2　土壤衰減系數βtTab.2 Table2 Soil attenuation coefficientβt

文［10］利用該公式計算了距一輛大型載重貨車80 m遠處地面的加速度值，其中波源當量半徑為2.5 m，車輛的擾動頻率為20 Hz，車輛的振源加速度為10.085 m/s2，計算后與實測值進行了對比，部分點吻合較好。文［11］對該公式進行了驗證，得出結論是該公式僅對于1 000 m的長距離情況是適用的。對于本文測點就在路邊，而且是車輛隨機行駛的近距離情況，主要以高頻振動為主，衰減速度較遠處快，各時刻車輛振動在計算點的衰減值會相互疊加，式（8）此時已不再適用。試驗面對的是同一輛車行走到不同點引起的振動，相當于多臺同樣的機器在不同時刻、不同距離產生的影響，將隨機非穩態問題可近似用隨機穩態的分析方法來理解。所以依據隨機理論，文中將這一振源加速度用平方和開方（SRSS）方法表示，得到的加速度稱為振源疊加加速度，用as表示，公式如下：

其中：at為振源地面處在t時刻的加速度；Δt為計算時間間隔，一般取為0.1 S。

即疊加范圍為［t-5Δt，t+5Δt］時間段內的振動加速度，在范圍之外認為在計算點處的振動衰減值較小，忽略不計。

將由式（9）得到的考慮車輛近距離影響的振源疊加加速度as作為a0代入到式（8）中，即可得到車輛通行引起構筑物基礎加速度的計算公式，即

由于車輛是移動的，所以式（10）中的r（t）（距振源中心的距離）應該是隨時間變化的一個變量，式中其他參數的意義同式（8）。由此即可得到車輛通行引起構筑物基礎加速度的時程曲線。

圖3匯出了車輛引起地面振動衰減計算方法的具體實施步驟。

圖3　車輛引起地面振動衰減計算步驟Fig.3 Calculation steps of vehicle-induced ground vibration attenuation

5 驗 證

為驗證這一方法的實用性，筆者進行了現場實測，以北京工業大學西門人行天橋為構筑物，主梁共4個墩柱（如圖4），分別在人行天橋2#墩柱底端A點處和距離A點向西12 m遠的院內地面B點處布置兩個測點（見圖5），得到車輛激勵下兩點的豎向振動情況；以A點為振源點，B點為衰減后的點，由此來驗證車輛通行引起地面振動衰減計算方法的實用性。

圖4　北京工業大學西門人行天橋Fig.4 Footbridge at the west gate of Beijing University of Technology

圖5　測點布置（單位：m）Fig.5 Arrangement of measuring points（Unit：m）

利用中國兵器工業第二零六研究所研制的CS-8A雷達測速儀測量車速，北京東方振動和噪聲技術研究所的動態數據采集系統和工程力學研究所的891速度傳感器進行數據采集，用DASP分析軟件對數據進行處理，采樣頻率為51.2 Hz。

截取兩個測點30 min的采樣數據，每30 s作為一個樣本，共60個樣本記錄。經分析可得到測點A各個樣本的峰值頻率，將其作為各個樣本的波源擾動頻率f0；取各個樣本A點的峰值加速度為at，因為有車輛從測點附近通過時加速度值會明顯變大，尤其是大型車，而其他位置處加速度取值的不定因素較多，如噪聲及本底振動等，所以測點B的加速度響應不能完全由振動衰減公式得到。但兩個測點的峰值加速度完全可以認為是由車輛振動激起的，所以僅利用每個樣本的峰值加速度來進行驗證。

由于樣本記錄太多，這里僅對第40個樣本進行驗證。兩測點在30 s內的加速度響應曲線如圖6所示。取圖6（a）的峰值加速度作為at，時間間隔為5/51.2≈0.098 s，計算a0的數據見表3。

表3　a 0的計算數據（單位：毫米/秒2）Tab.3 Calculation data of a0（Unit：mm/s2）

表3中at=15.472 4 mm/s2，t=19.37 s，由式（9）可計算出振源疊加加速度as=19.793 1 mm/s2。

用DASP軟件對圖6a）進行處理，得到對應的頻譜曲線，如圖7所示。

圖6　地面兩點的實測結果Fig.6 Measured results of two points at the ground

圖7　A點頻譜曲線Fig.7 Frequency spectrum curve of point A

從圖7中可提取出峰值頻率，即f0=11.45 Hz。根據地勘資料取βt=0.001 2，將所有值代入公式（10），即可計算出B點的振動加速度衰減值ar= 9.1842mm/s2。與表3中測點B在19.37 s時的實測值間的誤差為0.39％。

圖8為60個樣本記錄中測點B的計算值與實測值的誤差圖。由圖8可看出誤差均在15％以內，可以接受。由此證明筆者建立的車輛通行引起地面振動衰減計算方法是實用可行的。

圖8　測點B計算值與實測值的誤差圖Fig.8 Errors figure between calculated value and measured value of point B

6 算 例

路面數據：采樣空間頻率ns為10 m-1，采樣點數N為10 000個，B級瀝青路面，土壤衰減系數為0.001，軟塑粉質粘土，地基反力系數取為15 000，瀝青混凝土厚15 cm，密度為2 500 kg/m3。

車輛數據［11］：M為5×103kg；Ia為2.446×106kg·m2；lv車長為8.4 m；車寬2.5 m；車高3.5 m；b1與b2為0.5；m1與m2為4 330 kg；ks1與ks2為2.535×106N/m；kt1與kt2為4.28×106N/m；cs1與cs2為1.96×105kg/s；ct1與ct2為9.8×104kg/s；車速v為20 m/s，擾動頻率為20 Hz。

以車輛重心位置為坐標原點，車的寬度方向為x向，道路中心線為y向，駕駛員的右前方為第一象限，建立直角坐標系。地面計算點坐標為（20，400 m），采樣頻率為100 Hz，繪制該點40 s內振動響應時程曲線。

將路面數據輸入到路面不平度的MATLAB程序中，得出該條路段的路面不平度曲線如圖9所示。圖9中采樣數據的時間間隔為0.005 s，而所要求的振動加速度的時間間隔為0.01 s，為了使兩者相對應，圖9中的數據每2個點采集一個作為路面不平度序列x1和x2。將其與車輛數據共同輸入到車輛振動系統微分方程的MATLAB求解程序中，得到車輛以20 m/s的速度勻速行駛40 s內車輛前懸架的振動加速度響應曲線，如圖10所示。

圖9　B級路面的不平度曲線Fig.9 Roughness curve of road grade B

圖10　振動加速度響應曲線Fig.10 Vibration acceleration response curve

利用ANSYS12.0建立圖2所示的有限元模型，對結構進行瞬態分析，得到瀝青混凝土的豎向振動加速度如圖11所示。

圖11　振源地面處加速度時程曲線Fig.11 Acceleration time history curve at the ground

將圖11的數據利用公式（9）計算，得到振源疊加加速度時程曲線，如圖12所示。

圖12　振源疊加加速度時程曲線Fig.12 Superposition acceleration time history curve

該算例中車輛的行駛距離為20（m/s）×40（s）=800（m），車輛與計算點（20，400m）間的距離函數r（t）為

將式（11）及圖12的數據代入式（10）中，即可得到車輛引起周圍地面任一點（可引申為構筑物基礎）的振動響應曲線，如圖13所示。

圖13　計算點的振動響應曲線

對于多車相繼行駛和并排行駛的情況，只需將得到的計算點的振動響應曲線在對應時刻相疊加即可，在此不再贅述。

7 結束語

引起車輛振動的原因有很多，其中路面不平整被認為是最主要的因素。基于GB/T7031-2005建議的公路路面位移功率譜密度的擬合表達式，筆者對其離散數據進行傅里葉逆變換，得到路面不平度值，將其作為激勵加到車輛模型上；利用MATLAB求解建立的車輛振動微分方程得到車輛的振動響應，再將其作為激勵加到采用文克爾地基梁模型模擬的地面上，得到地面的振動響應；最后，將得到的地面振動響應作為振源代入文中提出的車輛通行引起構筑物基礎加速度的計算公式中，得到計算點處的地面振動衰減加速度值。該方法利用實測數據驗證其實用性，并用一個算例說明了其應用過程，思路明確，便于操作，對環境振動的影響分析帶來了很大方便。

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